Координаты линии - Line coordinates

В геометрии , координата линии используется для определения положения в линии так же , как координаты точки (или просто координаты ) используются для определения положения точки.

Линии в самолете

Есть несколько возможных способов указать положение линии на плоскости. Простой способ - пара ( m , b ), где уравнение прямой y  = mx  +  b . Здесь m - наклон, а b - точка пересечения с y . Эта система определяет координаты для всех линий, которые не являются вертикальными. Однако более распространено и проще с алгебраической точки зрения использовать координаты ( l , m ), где уравнение линии - lx  +  my  + 1 = 0. Эта система определяет координаты для всех линий, кроме тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации l и m являются отрицательными обратными значениями пересечения x и y соответственно.

Исключение линий, проходящих через начало координат, может быть решено путем использования системы трех координат ( l , m , n ) для задания линии с помощью уравнения lx  +  my  +  n  = 0. Здесь l и m не могут быть одновременно равными 0. В этом уравнении значимы только отношения между l , m и n , другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная линия остается той же самой. Итак, ( l , m , n ) - это система однородных координат прямой.

Если точки на реальной проективной плоскости представлены однородными координатами ( x , y , z ) , уравнение прямой будет lx  +  my  +  nz  = 0 при условии ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . В частности, координата линии (0, 0, 1) представляет прямую z  = 0, которая является бесконечно удаленной линией в проективной плоскости . Координаты линии (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют оси x и y соответственно.

Тангенциальные уравнения

Так же, как f ( x ,  y ) = 0 может представлять кривую как подмножество точек на плоскости, уравнение φ ( l ,  m ) = 0 представляет подмножество прямых на плоскости. Набор прямых на плоскости можно в абстрактном смысле рассматривать как набор точек на проективной плоскости, двойственной исходной плоскости. Уравнение φ ( l ,  m ) = 0 тогда представляет собой кривую в двойственной плоскости.

Для кривой f ( x ,  y ) = 0 на плоскости касательные к кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую дуальной кривой . Если φ ( l ,  m ) = 0 - уравнение двойственной кривой, то оно называется касательным уравнением для исходной кривой. Данное уравнение φ ( l ,  m ) = 0 представляет кривую в исходной плоскости, определяемую как огибающая линий, которые удовлетворяют этому уравнению. Аналогично, если φ ( l ,  m ,  n ) - однородная функция, то φ ( l ,  m ,  n ) = 0 представляет собой кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названо однородным касательным уравнением огибающей кривой. .

Тангенциальные уравнения полезны при изучении кривых, определенных как огибающие, точно так же, как декартовы уравнения полезны при изучении кривых, определенных как локусы.

Касательное уравнение точки

Линейное уравнение в линейных координатах имеет вид al  +  bm  +  c  = 0, где a , b и c - константы. Предположим , что прямая ( l ,  m ) удовлетворяет этому уравнению. Если c не 0, то lx  +  my  + 1 = 0, где x  =  a / c и y  =  b / c , поэтому каждая линия, удовлетворяющая исходному уравнению, проходит через точку ( x ,  y ). И наоборот, любая прямая, проходящая через ( x ,  y ), удовлетворяет исходному уравнению, поэтому al  +  bm  +  c  = 0 - это уравнение множества прямых, проходящих через ( x ,  y ). Для данной точки ( x ,  y ) уравнение набора прямых равно lx  +  my  + 1 = 0, поэтому его можно определить как касательное уравнение точки. Аналогично, для точки ( x ,  y ,  z ), заданной в однородных координатах, уравнение точки в однородных касательных координатах будет lx  +  my  +  nz  = 0.

