Большие числа - Large numbers

Числа, которые значительно больше тех, которые обычно используются в повседневной жизни, например, при простом подсчете или в денежных транзакциях, часто появляются в таких областях, как математика , космология , криптография и статистическая механика . Термин обычно относится к большим положительным целым числам или, в более общем смысле, большим положительным действительным числам , но он также может использоваться в других контекстах. Изучение номенклатуры и свойств больших чисел иногда называют гугологией.

Иногда люди называют большие числа «астрономически большими»; однако математически легко определить числа, которые намного больше, чем те, которые используются в астрономии.

В повседневном мире

Научная нотация была создана для обработки широкого диапазона ценностей, встречающихся в научных исследованиях. Например, 1,0 × 10 9 означает один миллиард , за единицей следуют девять нулей: 1 000 000 000, а 1,0 × 10 −9 означает одну миллиардную, или 0,000 000 001. Запись 10 9 вместо девяти нулей экономит усилия читателей. и опасность подсчета длинной серии нулей, чтобы увидеть, насколько велико число.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включают:

Астрономический

Другие большие числа, касающиеся длины и времени, можно найти в астрономии и космологии . Например, текущая модель Большого взрыва предполагает, что возраст Вселенной составляет 13,8 миллиарда лет (4,355 × 10 17 секунд), а наблюдаемая Вселенная - 93 миллиарда световых лет в поперечнике (8,8 × 10 26 метров) и содержит около 5 × 10 Согласно наблюдениям космического телескопа Хаббл, 22 звезды, организованные примерно в 125 миллиардов (1,25 × 10 11 ) галактик. По приблизительным оценкам, в наблюдаемой Вселенной около 10 80 атомов .

По словам Дона Пейджа , физика из Университета Альберты, Канада, наибольшее конечное время, которое до сих пор было вычислено в явном виде любым физиком, равно

что соответствует масштабу предполагаемого времени повторения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, в предположении определенной инфляционной модели с инфлатоном с массой 10 −6. Планковские массы . На этот раз предполагается, что статистическая модель подвержена повторению Пуанкаре. Намного упрощенный способ думать об этом времени - это модель, в которой история Вселенной повторяется произвольно много раз из-за свойств статистической механики ; это временная шкала, когда она сначала снова будет в некоторой степени подобна (для разумного выбора «подобного») своему текущему состоянию.

Комбинаторные процессы быстро генерируют еще большие числа. Факториала функция, которая определяет число перестановок на множестве неподвижных объектов, растет очень быстро , с числом объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение для этой скорости роста.

Комбинаторные процессы генерируют очень большие числа в статистической механике. Эти числа настолько велики, что обычно ссылаются только на их логарифмы .

Числа Гёделя и аналогичные числа, используемые для представления битовых строк в алгоритмической теории информации , очень велики даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологические числа даже больше, чем числа Геделя типичных математических утверждений.

Логик Харви Фридман сделал работу , связанную с очень большими числами, например, с теоремой дерева Крускала и теоремы Робертсона-Сеймура .

«Миллиарды и миллиарды»

Чтобы помочь зрителям « Космоса» различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган подчеркнул букву «b». Однако Саган никогда не говорил « миллиарды и миллиарды ». Общественная ассоциация этой фразы и Сагана возникла из пародии на « Вечернее шоу» . Пародируя аффект Сагана, Джонни Карсон пошутил «миллиарды и миллиарды». Эта фраза, однако, теперь превратилась в шутливое вымышленное число - Саган . Ср. , Sagan Unit .

Примеры

Стандартизированная система письма

Стандартизованный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания, и можно получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальном представлении, например 5 × 10 4 и 2 × 10 5 , сначала сравните показатели степени, в данном случае 5> 4, поэтому 2 × 10 5 > 5 × 10 4 . Если показатели равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), таким образом, 5 × 10 4 > 2 × 10 4, потому что 5> 2.

Тетрация с основанием 10 дает последовательность , башни силы чисел 10, где обозначает функциональную мощность функции (функция также выражается суффиксом «-plex», как в googolplex, см. Семейство Googol ).

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, - это указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними могут быть выражены в форме , например, с градусом из 10 и числом наверху, возможно, в научной записи, например , числом между и (обратите внимание, что если ). (См. Также расширение тетрации до реальных высот .)

