Потенциал Льенара – Вихерта - Liénard–Wiechert potential

В потенциалы Льенара-Вихерта описывают классическое электромагнитное воздействие движущегося точечного заряда электрического в терминах векторного потенциала и скалярного потенциала в калибровке Лоренца . Происходящие непосредственно из уравнений Максвелла , они описывают полное, релятивистски правильное, изменяющееся во времени электромагнитное поле для точечного заряда в произвольном движении, но без поправки на квантово-механические эффекты. Электромагнитное излучение в виде волн может быть получено из этих потенциалов. Эти выражения были частично разработаны Альфредом-Мари Льенаром в 1898 году и независимо Эмилем Вихертом в 1900 году.

Уравнения

Определение потенциалов Льенара – Вихерта.

Потенциалы Льенара – Вихерта (скалярное потенциальное поле) и (векторное потенциальное поле) предназначены для точечного заряда источника в положении, перемещающемся со скоростью : ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {s}}$

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {(1- \ mathbf {n } _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

а также

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {q {\ boldsymbol {\ beta) }} _ {s}} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s } |}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t_ {r})} {c}} \ varphi (\ mathbf {r} , t)}

куда:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$ - скорость источника, выраженная в долях скорости света;

${\ displaystyle {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}}$ расстояние от источника;

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}}}$ - единичный вектор, указывающий в направлении от источника и,

Символ означает, что величины в скобках следует оценивать в запаздывающее время . ${\ Displaystyle (\ cdots) _ {т_ {г}}}$ ${\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}$

Это также можно записать ковариантным образом , где четырехкомпонентный электромагнитный потенциал при равен: ${\ Displaystyle Х ^ {\ му} = (т, х, у, г) ^ {\ му}}$

{\ displaystyle A ^ {\ mu} (X) = - {\ frac {\ mu _ {0} qc} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {U ^ {\ mu}} {R _ {\ nu} U ^ {\ nu}}} \ right) _ {t_ {r}}}

где и - положение источника, а - его четыре скорости. ${\ Displaystyle R ^ {\ mu} = X ^ {\ mu} -R _ {\ rm {s}} ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle R _ {\ rm {s}} ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ mu} = dX ^ {\ mu} / d \ tau}$

Расчет поля

Мы можем рассчитать электрическое и магнитное поля непосредственно из потенциалов, используя определения:

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

а также

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ набла \ раз \ mathbf {A}}

Расчет нетривиален и требует ряда шагов. Электрическое и магнитное поля (в нековариантной форме) имеют вид:

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q (\ mathbf {n}) _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s})} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ big (} (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ times {\ dot {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}} {\ big) }} {c (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s } |}} \ right) _ {t_ {r}}}

а также

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {qc ({\ boldsymbol {\ beta) }} _ {s} \ times \ mathbf {n} _ {s})} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ Big (} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ big (} (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ times {\ dot {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}} {\ big)} {\ Big)}} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} ) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s} (t_ {r})} {c}} \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}

где , и ( фактор Лоренца ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _ {s} (t) |}}}$ ${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- | {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t) | ^ {2}}}}}$

Обратите внимание, что часть первого члена обновляет направление поля к мгновенному положению заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью . Этот термин связан со «статической» частью электромагнитного поля заряда. ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}$ ${\ displaystyle c {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}$

Второй член, который связан с электромагнитным излучением движущегося заряда, требует ускорения заряда, и если он равен нулю, значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (испускает электромагнитное излучение). Этот термин дополнительно требует, чтобы составляющая ускорения заряда была направлена поперек линии, соединяющей заряд и наблюдателя поля . Направление поля, связанного с этим излучающим элементом, направлено в сторону полностью запаздывающего по времени положения заряда (то есть там, где был заряд, когда он был ускорен). ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, т)}$

Вывод

В скалярных и векторных потенциалах удовлетворяют неоднородное уравнение электромагнитной волны , где источники выражаются с зарядом и плотностью тока и ${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {r}, т)}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ partial t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0 }} \ ,,}

а закон Ампера-Максвелла:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ ,.}

