Список общих преобразований координат - List of common coordinate transformations

Это список некоторых из наиболее часто используемых преобразований координат.

2-х мерный

Пусть ( x , y ) - стандартные декартовы координаты , а ( r , θ ) - стандартные полярные координаты .

В декартовы координаты

Из полярных координат

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ [5pt] {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ theta )}} & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \\ [5pt] {\ text {якобиан} } = \ det {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ theta)}} & = r \ end {align}}}$

Из логополярных координат

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = e ^ {\ rho} \ cos \ theta, \\ y & = e ^ {\ rho} \ sin \ theta. \ end {align}}}$

Используя комплексные числа , преобразование можно записать как ${\ Displaystyle (х, у) = х + iy '}$

${\ Displaystyle х + iy = е ^ {\ rho + я \ тета}}$

То есть он задается комплексной экспоненциальной функцией.

Из биполярных координат

${\ Displaystyle {\ begin {align} x & = a {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \\ y & = a {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ тау - \ кос \ сигма}} \ конец {выровнено}}}$

От двухцентровых биполярных координат

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1} {4c}} \ left (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} \ right) \\ y & = \ pm {\ frac {1} {4c}} {\ sqrt {16c ^ {2} r_ {1} ^ {2} - (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + 4c ^ { 2}) ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$

Из уравнения Чезаро

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} х & = \ int \ соз \ left [\ int \ kappa (s) \, ds \ right] ds \\ y & = \ int \ sin \ left [\ int \ kappa (s) \, ds \ right] ds \ end {выровнено}}}$

В полярные координаты

По декартовым координатам

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta '& = \ arctan \ left | {\ frac {y} {x}} \ right | \ end {выровнено}}}$

Примечание: решение для возвращает результирующий угол в первом квадранте ( ). Чтобы найти , нужно обратиться к исходной декартовой координате, определить квадрант, в котором находится (например, (3, −3) [декартова] лежит в QIV), а затем использовать следующее для решения для : ${\ displaystyle \ theta '}$${\ textstyle 0 <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$

• Для в QI: ${\ displaystyle \ theta '}$

  ${\ Displaystyle \ theta = \ theta '}$

• Для II квартала: ${\ displaystyle \ theta '}$

  ${\ displaystyle \ theta = \ pi - \ theta '}$

• Для III квартала: ${\ displaystyle \ theta '}$

  ${\ displaystyle \ theta = \ pi + \ theta '}$

• В IV квартале: ${\ displaystyle \ theta '}$

  ${\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi - \ theta '}$

Значение для должно быть решено таким образом, потому что для всех значений , определено только для и является периодическим (с периодом ). Это означает, что обратная функция будет давать значения только в области определения функции, но с ограничением до одного периода. Следовательно, диапазон обратной функции составляет только половину полного круга. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ tan \ theta}$${\ textstyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <+ {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ pi}$

Обратите внимание, что можно также использовать

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta '& = 2 \ arctan {\ frac {y} {x + r}} \ конец {выровнено}}}$

От двухцентровых биполярных координат

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {\ frac {r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2}} {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left [{\ sqrt {{\ frac {8c ^ {2} (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2})} {r_ { 1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2}}} - 1}} \ right] \ end {выровнено}}}$

Где 2 c - расстояние между полюсами.

В лог-полярные координаты из декартовых координат

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = \ log {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \\\ theta & = \ arctan {\ frac {y} {x} }. \ end {выровнены}}}$

Длина дуги и кривизна

В декартовых координатах

${\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa & = {\ frac {x'y '' - y'x ''} {({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ s & = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt {{x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}}} \ , дт \ конец {выровнено}}}$

В полярных координатах

${\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa & = {\ frac {r ^ {2} +2 {r '} ^ {2} -rr' '} {(r ^ {2} + {r'} ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ s & = \ int _ {a} ^ {\ varphi} {\ sqrt {r ^ {2} + {r '} ^ {2} }} \, d \ varphi \ end {выровнено}}}$

3-х мерный

Пусть (x, y, z) - стандартные декартовы координаты, а (ρ, θ, φ) - сферические координаты , а θ - угол, отсчитываемый от оси + Z (как [1] , см. Соглашения в сферических координатах ). Поскольку φ имеет диапазон 360 °, те же соображения, что и в полярных (2-мерных) координатах, применяются всякий раз, когда берется арктангенс. θ имеет диапазон 180 °, от 0 ° до 180 ° и не представляет проблем при вычислении по арккосинусу, но будьте осторожны с арктангенсом.