Формулы

Пересечение прямых ( l ₁ ,  m ₁ ) и ( l ₂ ,  m ₂ ) является решением линейных уравнений

${\ Displaystyle l_ {1} х + м_ {1} y + 1 = 0}$

${\ displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + 1 = 0.}$

По правилу Крамера решение

${\ displaystyle x = {\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}, \, y = - {\ frac {l_) {1} -l_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}.}$

Строки ( l ₁ ,  m ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ) и ( l ₃ ,  m ₃ ) совпадают, когда определитель

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & 1 \\ l_ {2} & m_ {2} & 1 \\ l_ {3} & m_ {3} & 1 \ end {vmatrix}} = 0.}$

Для однородных координат пересечение прямых ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ) и ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) равно

${\ displaystyle (m_ {1} n_ {2} -m_ {2} n_ {1}, \, l_ {2} n_ {1} -l_ {1} n_ {2}, \, l_ {1} m_ { 2} -l_ {2} m_ {1}).}$

Строки ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) и ( l ₃ ,  m ₃ ,  n ₃ ) совпадают, когда определитель

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & n_ {1} \\ l_ {2} & m_ {2} & n_ {2} \\ l_ {3} & m_ {3} & n_ {3} \ конец {vmatrix}} = 0.}$

Соответственно, координаты строки, содержащей ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ), равны

${\ displaystyle (y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2}, \, x_ {1} y_ { 2} -x_ {2} y_ {1}).}$

Линии в трехмерном пространстве

Для двух заданных точек на реальной проективной плоскости ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ) три определителя

${\ displaystyle y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2}, \, x_ {1} y_ {2 } -x_ {2} y_ {1}}$

определить содержащую их проективную линию .

Аналогично, для двух точек в RP ³ , ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ,  w ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ,  w ₂ ), линия, содержащая их, определяется шестью определителями

${\ displaystyle x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}, \, x_ {1} z_ {2} -x_ {1} z_ {2}, \, y_ {1} z_ {2 } -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {1} w_ {2} -x_ {2} w_ {1}, \, y_ {1} w_ {2} -y_ {2} w_ {1} , \, z_ {1} w_ {2} -z_ {2} w_ {1}.}$

Это основа для системы однородных линейных координат в трехмерном пространстве, называемых координатами Плюккера . Шесть чисел в наборе координат представляют собой линию, только если они удовлетворяют дополнительному уравнению. Эта система отображает пространство прямых в трехмерном пространстве в проективное пространство RP ⁵ , но с дополнительным требованием пространство прямых соответствует квадрике Клейна , которая является многообразием размерности четыре.

В более общем смысле, прямые в n -мерном проективном пространстве определяются системой из n ( n  - 1) / 2 однородных координат, которые удовлетворяют набору ( n  - 2) ( n  - 3) / 2 условий, что приводит к многообразию размерности 2 n - 2.

С комплексными числами

Исаак Яглом показал, как двойные числа обеспечивают координаты ориентированных линий на евклидовой плоскости, а разделенные комплексные числа образуют линейные координаты для гиперболической плоскости . Координаты зависят от наличия на ней начала координат и опорной линии. Затем для произвольной линии ее координаты находятся от пересечения с опорной линией. Используются расстояние s от начала координат до пересечения и угол наклона θ между двумя линиями:

${\ Displaystyle Z = (\ загар {\ гидроразрыва {\ theta} {2}}) (1 + s \ epsilon)}$ - двойное число для евклидовой прямой, а

${\ displaystyle z = (\ tan {\ frac {\ theta} {2}}) (\ cosh s + j \ sinh s)}$ - расщепляемое комплексное число для прямой на плоскости Лобачевского.

Поскольку в плоскости Лобачевского есть линии, ультрапараллельные опорной линии, им также нужны координаты: существует единственный общий перпендикуляр , скажем, s - это расстояние от начала координат до этого перпендикуляра, а d - длина отрезка между опорной точкой и точкой отсчета. данная строка.

${\ Displaystyle Z = (\ tanh {\ frac {d} {2}}) (\ sinh s + j \ cosh s)}$ обозначает ультрапараллельную линию.

Движения линейной геометрии описываются дробно-линейными преобразованиями на соответствующих комплексных плоскостях.

Смотрите также

• Соглашения по робототехнике

использованная литература

• Бейкер, Генри Фредерик (1923), Принципы геометрии. Том 3. Твердая геометрия. Квадрики, кубические кривые в пространстве, кубические поверхности. , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , стр. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, Руководство по ремонту  2857520. Переиздано в 2010 г.
• Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию . Кларендон. п. 390.