Поскольку потенциалы не уникальны, но имеют калибровочную свободу, эти уравнения можно упростить путем фиксации калибровки . Обычным выбором является калибровочное условие Лоренца :

{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \ ,,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ му _ {0} \ mathbf {J} \ ,.}

Как правило, запаздывающие решения для скалярного и векторного потенциалов (единицы СИ) представляют собой

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} d ^ {3} \ mathbf {r} '+ \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, t) }

а также

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf { r} ', t_ {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}' + \ mathbf {A} _ {0} ( \ mathbf {r}, t)}

где это замедляется время и и удовлетворяют однородное волновое уравнение без каких - либо источников и граничных условиями. В случае отсутствия границ, окружающих источники, тогда и . ${\ displaystyle t_ {r} '= t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, т) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}, t) = 0}$

Для движущегося точечного заряда, траектория которого задается как функция времени с помощью , плотности заряда и тока следующие: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (т ')}$

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ', t') = q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t'))}

{\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t') = q \ mathbf {v} _ {s} (t ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {г} _ {s} (т '))}

где это трехмерная дельта - функция Дирака и является скоростью точечного заряда. ${\ displaystyle \ delta ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {s} (т ')}$

Подстановка в выражения для потенциала дает

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {q \ delta ^ {3} (\ mathbf { r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}'))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}' }

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {q \ mathbf {v} _ {s } (t_ {r} ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r} '))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}'}

Эти интегралы трудно вычислить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив на и интегрировав по дельта-распределению : ${\ displaystyle t_ {r} '}$ ${\ displaystyle t '}$ ${\ displaystyle \ delta (т'-т_ {г} ')}$

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iint {\ frac {q \ delta ^ {3} (\ mathbf { r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t'))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ delta (t'-t_ {r}') \, дт '\, д ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ iint {\ frac {q \ mathbf {v} _ {s } (t ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t '))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |} } \ delta (t'-t_ {r} ') \, dt' \, d ^ {3} \ mathbf {r} '}

Меняем порядок интеграции:

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iint {\ frac {\ delta (t'-t_ {r} ') )} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t ')) \, г ^ {3} \ mathbf {r} 'дт'}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ iint {\ frac {\ delta (t'-t_ {r } ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} q \ mathbf {v} _ {s} (t ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t ')) \, d ^ {3} \ mathbf {r}' dt '}

Дельта-функция выбирает, что позволяет нам легко выполнять внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что это функция от , поэтому эта интеграция также исправляет . ${\ Displaystyle \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {s} (т')}$ ${\ displaystyle t_ {r} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ displaystyle t_ {r} '= t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') |}$

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int q {\ frac {\ delta (t'-t_ {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') |}} dt '}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int q \ mathbf {v} _ {s} (t ' ) {\ frac {\ delta (t'-t_ {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') |}} \, dt '}

Запаздывающее время является функцией точки поля и траектории источника и, следовательно, зависит от . Поэтому для вычисления этого интеграла нам понадобится тождество ${\ displaystyle t_ {r} '}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (т ')}$ ${\ displaystyle t '}$

{\ Displaystyle \ дельта (е (т ')) = \ сумма _ {я} {\ гидроразрыва {\ дельта (т'-т_ {я})} {| е' (т_ {я}) |}}}

где каждый равен нулю . Поскольку существует только одно запаздывающее время для любых заданных пространственно-временных координат и траектории источника , это сводится к: ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (т ')}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta (t'-t_ {r} ') = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {{\ frac {\ partial} {\ partial t '}} (t'-t_ {r}') | _ {t '= t_ {r}}}} = & {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {{\ frac {\ partial} {\ partial t '}} (t' - (t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t ') |)) | _ {t '= t_ {r}}}} \\ & = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {1 + {\ frac {1} {c}} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} _ {s} (t ')) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') | \ cdot (- \ mathbf {v} _ {s } (t ')) | _ {t' = t_ {r}}}} \\ & = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {1 - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ end {align}}}

где и оцениваются в запаздывающее время , и мы использовали идентичность . Обратите внимание, что запаздывающее время - это решение уравнения . Наконец, выбирается дельта-функция , и ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} = \ mathbf {v} _ {s} / c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ Displaystyle | \ mathbf {x} | '= {\ шляпа {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) |}$ ${\ displaystyle t '= t_ {r}}$

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (1 - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) / | \ mathbf {r } - \ mathbf {r} _ {s} |)}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {q \ mathbf {v}} { | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (1 - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) ) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |)}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi} } \ left ({\ frac {q {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s})) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

которые являются потенциалами Льенара – Вихерта.