Таким образом, гуголплекс

Другой пример:

(между и )

Таким образом, «порядок величины» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) можно охарактеризовать количеством раз ( n ), которое нужно взять, чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число равно между и . Как объяснялось, более точное описание числа также определяет значение этого числа от 1 до 10 или предыдущее число (логарифм на один раз меньше) от 10 до 10 10 или следующее число от 0 до 1.

Обратите внимание, что

То есть, если число x слишком велико для представления, мы можем сделать башню мощности на одну выше, заменив x на log 10 x , или найти x из представления log 10 целого числа в нижней башне . Если бы вышка электростанции содержала одно или несколько чисел, отличных от 10, эти два подхода привели бы к разным результатам, что соответствует тому факту, что удлинение башни мощности с помощью 10 внизу не то же самое, что расширение ее с помощью 10 в нижней части. верхний (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся башня власти состоит из копий с одинаковым номером, отличным от 10).

Если высота башни велика, различные представления для больших чисел могут быть применены к самой высоте. Если высота дана только приблизительно, указывать значение вверху не имеет смысла, поэтому мы можем использовать обозначение с двумя стрелками, например . Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, указанное выше может рекурсивно применяться к этому значению.

Примеры:

(между и )
(между и )

Аналогично предыдущее, если показатель точно не дано , то дает значение в правой части не имеет смысла, и мы можем, вместо того чтобы использовать мощности нотацию , добавить 1 к экспоненту , так что мы получаем , например .

Если показатель большой, к самому этому показателю могут применяться различные представления для больших чисел. Если этот показатель не указан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени использовать оператор тройной стрелки, например .

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, к нему применимо вышеупомянутое, поэтому мы имеем, например, (между и ). Это можно сделать рекурсивно, так что у нас будет степень оператора тройной стрелки.

Мы можем продолжить с операторами с большим количеством написанных стрелок .

Сравните это обозначение с оператором гипер и обозначением стрелок Конвея :

= ( abn ) = hyper ( an  + 2,  b )

Преимущество первого является то , что , когда рассматриваются как функция от Ь , существует естественное обозначение для степеней этой функции (так же , как при записи в п стрелке): . Например:

= (10 → (10 → (10 → b → 2) → 2) → 2)

и только в особых случаях сокращается нотация длинной вложенной цепочки; при b = 1 получаем:

= (10 → 3 → 3)

Поскольку b также может быть очень большим, обычно мы пишем число с последовательностью степеней с уменьшающимися значениями n (с точно заданными целыми показателями ) с числом в конце в обычной научной записи. Если a слишком велико, чтобы его можно было указать точно, значение увеличивается на 1 и все справа от него перезаписывается.

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например , и . Таким образом, мы получаем несколько парадоксальный результат, что число x может быть настолько большим, что в некотором смысле x и 10 x «почти равны» (арифметику больших чисел см. Также ниже).

Если верхний индекс направленной вверх стрелки большой, к самому этому верхнему индексу могут применяться различные представления больших чисел. Если этот верхний индекс не указан точно, то нет смысла повышать оператор до определенной степени или изменять значение, на которое он действует. Мы можем просто использовать стандартное значение справа, скажем 10, и выражение сводится к приблизительному n . Для таких чисел больше не действует преимущество использования нотации со стрелкой вверх, и мы также можем использовать нотацию цепочки.

Вышеупомянутое может быть применено рекурсивно для этого n , поэтому мы получаем обозначение в верхнем индексе первой стрелки и т. Д., Или у нас есть обозначение вложенной цепочки, например:

(10 → 10 → (10 → 10 → )) =

Если количество уровней становится слишком большим для удобства, используется обозначение, в котором это количество уровней записывается в виде числа (например, использование верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Вводя функцию = (10 → 10 → n ), эти уровни становятся функциональными степенями f , что позволяет нам записать число в форме, где m дано точно, а n - целое число, которое может быть или не может быть дано точно (например, :) . Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f m (1) = (10 → 10 → m → 2). Например,

Сравните определение числа Грэма: оно использует числа 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 вверху; таким образом , но также .

