Теорема Линника - Linnik's theorem

Теорема Линника в аналитической теории чисел отвечает на естественный вопрос после теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Он утверждает, что существуют положительные c и L такие, что, если мы обозначим p ( a , d ) наименьшее простое число в арифметической прогрессии

${\ Displaystyle а + nd, \}$

где n пробегает натуральные числа, а a и d - любые заданные положительные взаимно простые целые числа с 1 ≤ a ≤ d - 1, тогда:

${\ Displaystyle \ OperatorName {p} (a, d) <cd ^ {L}. \;}$

Теорема названа в честь Юрия Владимировича Линника , который доказал это в 1944 г. Хотя доказательство Линника показал C и L , чтобы быть эффективно вычислимой , он не представил никаких числовых значений для них.

Это следует из теоремы Жигмонди в том , что р (1, д ) ≤ 2 ^d - 1, для всех г ≥ 3. Известно , что р (1, р ) ≤ L _р , для всех простых чисел р ≥ 5, а L _р является конгруэнтны до 1 по модулю p для всех простых чисел p , где L _p обозначает p -ое число Люка . Как и числа Мерсенна, числа Люка с простыми индексами имеют делители вида 2 kp +1.

Характеристики

Известно, что L ≤ 2 почти для всех целых d .

На основе обобщенной гипотезы Римана можно показать, что

${\ Displaystyle \ OperatorName {p} (a, d) \ leq (1 + o (1)) \ varphi (d) ^ {2} \ ln ^ {2} d \ ;,}$

где - общая функция , а более сильная оценка ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {p} (а, d) \ leq \ varphi (d) ^ {2} \ ln ^ {2} d \ ;,}$

также было доказано.

Также предполагается, что:

${\ displaystyle \ operatorname {p} (a, d) <d ^ {2}. \;}$

Границы для L

Константа L называется постоянной Линника, и в следующей таблице показан прогресс, достигнутый в определении ее размера.

Более того, в результате Хита-Брауна константа c эффективно вычислима.

Примечания