Если в альтернативном определении θ выбрано в диапазоне от -90 ° до + 90 °, в направлении, противоположном предыдущему определению, его можно найти однозначно по арксинусу, но остерегайтесь арккотангенса. В этом случае во всех приведенных ниже формулах все аргументы в θ должны иметь замену синуса и косинуса, а в качестве производной также поменять местами плюс и минус.

Все деления на ноль приводят к частным случаям, когда они являются направлениями вдоль одной из главных осей, и на практике их легче всего решить путем наблюдения.

В декартовы координаты

Из сферических координат

${\ Displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ , \ cos \ theta \\ {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)}} & = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta & - \ rho \ sin \ theta & 0 \ end {pmatrix}} \ end {выровнено}}}$

Итак, для элемента объема:

${\ Displaystyle dx \; dy \; dz = \ det {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)}} d \ rho \; d \ theta \; d \ varphi = \ rho ^ {2} \ sin \ theta \; d \ rho \; d \ theta \; d \ varphi}$

Из цилиндрических координат

${\ Displaystyle {\ begin {align} x & = r \, \ cos \ theta \\ y & = r \, \ sin \ theta \\ z & = z \, \\ {\ frac {\ partial (x, y, z )} {\ partial (r, \ theta, z)}} & = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ конец {pmatrix}} \ конец {выровненный}}}$

Итак, для элемента объема:

${\ displaystyle dV = dx \; dy \; dz = \ det {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (r, \ theta, z)}} dr \; d \ theta \; dz = r \; dr \; d \ theta \; dz}$

В сферические координаты

По декартовым координатам

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {z}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}}} \ right) \\\ varphi & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) \\ {\ frac {\ partial \ left (\ rho, \ theta, \ varphi \ right)} {\ partial \ left (x, y, z \ right)}} & = {\ begin {pmatrix} {\ frac {x} {\ rho}} и {\ frac {y} {\ rho}} и {\ frac {z} {\ rho}} \\ {\ frac {xz} {\ rho ^ {2} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} & {\ frac {yz} {\ rho ^ {2} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} }} & - {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ rho ^ {2}}} \\ {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & 0 \\\ end {pmatrix}} \ end {выровнено}}}$

См. Также статью о atan2, чтобы узнать, как элегантно обрабатывать некоторые крайние случаи.

Итак, для элемента:

${\ displaystyle d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi = \ det {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)} {\ partial (x, y, z)}} dx \ dy \ dz = {\ frac {1} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } dx \ dy \ dz}$

Из цилиндрических координат

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan {\ frac {r} {h}} \\ \ varphi & = \ varphi \\ {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)} {\ partial (r, h, \ varphi)}} & = {\ begin {pmatrix} {\ frac { r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} & {\ frac {h} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} & 0 \\ {\ гидроразрыв {h} {r ^ {2} + h ^ {2}}} & {\ frac {-r} {r ^ {2} + h ^ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix }} \\\ det {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)} {\ partial (r, h, \ varphi)}} & = {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} \ end {выровнено}}}$

К цилиндрическим координатам

По декартовым координатам

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan {\ left ({\ frac {y} {x}} \ right)} \\ z & = z \ quad \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (r, \ theta, h)} {\ partial (x, y, z)}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}}} & {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & 0 \\ {\ frac {-y} {x ^ { 2} + y ^ {2}}} & {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Из сферических координат

${\ Displaystyle {\ begin {align} r & = \ rho \ sin \ varphi \\ h & = \ rho \ cos \ varphi \\\ theta & = \ theta \\ {\ frac {\ partial (r, h, \ theta )} {\ partial (\ rho, \ varphi, \ theta)}} & = {\ begin {pmatrix} \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ varphi & 0 \\\ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \\\ det {\ frac {\ partial (r, h, \ theta)} {\ partial (\ rho, \ varphi, \ theta)}} & = - \ rho \ end {выровнен}}}$

Длина дуги, кривизна и кручение в декартовых координатах

${\ displaystyle {\ begin {align} s & = \ int _ {0} ^ {t} {\ sqrt {{x '} ^ {2} + {y'} ^ {2} + {z '} ^ {2 }}} \, dt \\ [3pt] \ kappa & = {\ frac {\ sqrt {(z''y'-y''z ') ^ {2} + (x''z'-z' ' x ') ^ {2} + (y''x'-x''y') ^ {2}}} {({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2} + {z ' } ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ [3pt] \ tau & = {\ frac {x '' '(y'z' '- y''z') + y '' '(x''z'-x'z' ') + z' '' (x'y '' - x''y ')} {(x'y' '- x''y' )} ^ {2} + {(x''z'-x'z '')} ^ {2} + {(y'z '' - y''z ')} ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Преобразование географических координат
• Матрица трансформации

Рекомендации

• Арфкен, Джордж (2013). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN   978-0123846549 .