Если m in слишком велико, чтобы дать точное значение, мы можем использовать фиксированное n , например, n = 1, и применить вышеупомянутое рекурсивно к m , т. Е. Количество уровней стрелок вверх само представлено в обозначении стрелки вверх с индексом и т. Д. Использование обозначения функциональной мощности f дает несколько уровней f . Вводя функцию, эти уровни становятся функциональными степенями g , что позволяет нам записать число в форме, где m дано точно, а n - целое число, которое может быть или не может быть дано точно. Имеем (10 → 10 → m → 3) = g m (1). Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Точно так же мы можем ввести функцию h и т. Д. Если нам нужно много таких функций, мы можем лучше пронумеровать их вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например, в качестве нижнего индекса, чтобы мы получили числа в форме, где k и m заданы точно, и n - целое число, которое может быть или не быть задано точно. Используя k = 1 для f выше, k = 2 для g и т. Д., Имеем (10 → 10 → nk ) = . Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Таким образом, мы получаем вложение форм, в которых по мере продвижения внутрь k уменьшается, а в качестве внутреннего аргумента мы получаем последовательность степеней с уменьшающимися значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в конце в обычной научной записи.

Когда k слишком велико, чтобы его можно было указать точно, соответствующее число может быть выражено как = (10 → 10 → 10 → n ) с приблизительным n . Обратите внимание, что процесс перехода от последовательности = (10 → n ) к последовательности = (10 → 10 → n ) очень похож на переход от последней к последовательности = (10 → 10 → 10 → n ): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить снова (см. также предыдущий раздел). При нумерации последующих версий этой функции число может быть описано с помощью функций , вложенных в лексикографическом порядке, где q - самое старшее число, но с порядком убывания для q и для k ; в качестве внутреннего аргумента у нас есть последовательность степеней с уменьшающимися значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в конце в обычной научной записи.

Для числа, слишком большого для записи в нотации со стрелками Конвея, мы можем описать, насколько оно велико, по длине этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, мы указываем его позицию в последовательности 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10, .. Если даже позиция в последовательности является большим числом, мы можем снова применить те же методы для этого.

Примеры

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

  • 2 2 = 4
  • 2 2 2 = 2 ↑↑ 3 = 16
  • 3 3 = 27
  • 4 4 = 256
  • 5 5 = 3,125
  • 6 6 = 46 656
  • = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑↑ 3 = 65 536
  • 7 7 = 823 543
  • 10 6 = 1 000 000 = 1 миллион
  • 8 8 = 16 777 216
  • 9 9 = 387 420 489
  • 10 9 = 1 000 000 000 = 1 миллиард
  • 10 10 = 10 000 000 000
  • 10 12 = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
  • 3 3 3 = 3 ↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10 12
  • 10 15 = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион

Числа, выражаемые в экспоненциальной форме:

  • Приблизительное количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10 80 = 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
  • гугол = 10 100 = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
  • 4 4 4 = 4 ↑↑ 3 = 2 512 ≈ 1,34 × 10 154 ≈ (10 ↑) 2 2,2
  • Приблизительное количество объемов Планка, составляющих объем наблюдаемой Вселенной = 8,5 × 10 184
  • 5 5 5 = 5 ↑↑ 3 = 5 3125 ≈ 1,91 × 10 2184 ≈ (10 ↑) 2 3,3
  • 6 6 6 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 36,305 ≈ (10 ↑) 2 4,6
  • 7 7 7 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 695,974 ≈ (10 ↑) 2 5,8
  • 8 8 8 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 15,151,335 ≈ (10 ↑) 2 7,2
  • , 50-е число и по состоянию на январь 2018 года самое крупное известное простое число Мерсенна .
  • 9 9 9 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 369 693 099 ≈ (10 ↑) 2 8,6
  • 10 10 10 = 10 ↑↑ 3 = 10 10 000 000 000 = (10 ↑) 3 1

Числа, представленные в обозначениях (10 ↑) n k :

  • googolplex =
  • 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) 5 1
  • 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) 5 1,10
  • 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) 5 4,3
  • 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) 6 1
  • 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) 10 1
  • 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) 65,533 4,3 находится между 10 ↑↑ 65,533 и 10 ↑↑ 65,534

Большие числа:

