Число Лейланда - Leyland number
В теории чисел число Лейланда - это число в форме
где x и y - целые числа больше 1. Они названы в честь математика Пола Лейланда . Первые несколько чисел Лейланда
- 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 (последовательность A076980 в OEIS ).
Требование, чтобы x и y оба были больше 1, важно, поскольку без него каждое положительное целое число было бы числом Лейланда в форме x 1 + 1 x . Кроме того, из-за коммутативности сложения условие x ≥ y обычно добавляется, чтобы избежать двойного покрытия набора чисел Лейланда (так что мы имеем 1 < y ≤ x ).
Простые числа Лейланда
Leyland премьер является числом Leyland , который также является простым. Первые такие простые числа:
- 17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (последовательность A094133 в OEIS )
соответствующий
- 3 2 +2 3 , 9 2 +2 9 , 15 2 +2 15 , 21 2 +2 21 , 33 2 +2 33 , 24 5 +5 24 , 56 3 +3 56 , 32 15 +15 32 .
Можно также зафиксировать значение y и рассмотреть последовательность значений x, которая дает простые числа Лейланда, например, x 2 + 2 x является простым для x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, .. ( OEIS : A064539 ).
К ноябрю 2012 года наибольшее число Лейланда, которое оказалось простым, было 5122 6753 + 6753 5122 с 25050 цифрами. С января 2011 года по апрель 2011 года это было наибольшее простое число, простота которого была доказана с помощью доказательства простоты эллиптической кривой . В декабре 2012 года это было улучшено, доказав простоту двух чисел 3110 63 + 63 3110 (5596 цифр) и 8656 2929 + 2929 8656 (30008 цифр), последнее из которых превзошло предыдущий рекорд. Известно много более крупных вероятных простых чисел, таких как 314738 9 + 9 314738 , но трудно доказать простоту больших чисел Лейланда. Пол Лейланд пишет на своем веб-сайте: «Совсем недавно было осознано, что числа этой формы являются идеальными тестовыми примерами для программ доказательства простоты общего назначения. Они имеют простое алгебраическое описание, но не имеют очевидных циклотомических свойств, которые могут использоваться алгоритмами специального назначения».
Существует проект под названием XYYXF по факторизации составных чисел Лейланда.
В настоящее время наибольшее известное вероятное простое число Лейланда - 81650 54369 +54369 81650 (386 642 цифры). Это вероятное простое число было обнаружено Юсуфом АттарБаши в июне 2021 года.
Число Лейланда второго рода
Леилэнд количество второго рода является числом вида
где x и y - целые числа больше 1. Первые такие числа:
- 0, 1, 7 , 17 , 28, 79 , 118, 192, 399, 431 , 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (последовательность A045575 в OEIS )
Леилэнд расцвет второго рода является числом Леилэнд второго рода , который также является простым числом. Первые несколько таких простых чисел:
- 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (последовательность A123206 в OEIS )
Чтобы узнать о возможных простых числах, см. Генри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск PRP Top Records.