Датчик Лоренца, электрические и магнитные поля

Чтобы вычислить производные от и, удобно сначала вычислить производные от запаздывающего времени. Взяв производные от обеих частей определяющего уравнения (помня об этом ): ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {s}} = \ mathbf {r_ {s}} (t_ {r})}$

{\ displaystyle t_ {r} + {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = t}

Дифференцируя по t,

{\ displaystyle {\ frac {dt_ {r}} {dt}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {dt_ {r}} {dt}} {\ frac {d | \ mathbf {r } - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {dt_ {r}} {dt}} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) = 1}

{\ displaystyle {\ frac {dt_ {r}} {dt}} = {\ frac {1} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s} \ right)}}}

Точно так же, взяв градиент по отношению к, дает ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} + {\ frac {1} {c}} {\ boldsymbol {\ nabla}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = 0}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} + {\ frac {1} {c}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} {\ frac {d | \ mathbf {) r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} + \ mathbf {n} _ {s} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) = - \ mathbf {n} _ {s} / c}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} = - {\ frac {\ mathbf {n} _ {s} / c} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right)}}}

Следует, что

{\ displaystyle {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt}} = {\ frac {dt_ {r}} {dt}} {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} = {\ frac {- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s } c} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right)}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} {\ frac {d | \ mathbf {r) } - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} + \ mathbf {n} _ {s} = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s}} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right)}}}

Их можно использовать при вычислении производных векторного потенциала, и в результате получаются следующие выражения:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ varphi} {dt}} = & - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} \ left [(| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot) {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ right] \\ = & - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf { r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2 }}} {\ frac {d} {dt}} \ left [| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right] \\ = & - {\ frac {qc} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf { r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3 }}} \ left [- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} + {\ beta _ {s}} ^ {2} - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A} = & - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac { 1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s } \ right) ^ {2}}} {\ big (} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf { r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - \ left [ \ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} \\ = & - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ cdot \\ & \ left [(\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ beta} _ {s} ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ beta} _ {s} ^ {2} \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} + \ left ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsy mbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) + {\ big (} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} ( \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) \ right] \\ = & {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot { \ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [\ beta _ {s} ^ {2} - \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] \ end { выровнено}}}

Они показывают, что калибровка Лоренца выполняется, а именно, что . ${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {dt}} + c ^ {2} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A} = 0}$

Аналогичным образом рассчитывается:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf { r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [ \ mathbf {n} _ {s} \ left (1 - {\ beta _ {s}} ^ {2} + (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta} } _ {s}) \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {A}} {dt}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}} } \ left [{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ left (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - {\ beta _ {s} } ^ {2} + (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) + | \ mathbf { r} - \ mathbf {r_ {s}} | {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) / c \ right]}

Отметив , что для любых векторов , , : ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}) = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} - (\ mathbf {u } \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w}}

Выражение для упомянутого выше электрического поля принимает вид

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = & {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} { | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ { 3}}} \ cdot \\ & \ left [\ left (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) (1 - {\ beta _ {s} } ^ {2}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ { s} / c) (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | {\ big (} \ mathbf {n} _ {s} \ cdot (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) {\ big)} {\ dot {\ boldsymbol {\ бета}}} _ {s} / c \ right] \ end {align}}}

что, как легко видеть, равно ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi - {\ frac {d \ mathbf {A}} {dt}}}$