  • 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 12 ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 12 находится между (10 ↑↑) 2 2 и (10 ↑↑) 2 3
  • = (10 → 3 → 3)
  • = (10 → 4 → 3)
  • = (10 → 5 → 3)
  • = (10 → 6 → 3)
  • = (10 → 7 → 3)
  • = (10 → 8 → 3)
  • = (10 → 9 → 3)
  • = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
  • Первый член в определении числа Грэма, g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 12 ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 12 ) находится между (10 ↑↑↑) 2 2 и (10 ↑↑↑) 2 3 (см . Число Грэма # Величина )
  • = (10 → 3 → 4)
  • = (4 → 4 → 4)
  • = (10 → 4 → 4)
  • = (10 → 5 → 4)
  • = (10 → 6 → 4)
  • = (10 → 7 → 4)
  • = (10 → 8 → 4)
  • = (10 → 9 → 4)
  • = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
  • (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
  • (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
  • (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
  • (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
  • (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) =
  • Второй член в определении числа Грэма, g 2 = 3 ↑ g 1 3> 10 ↑ g 1 - 1 10.
  • (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) =
  • g 3 = (3 → 3 → g 2 )> (10 → 10 → g 2 - 1)> (10 → 10 → 3 → 2)
  • g 4 = (3 → 3 → g 3 )> (10 → 10 → g 3-1 )> (10 → 10 → 4 → 2)
  • ...
  • g 9 = (3 → 3 → g 8 ) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 2)
  • g 10 = (3 → 3 → g 9 ) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
  • ...
  • g 63 = (3 → 3 → g 62 ) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
  • (10 → 10 → 64 → 2)
  • Число Грэма, г 64
  • (10 → 10 → 65 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 3)
  • (10 → 10 → 10 → 4)
  • (10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) где есть (10 → 10 → 10) «10» с

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

Эти обозначения по сути являются функциями целых переменных, которые очень быстро увеличиваются с этими целыми числами. Все быстрее растущие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна при определении очень большого числа, хотя функция увеличивается очень быстро: нужно определить аргумент, очень близкий к асимптоте, то есть использовать очень маленькое число, и построение этого эквивалентно построению очень большое число, например обратное.

Сравнение базовых значений

Следующее иллюстрирует действие основания, отличного от 10, основания 100. Оно также иллюстрирует представление чисел и арифметику.

, с основанием 10 показатель степени удваивается.

, то же самое.

, самый высокий показатель очень немногим более удвоен (увеличен на log 10 2).

  • (таким образом, если n велико, справедливо будет сказать, что "приблизительно равно" )
  • (сравните ; таким образом, если n большое, кажется справедливым сказать, что "приблизительно равно" )
  • (сравнить )
  • (сравнить )
  • (сравните ; если n большое, это "приблизительно" равно)

Точность

Для числа изменение n на одну единицу изменяет результат в 10 раз. В таких числах, как результат правильного округления с использованием значащих цифр 6,2, истинное значение показателя степени может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть слишком большим или слишком маленьким. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка при большом количестве может быть «относительно маленькой» и, следовательно, приемлемой).

Для очень большого количества

В случае аппроксимации очень большого числа относительная ошибка может быть большой, но все же может быть смысл, в котором мы хотим рассматривать числа как «близкие по величине». Например, рассмотрим

а также

Относительная погрешность

большая относительная ошибка. Однако мы также можем учитывать относительную погрешность логарифмов; в этом случае логарифмы (с основанием 10) равны 10 и 9, поэтому относительная погрешность логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные ошибки - если a и b имеют небольшую относительную ошибку,

а также

относительная ошибка больше, и

а также

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов мы хотим сравнивать два числа? В некотором смысле мы можем захотеть рассмотреть

а также

быть «близкими по величине». Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка в их повторных логарифмах мала:

а также

Подобные сравнения повторных логарифмов обычны, например, в аналитической теории чисел .

Классы

Одним из решений проблемы сравнения больших чисел является определение классов чисел, таких как система, разработанная Робертом Мунафо, которая основана на различных «уровнях» восприятия среднего человека. Класс 0 - числа от нуля до шести - определяется как числа, которые легко подразделяются , то есть числа, которые очень часто встречаются в повседневной жизни и практически мгновенно сравниваются. Класс 1 - число между шестью и 1000000. = 10 <SUP> 6 </ SUP> - определяется содержать числа, в десятичной выражения легко subitized, то есть номера , которые легко сравнимы не мощности , но «на первый взгляд» дано десятичное разложение.

