Линейная сейсмическая инверсия - Linear seismic inversion

Обратное моделирование - это математический метод, цель которого состоит в том, чтобы определить физические свойства подповерхностного слоя земной области, которая произвела данную сейсмограмму . Кук и Шнайдер (1983) определили это как расчет структуры и физических параметров Земли на основе некоторого набора наблюдаемых сейсмических данных. В основе этого метода лежит предположение, что собранные сейсмические данные относятся к земной структуре, которая соответствует поперечному сечению, вычисленному с помощью алгоритма инверсии . Некоторые общие свойства земли, которые инвертируются, включают скорость звука, плотность пласта и флюида , акустический импеданс ,Коэффициент Пуассона , сжимаемость пласта, жесткость на сдвиг, пористость и флюидонасыщенность.

Этот метод давно используется геофизиками и может быть разделен на два основных типа: детерминированная и стохастическая инверсия. Методы детерминированной инверсии основаны на сравнении выходных данных модели недр с данными наблюдаемых полей и постоянном обновлении параметров модели недр для минимизации функции, которая обычно представляет собой некоторую форму разницы между выходными данными модели и полевыми наблюдениями. Таким образом, этот метод инверсии, к которому подпадает линейная инверсия, ставится как проблема минимизации, а принятая модель земли - это набор параметров модели, который минимизирует целевую функцию при создании числовой сейсмограммы, которая лучше всего сравнивается с собранными полевыми сейсмическими данными.

С другой стороны, методы стохастической инверсии используются для создания моделей с ограничениями, которые используются при моделировании потока коллектора , с использованием геостатистических инструментов, таких как кригинг . В отличие от методов детерминированной инверсии, которые производят единый набор параметров модели, стохастические методы генерируют набор альтернативных параметров модели недр, которые все подчиняются ограничениям модели. Однако эти два метода связаны, поскольку результаты детерминированных моделей представляют собой среднее значение всех возможных неуникальных решений стохастических методов. Поскольку сейсмическая линейная инверсия является детерминированным методом инверсии, стохастический метод не будет обсуждаться дальше этого пункта.

Рисунок 1: Блок-схема линейной сейсмической инверсии

Линейная инверсия

Детерминированный характер линейной инверсии требует функционального отношения , какие модели, с точкой зрения модели земли параметров сейсмического переменной инвертируются. Эта функциональная взаимосвязь представляет собой некую математическую модель, основанную на фундаментальных законах физики, и ее чаще называют прямой моделью. Целью метода является минимизация функции, которая зависит от разницы между сверткой прямой модели с исходным вейвлетом и сейсмической трассой, собранной в поле . Как и в области оптимизации, эта функция, которая должна быть минимизирована, называется целевой функцией, а в конвективном инверсном моделировании это просто разница между свернутой прямой моделью и сейсмической трассой. Как упоминалось ранее, различные типы переменных могут быть инвертированы, но для ясности эти переменные будут называться рядами импеданса модели земли. В следующих подразделах мы более подробно опишем в контексте линейной инверсии как задачи минимизации различные компоненты, которые необходимы для инверсии сейсмических данных.

Форвардная модель

Центральным элементом сейсмической линейной инверсии является прямая модель, которая моделирует создание собранных экспериментальных данных. Согласно Виггинсу (1972), он обеспечивает функциональную (вычислительную) связь между параметрами модели и расчетными значениями наблюдаемых трасс. В зависимости от собранных сейсмических данных эта модель может варьироваться от классических волновых уравнений для прогнозирования смещения частиц или давления жидкости для распространения звуковой волны через породу или флюиды до некоторых вариантов этих классических уравнений. Например, прямая модель в Тарантоле (1984) представляет собой волновое уравнение для изменения давления в жидкой среде во время распространения сейсмических волн, в то время как, предполагая слои постоянной скорости с плоскими границами раздела, Канасевич и Чиу (1985) использовали модель брахистотрона Джона Бернулли для время прохождения луча по пути. В Cooke and Schneider (1983) модель представляет собой алгоритм генерации синтетического следа, выраженный в формуле. 3, где R (t) генерируется в Z-области по рекурсивной формуле. В какой бы форме ни появилась прямая модель, важно, чтобы она не только предсказывала собранные полевые данные, но и моделировала их генерацию. Таким образом, прямая модель Кука и Шнайдера (1983) может использоваться только для инвертирования данных ОГТ, поскольку модель неизменно предполагает отсутствие потерь за счет имитации реакции горизонтально однородной земли на источник плоских волн.