Аналогичным образом дает выражение упомянутого выше магнитного поля: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathbf {B}} = & {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0 } c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}} {\ big (} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s }} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol { \ beta}} _ {s} \ right) \ right] {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} \\ = & - {\ frac { q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf { n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ cdot \\ & \ left [(\ mathbf {n} _ {s} \ times { \ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - ({\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ beta} _ {s} ^ {2} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta }} _ {s} + \ left ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) ( \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) + {\ big (} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) \ right] \\ = & - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3}} } \ cdot \\ & \ left [\ left (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) (1 - {\ beta _ {s}} ^ {2}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | {\ big ( } \ mathbf {n} _ {s} \ cdot (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) {\ big)} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s}} {c}} \ times \ mathbf {E} \ конец {выровнен}}}

Исходные термины , и должны оцениваться в запаздывающее время. ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ beta} _ {s}}$

Подразумеваемое

Изучение классической электродинамики сыграло важную роль в развитии Альбертом Эйнштейном теории относительности. Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к описанию пространства и времени в специальной теории относительности . Формулировка Льенара – Вихерта является важной стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.

Описание Льенара – Вихерта является точным для большой, независимо движущейся частицы (т. Е. Трактовка является «классической», а ускорение заряда происходит за счет силы, не зависящей от электромагнитного поля). Формулировка Льенара – Вихерта всегда дает два набора решений: расширенные поля поглощаются зарядами, а запаздывающие поля излучаются. Шварцшильд и Фоккер рассматривали продвинутое поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, имеющих одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет добавить обе системы, так что заряды исчезнут: этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными по материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы дает когерентное взаимодействие света с веществом, которое обобщает теорию Эйнштейна, которая теперь считается основополагающей теорией лазеров: нет необходимости изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентное усиление в режим, полученный произвольным умножением опережающего и запаздывающего полей. Для вычисления энергии необходимо использовать абсолютные поля, которые включают поле нулевой точки; в противном случае появляется ошибка, например, при подсчете фотонов.

Важно учитывать поле нулевой точки, открытое Планком. Он заменяет коэффициент Эйнштейна «А» и объясняет, что классический электрон устойчив на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к поправке Уиллиса Э. Лэмба уровней атома H.

Квантовая электродинамика помогла объединить излучательное поведение с квантовыми ограничениями. Он вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых совершенных оптических резонаторах.

Универсальное ограничение скорости

Сила, действующая на частицу в данном месте $r$ и времени $t$ , сложным образом зависит от положения исходных частиц в более ранний момент времени $t r$ из-за конечной скорости c , с которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит» ускорение заряженной частицы на Луне, как это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, как это произошло 500 секунд назад. Это более раннее время , в котором событие происходит таким образом, что частица в точке $г$ «видит» это событие в более позднее время $т$ называется замедленное время , $т г$ . Время задержки зависит от положения; например, время задержки на Луне на 1,5 секунды раньше текущего времени, а время задержки на Солнце на 500 секунд раньше текущего времени на Земле. Время запаздывания t _r = t _r ( r , t ) неявно определяется выражением

{\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {R (t_ {r})} {c}}}

где - расстояние частицы от источника в запаздывающий момент. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени. ${\ displaystyle R (t_ {r})}$

Новую особенность потенциала Льенара – Вихерта можно увидеть в разделении его членов на два типа полевых членов (см. Ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первым из них является статическое электрическое (или магнитное) поле, которое зависит только от расстояния до движущегося заряда и совсем не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой термин - динамический, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд ускорялся с компонентом, перпендикулярным линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появлялся, пока источник не изменил скорость. Этот второй термин связан с электромагнитным излучением.

Первый член описывает эффекты ближнего поля от заряда, а его направление в пространстве обновляется с помощью члена, который корректирует любое движение заряда с постоянной скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда. , без аберраций света или световой коррекции . Этот член, который корректирует задержки с запаздыванием по времени в направлении статического поля, требуется по лоренц-инвариантности. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно так же, как статический заряд движущемуся наблюдателю, и в последнем случае направление статического поля должно изменяться мгновенно, без задержки по времени. Таким образом, статические поля (первый член) указывают точно на истинное мгновенное (не запаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за время задержки. Это верно на любом расстоянии, разделяющем объекты.

