Кривая Лиссажу - Lissajous curve
Кривой Лиссажу / л ɪ с ə ʒ ¯u / , также известный как Лиссаж фигура или кривой Bowditch / б aʊ д ɪ tʃ / , является графиком системы параметрических уравнений
которые описывают сложное гармоническое движение . Это семейство кривых было исследовано Натаниэлем Боудичем в 1815 году, а затем более подробно в 1857 году Жюлем Антуаном Лиссажу (в честь которого оно было названо).
Внешний вид фигуры очень чувствителен к соотношению а/б. Для отношения 1 фигура представляет собой эллипс , а в особых случаях - кружки ( A = B , δ =π/2 радианы ) и прямые ( δ = 0 ). Еще одна простая фигура Лиссажу - парабола (б/а= 2 , δ =π/4). Другие соотношения дают более сложные кривые, которые замыкаются, только еслиа/бявляется рациональным . Визуальная форма этих кривых часто наводит на мысль о трехмерном узле , и действительно, многие виды узлов, в том числе известные как узлы Лиссажу , выступают на плоскость как фигуры Лиссажу.
Визуально соотношение а/бопределяет количество «лепестков» фигуры. Например, соотношение3/1 или же 1/3создает фигуру с тремя основными лепестками (см. изображение). Точно так же соотношение5/4производит фигуру с пятью горизонтальными лепестками и четырьмя вертикальными лепестками. Рациональные соотношения создают замкнутые (связанные) или «неподвижные» фигуры, а иррациональные отношения создают фигуры, которые кажутся вращающимися. СоотношениеА/Bопределяет относительное отношение ширины к высоте кривой. Например, соотношение2/1производит фигуру, которая вдвое шире, чем высота. Наконец, величина δ определяет кажущийся угол «поворота» фигуры, рассматриваемой, как если бы она была на самом деле трехмерной кривой. Например, δ = 0 дает компоненты x и y , которые точно совпадают по фазе, поэтому результирующая фигура выглядит как кажущаяся трехмерная фигура, если смотреть прямо (0 °). Напротив, любое ненулевое δ дает фигуру, которая кажется повернутой либо влево-вправо, либо в направлении вверх-вниз (в зависимости от соотношенияа/б).
Фигуры Лиссажу, где a = 1 , b = N ( N - натуральное число ) и
являются многочлены Чебышева первого рода степени N . Это свойство используется для создания набора точек, называемых точками Падуи , в которых функция может быть выбрана для вычисления либо двумерной интерполяции, либо квадратуры функции в области [−1,1] × [−1,1 ] .
Связь некоторых кривых Лиссажу с полиномами Чебышева более ясна, чтобы понять, выражается ли кривая Лиссажу, которая порождает каждую из них, с помощью функций косинуса, а не функций синуса.
Примеры
Анимация показывает адаптацию кривой с непрерывным увеличением а/бдробь от 0 до 1 с шагом 0,01 ( δ = 0 ).
Ниже приведены примеры фигур Лиссажу с нечетным натуральным числом a , четным натуральным числом b и | а - б | = 1 .
Поколение
До появления современного электронного оборудования кривые Лиссажу можно было генерировать механически с помощью гармонографа .
Практическое применение
Кривые Лиссажу также можно построить с помощью осциллографа (как показано на рисунке). Схема осьминога может использоваться для демонстрации изображений формы сигнала на осциллографе. Два синусоидальных входа с фазовым сдвигом подаются на осциллограф в режиме XY, и фазовое соотношение между сигналами представлено в виде фигуры Лиссажу.
В мире профессионального звука этот метод используется для анализа в реальном времени фазового соотношения между левым и правым каналами стереофонического аудиосигнала. На более крупных и сложных консолях микширования звука для этой цели может быть встроен осциллограф.
На осциллографе мы предполагаем, что x - это CH1, а y - это CH2, A - амплитуда CH1, а B - амплитуда CH2, a - частота CH1 и b - частота CH2, поэтомуа/б- отношение частот двух каналов, а δ - фазовый сдвиг канала CH1.
Чисто механическое применение кривой Лиссажу с a = 1 , b = 2 находится в приводном механизме ламп с колеблющимся лучом типа Mars Light, популярных на железных дорогах в середине 1900-х годов. Луч в некоторых версиях имеет на своей стороне однобокий узор в виде восьмерки.
Приложение для случая a = b
Когда вход в систему LTI является синусоидальным, выходной сигнал синусоидален с той же частотой, но может иметь другую амплитуду и некоторый фазовый сдвиг . Использование осциллографа, который может отображать один сигнал относительно другого (в отличие от одного сигнала относительно времени), чтобы построить график вывода системы LTI относительно ввода системы LTI, дает эллипс, который является фигурой Лиссажу для особого случая a = b . Соотношение сторон результирующего эллипса является функцией фазового сдвига между входом и выходом, с соотношением сторон 1 (идеального круга) , соответствующее фазовым сдвигом ± 90 ° и соотношение сторон ∞ (линия) , соответствующими с фазовым сдвигом 0 ° или 180 °.
На рисунке ниже показано, как фигура Лиссажу изменяется при разных фазовых сдвигах. Все фазовые сдвиги отрицательны, поэтому семантика задержки может использоваться с причинной системой LTI (обратите внимание, что -270 ° эквивалентно + 90 °). Стрелки показывают направление вращения фигуры Лиссажу.
В машиностроении
Кривая Лиссажу используется в экспериментальных тестах, чтобы определить, можно ли правильно отнести устройство к категории мемристоров . Он также используется для сравнения двух разных электрических сигналов: известного опорного сигнала и сигнала, который необходимо проверить.
В культуре
В кино
Фигуры Лиссажу иногда отображались на осциллографах, предназначенных для имитации высокотехнологичного оборудования в научно-фантастических телешоу и фильмах 1960-х и 1970-х годов.
Название последовательности по Джона Уитни для Альфреда Хичкока 1958 художественного фильма «s Vertigo основан на фигурам Лиссажу.
Логотипы компании
Фигуры Лиссажу иногда используются в графическом дизайне в качестве логотипов . Примеры включают:
- Австралийская радиовещательная корпорация ( = 1 , Ь = 3 , δ =π/2)
- Лаборатория Линкольна в MIT ( = 3 , Ь = 4 , δ =π/2)
- Университет Electro-Communications , Япония ( = 5 , б = 6 , δ =π/2).
- Приложение для потоковой передачи видео Disney Movies Anywhere использует стилизованную версию кривой
В современном искусстве
- Дадаист художник Макс Эрнст окрашен фигурами Лиссажа непосредственно размахивая проколотое ведро с краской по холсту.
Смотрите также
Заметки
Внешние ссылки
Интерактивные демонстрации
- 3D-апплеты Java, изображающие построение кривых Лиссажу на осциллографе:
- Учебник от NHMFL
- Апплет физики Чиу-Кинга Нг
- Детальное моделирование фигур Лиссажу Рисование фигур Лиссажу с помощью интерактивных ползунков в Javascript
- Кривые Лиссажу: интерактивное моделирование графических представлений музыкальных интервалов и вибрирующих струн.
- Генератор интерактивных кривых Лиссажу - апплет Javascript с использованием JSXGraph
- Анимированные фигуры Лиссажу