  1. где t - время прохождения луча, x, y, z - координаты глубины, а vi - постоянная скорость между интерфейсами i - 1 и i.
  2. где представляют собой объемный модуль упругости, плотность, источник акустических волн и изменение давления.

где s ( t ) = синтетическая трасса, w ( t ) = вейвлет источника и R ( t ) = функция отражательной способности.

Целевая функция

Важным численным процессом в обратном моделировании является минимизация целевой функции, которая является функцией, определяемой в терминах разницы между собранными полевыми сейсмическими данными и численно вычисленными сейсмическими данными. Классические целевые функции включают сумму квадратов отклонений между экспериментальными и численными данными, как в методе наименьших квадратов , сумму величины разницы между полевыми и числовыми данными или какой-либо вариант этих определений. Независимо от используемого определения численное решение обратной задачи получается как модель земли, минимизирующая целевую функцию.

Помимо целевой функции, в процедуру обратного моделирования также включаются другие ограничения, такие как известные параметры модели и известные границы раздела слоев в некоторых регионах Земли. Эти ограничения, согласно Фрэнсису 2006, помогают уменьшить неединственность решения инверсии, предоставляя априорную информацию, которая не содержится в инвертированных данных, в то время как Cooke и Schneider (1983) сообщают, что они полезны для контроля шума и при работе в геофизических условиях. известный район.

Математический анализ процедуры обобщенного линейного обращения

Целью математического анализа обратного моделирования является преобразование обобщенной линейной обратной задачи в простую матричную алгебру с учетом всех компонентов, описанных в предыдущих разделах. а именно; прямая модель, целевая функция и т. д. Как правило, полученные численно сейсмические данные являются нелинейными функциями параметров модели недр. Чтобы устранить нелинейность и создать платформу для применения концепций линейной алгебры , прямая модель линеаризуется путем расширения с использованием ряда Тейлора, как показано ниже. Подробнее см. Wiggins (1972), Cooke and Schneider (1983).

Рассмотрим набор полевых сейсмических наблюдений для и набор параметров модели земли, которые необходимо инвертировать для . Полевые наблюдения могут быть представлены в виде или , где и являются векторными представлениями параметров модели и полевых наблюдений как функции параметров земли. Точно так же для представления предположений о параметрах модели используется вектор численно вычисленных сейсмических данных с использованием прямой модели из разд. 1.3. Ниже приводится разложение около Тейлора .

  1. При линеаризации путем отбрасывания нелинейных членов (членов с (p⃗ - ⃗q) порядка 2 и выше) уравнение становится
  2. Учитывая, что имеет компоненты и и имеют компоненты, дискретная форма уравнения. 5 приводит к системе линейных уравнений с переменными, матричная форма которой показана ниже.

называется вектором разности в Cooke and Schneider (1983). Он имеет размер, а его компоненты представляют собой разницу между наблюдаемой трассой и численно рассчитанными сейсмическими данными. - вектор корректора размера , а называется матрицей чувствительности. Он имеет размер и комментарии к нему таковы, что каждый столбец является частной производной компонента прямой функции по одному из неизвестных параметров модели земли. Точно так же каждая строка является частной производной компонента численно вычисленной сейсмической трассы по всем неизвестным параметрам модели.

Алгоритм решения

вычисляется из прямой модели, а - экспериментальных данных. Таким образом, это известное качество. С другой стороны, неизвестно и получается путем решения уравнения. 10. Это уравнение теоретически разрешимо только тогда, когда оно обратимо, то есть если оно представляет собой квадратную матрицу, так что количество наблюдений равно количеству неизвестных параметров земли. Если это так, неизвестный вектор корректора решается, как показано ниже, с использованием любого из классических прямых или итерационных решателей для решения набора линейных уравнений.

В большинстве применений сейсмической инверсии имеется больше наблюдений, чем количество параметров земли, которые необходимо инвертировать, т. Е. Приводящие к системе уравнений, которая математически переопределена. В результате уравнение. 10 теоретически не разрешима, и точное решение невозможно. Оценка вектора корректора получается с помощью процедуры наименьших квадратов , чтобы найти корректора вектор , который минимизирует , который является суммой квадратов ошибки, .