Каждый следующий класс определяется в терминах повторения этого возведения в степень по основанию 10, чтобы имитировать эффект другой "итерации" человеческой неразличимости. Например, класс 5 определен для включения чисел от 10 10 10 10 6 до 10 10 10 10 10 6 , которые являются числами, в которых X становится неотличимым от человека X 2 (повторный логарифм такого X дает неразличимость сначала между log ( X ) и 2log ( X ), во-вторых, между log (log ( X )) и 1 + log (log ( X )), и, наконец, чрезвычайно длинное десятичное расширение, длина которого не может быть субитизирована).

Приближенная арифметика

Есть несколько общих правил, относящихся к обычным арифметическим операциям, выполняемым с очень большими числами:

  • Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему.

Следовательно:

  • Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первое значение и 10 в степени второго. Например, для очень большого n у нас есть (см., Например, вычисление мега ), а также . Таким образом , см. Табл .

Систематическое создание быстрорастущих последовательностей

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность / функцию ( n ≥1), мы можем создать быстрорастущую последовательность (где верхний индекс n обозначает n- ю функциональную мощность ). Это можно повторить любое количество раз , если каждая последовательность будет расти намного быстрее, чем предыдущая. Тогда мы могли бы определить , которое растет намного быстрее, чем любое при конечном k (здесь ω - первое бесконечное порядковое число , представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа для быстрорастущей иерархии функций, в которой индекс индексации расширяется на все более крупные порядковые номера.

Например, начиная с f 0 ( n ) = n + 1:

  • f 1 ( n ) = f 0 n ( n ) = n + n = 2 n
  • f 2 ( n ) = f 1 n ( n ) = 2 n n > (2 ↑) n для n ≥ 2 (с использованием обозначения Кнута, стрелки вверх )
  • f 3 ( n ) = f 2 n ( n )> (2 ↑) n n ≥ 2 ↑ 2 n для n ≥ 2
  • f k +1 ( n )> 2 ↑ k n для n ≥ 2, k
  • f ω ( n ) = f n ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 2 ↑ n - 2 ( n + 3) - 3 = A ( n , n ) для n ≥ 2, где A - функция Аккермана ( из которых f ω - унарная версия)
  • f ω + 1 (64)> f ω 64 (6)> число Грэма (= g 64 в последовательности, определяемой g 0 = 4, g k +1 = 3 ↑ g k 3)
    • Это следует из того, что f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 3 ↑ n - 2 3 + 2, и, следовательно, f ω ( g k + 2)> g k +1 + 2
  • f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n = (2 → nn -1) = (2 → nn -1 → 1) (с использованием обозначения стрелок Конвея )
  • f ω + 1 ( n ) = f ω n ( n )> (2 → nn -1 → 2) (потому что если g k ( n ) = X → nk, то X → nk +1 = g k n (1))
  • f ω + k ( n )> (2 → nn -1 → k +1)> ( nnk )
  • f ω2 ( n ) = f ω + n ( n )> ( nnn ) = ( nnn → 1)
  • f ω2 + k ( n )> ( nnnk )
  • f ω3 ( n )> ( nnnn )
  • f ω k ( n )> ( nn → ... → nn ) (цепочка из k +1 n )
  • f ω 2 ( n ) = f ω n ( n )> ( nn → ... → nn ) (цепочка из n +1 n )

В некоторых невычислимых последовательностях

Функция занятого бобра Σ является примером функции, которая растет быстрее, чем любая вычислимая функция. Его ценность даже при относительно небольшом вводе огромна. Значения Σ ( n ) для n = 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 13 (последовательность A028444 в OEIS ). Σ (5) неизвестно, но определенно ≥ 4098. Σ (6) не менее 3,5 × 10 18267 .

Бесконечные числа

Хотя все числа, о которых говорилось выше, очень велики, все они безусловно конечны . Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-нуль является кардинальным из бесконечного множества из натуральных чисел , и алеф-один является следующим наибольшим кардинальным числом. - мощность действительных чисел . Утверждение, известное как гипотеза континуума .

Смотрите также

использованная литература