Однако второй член, который содержит информацию об ускорении и другом уникальном поведении заряда, который нельзя удалить путем изменения системы отсчета Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит для направления от запаздывающего по времени положения объекта. источник. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым членом) всегда кажется исходящим со стороны положения излучающего заряда в запаздывающий момент времени . Только этот второй член описывает передачу информации о поведении заряда, которая происходит (излучается зарядом) со скоростью света. На «дальних» расстояниях (длиннее нескольких длин волн излучения) зависимость этого члена от 1 / R делает эффекты электромагнитного поля (значение этого члена поля) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются 1 / R ^{2 является} полем первого (статического) члена и, следовательно, быстрее затухает с удалением от заряда.

Существование и уникальность запаздывающего времени

Существование

Существование запаздывающего времени в целом не гарантируется. Например, если в данной системе отсчета только что был создан электрон, то в этот самый момент другой электрон еще не чувствует своей электромагнитной силы. Однако при определенных условиях всегда существует запаздывающее время. Например, если исходный заряд существует в течение неограниченного времени, в течение которого он всегда двигался со скоростью, не превышающей его , то существует допустимое время задержки . В этом можно убедиться, рассмотрев функцию . В настоящее время ; . Производная дается формулой ${\ displaystyle v_ {M} <c}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ displaystyle f (t ') = | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') | -c (t-t ')}$ ${\ displaystyle t '= t}$ ${\ displaystyle f (t ') = | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t') | -c (t-t ') = | \ mathbf {r} - \ mathbf {r } _ {s} (t ') | \ geq 0}$ ${\ displaystyle f '(т')}$

{\ displaystyle f '(t') = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) |}} \ cdot (- \ mathbf {v} _ {s} (t ')) + c \ geq c- \ left | {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) |}} \ right | \, | \ mathbf { v} _ {s} (t ') | = c- | \ mathbf {v} _ {s} (t') | \ geq c-v_ {M}> 0}

По теореме о среднем значении , . Если сделать достаточно большим, это может стать отрицательным, т. Е. В какой-то момент в прошлом . По теореме о промежуточном значении существует промежуточное звено с определяющим уравнением запаздывающего времени. Интуитивно понятно, что по мере того, как исходный заряд движется назад во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время расширяется быстрее, чем он может отступить, поэтому в конечном итоге он должен достичь точки . Это не обязательно верно, если разрешено, чтобы скорость исходного заряда была сколь угодно близкой , т. Е. Если для любой заданной скорости было какое-то время в прошлом, когда заряд двигался с этой скоростью. В этом случае поперечное сечение светового конуса в настоящее время приближается к точке, когда наблюдатель перемещается назад во времени, но не обязательно когда-либо достигает ее. ${\ Displaystyle f (t- \ Delta t) \ Leq f (t) -f '(t) \ Delta t \ leq f (t) - (c-v_ {M}) \ Delta t}$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ Displaystyle f (т ') <0}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ displaystyle f (t_ {r}) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle v <c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Уникальность

Для данной точки и траектории точечного источника существует не более одного значения запаздывающего времени , т. Е. Одно такое значение , что . Это может быть реализовано, если предположить, что есть два запаздывающих времени и , с . Затем, и . Вычитание дает по неравенству треугольника . Если только это не означает, что средняя скорость заряда между и есть , что невозможно. Интуитивно понятная интерпретация состоит в том, что можно "увидеть" точечный источник только в одном месте / в одно время одновременно, если только он не перемещается, по крайней мере, со скоростью света в другое место. По мере того как источник движется вперед во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время сжимается быстрее, чем может приблизиться источник, поэтому он никогда не сможет снова пересечь точку . ${\ Displaystyle (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (т ')}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ displaystyle t_ {r}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) | = c (t-t_ {r})}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | = c (t-t_ {1})}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) | = c (t-t_ {2})}$ ${\ displaystyle c (t_ {2} -t_ {1}) = | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | - | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _ {s} (t_ {2}) | \ leq | \ mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) |}$ ${\ displaystyle t_ {2} = t_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | / (t_ {2} -t_ {1}) \ geq c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$