Ошибка определяется как

В процедуре наименьших квадратов вектор корректора, который минимизирует , получается, как показано ниже.

Таким образом,

Из приведенных выше рассуждений, целевая функция определяется как либо или нормы Предоставлено или или дано или .

Обобщенная процедура инвертирования любых экспериментальных сейсмических данных для или , используя математическую теорию для обратного моделирования, как описано выше, показана на рисунке 1 и описывается следующим образом.

Первоначальное предположение об импедансе модели предоставляется для запуска процесса инверсии. В прямой модели это начальное предположение используется для вычисления синтетических сейсмических данных, которые вычитаются из наблюдаемых сейсмических данных для вычисления вектора разности.

  1. Первоначальное предположение об импедансе модели предоставляется для запуска процесса инверсии.
  2. Синтетические сейсмические данные рассчитываются с помощью прямой модели с использованием приведенного выше импеданса модели.
  3. Вектор разности вычисляется как разница между экспериментальными и синтетическими сейсмическими данными.
  4. Матрица чувствительности вычисляется при этом значении профиля импеданса.
  5. Используя и вектор разности из 3 выше, вычисляется вектор корректора . Новый профиль импеданса получается как
  6. Или норма вычисленного вектора корректора сравниваются с значением параметром допуска. Если вычисленная норма меньше , чем допустимое отклонение, численная процедура завершена , и инвертированный профиль импеданса для области заземления задается из уравнения. 14. С другой стороны, если норма больше, чем допуск, итерации через шаги 2-6 повторяются, но с обновленным профилем импеданса, вычисленным по формуле. 14. На рис. 2 показан типичный пример обновления профиля импеданса во время последовательной итерации. Согласно Куку и Шнайдеру (1983), использование исправленного предположения из уравнения. 14, поскольку новое начальное предположение во время итерации уменьшает ошибку.

Параметризация пространства модели Земли

Независимо от переменной, которая должна быть инвертирована, импеданс земли является непрерывной функцией глубины (или времени в сейсмических данных), и для того, чтобы метод численной линейной инверсии был применим для этой непрерывной физической модели, непрерывные свойства должны быть дискретизированы и / или с дискретными интервалами по глубине модели земли. Таким образом, общая глубина, на которой должны определяться свойства модели, является необходимой отправной точкой для дискретизации. Обычно, как показано на рис. 3, эти свойства отбираются через близкие дискретные интервалы на этой глубине, чтобы гарантировать высокое разрешение изменения импеданса по глубине земли. Значения импеданса, инвертированные из алгоритма, представляют собой среднее значение в дискретном интервале.

Учитывая, что обратная задача моделирования разрешима только теоретически, когда количество дискретных интервалов для выборки свойств равно количеству наблюдений в трассе, которую нужно инвертировать, выборка с высоким разрешением приведет к большой матрице, что будет очень дорого. инвертировать. Кроме того, матрица может быть сингулярной для зависимых уравнений, инверсия может быть нестабильной в присутствии шума, и система может быть недостаточно ограниченной, если желательны параметры, отличные от первичных переменных, для которых инвертированы. Что касается желаемых параметров, отличных от импеданса, Cooke and Schneider (1983) дает им включение вейвлета источника и масштабного коэффициента.

Наконец, рассматривая ограничения как известные значения импеданса в некоторых слоях или дискретных интервалах, количество решаемых неизвестных значений импеданса сокращается, что приводит к большей точности результатов алгоритма инверсии.

Рисунок 8: Журнал амплитуды
Рисунок 9a: Журналы импеданса, инвертированные по амплитуде
Рисунок 9b: Каротаж скважины с импедансом

Примеры инверсии

Температурная инверсия от Marescot (2010)

Мы начнем с примера, чтобы инвертировать значения параметров земли из распределения температуры по глубине в данном регионе земли. Хотя этот пример не имеет прямого отношения к сейсмической инверсии, поскольку в ней не участвуют бегущие акустические волны, тем не менее, он вводит практическое применение техники инверсии в легкой для понимания манере, прежде чем переходить к сейсмическим приложениям. В этом примере температура земли измеряется в отдельных точках ствола скважины путем размещения датчиков температуры на заданных глубинах. Принимая прямую модель линейного распределения температуры по глубине, два параметра инвертируются на основе измерений температуры на глубине.

Форвардная модель представлена

где . Таким образом, размерность равна 2, т.е. число инвертированных параметров равно 2.

Цель этого алгоритма инверсии - найти , значение которого минимизирует разницу между наблюдаемым распределением температуры и полученным с использованием прямой модели уравнения 15. Учитывая размерность прямой модели или количество подлежащих наблюдению температуры , компоненты прямой модели записываются как

  1. так что

Мы представляем результаты Marescot (2010) для случая , для которых наблюдаемых значений температуры на глубинах , были на и в . Эти экспериментальные данные были инвертированы для получения значений параметров земли и . Для более общего случая с большим количеством наблюдений температуры на рис. 4 показана окончательная линейная прямая модель, полученная с использованием инвертированных значений и . На рисунке показано хорошее совпадение экспериментальных и численных данных.

Инверсия времени распространения волны от Marescot (2010)

Этот пример инвертирует скорость слоя земли из записанных времен пробега сейсмических волн. На рис. 5 показаны предположения о начальной скорости и время пробега, записанные с месторождения, а на рис. 6а показана инвертированная неоднородная скоростная модель, которая является решением алгоритма инверсии, полученным после 30 итераций . Как видно на рис. 6b, есть хорошее сравнение между окончательными временами пробега, полученными из прямой модели с использованием инвертированной скорости, и временами пробега в полевых условиях. Используя эти решения, была восстановлена ​​траектория луча, которая, как показано на рисунке 7, является очень извилистой в модели земли.

Инверсия сейсмических трасс от Кука и Шнайдера (1983)

Этот пример, взятый из Cooke and Schneider (1983), показывает инверсию сейсмической трассы CMP для профиля импеданса модели земли (произведение плотности и скорости). Инвертированная сейсмическая трасса показана на рис. 8, а на рис. 9а показан перевернутый профиль импеданса с входным начальным импедансом, используемым для алгоритма инверсии. Рядом с сейсмической трассой также записывается диаграмма импеданса земной области, как показано на рис. 9b. Рисунки показывают хорошее сравнение между записанным каротажем импеданса и численным инвертированным импедансом из сейсмической трассы.

Ссылки

дальнейшее чтение

  • Бэкус, Г. 1970. «Вывод из неадекватных и неточных данных». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 65, no. 1.
  • Бэкус Г. и Ф. Гилберт. 1968. «Разрешающая способность совокупных данных о Земле». Геофизический журнал Королевского астрономического общества 16 (2): 169–205.
  • Бэкус, Г.Е. и Дж. Ф. Гилберт. 1967. «Численные приложения формализма для обратных геофизических задач». Геофизический журнал Королевского астрономического общества. 13 (1-3): 247.
  • Бамбергер А., Дж. Чавент, К. Хемон и П. Лайи. 1982. «Инверсия сейсомограмм нормальной заболеваемости». Геофизика 47 (5): 757–770.
  • Клейтон, Р. У. и Р. Х. Столт. 1981. «Метод инверсии Борна-WKBJ для данных акустического отражения». Геофизика 46 (11): 1559–1567.
  • Франклин, Дж. Н. 1970. «Корректные стохастические расширения некорректных линейных задач». Журнал математического анализа и приложений 31 (3): 682.
  • Паркер Р.Л. 1977. «Понимание обратной теории». Ежегодный обзор наук о Земле и планетах 5: 35–64.
  • Роулинсон, Н. 2000. «Инверсия сейсмических данных для слоистой структуры земной коры». Кандидат наук. дисс., Университет Монаш.
  • Ван Б. и Л. У. Брайл. 1996. «Одновременная инверсия сейсмических данных по отражениям и преломлениям и их применение к полевым данным северного рифта Рио-Гранде». Международный геофизический журнал 125 (2): 443–458.
  • Weglein, AB, HY Zhang, AC Ramirez, F. Liu и JEM Lira. 2009. «Уточнение основного и фундаментального смысла приблизительной линейной инверсии сейсмических данных». Геофизика 74 (6): 6WCD1 – WCD13.