Фактор Лоренца - Lorentz factor
Фактор Лоренца или Лоренц термин является величиной выразить , насколько измерения времени, длиной и других изменений физических свойств для объекта в то время как объект двигается. Выражение появляется в нескольких уравнениях специальной теории относительности и возникает при выводе преобразований Лоренца . Название происходит от его более раннего появления в лоренцевой электродинамике - в честь голландского физика Хендрика Лоренца .
Обычно обозначается γ (греческая строчная буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветового движения ) коэффициент записывается как Γ (греческий верхний регистр-гамма), а не γ .
Определение
Фактор Лоренца γ определяется как
- ,
куда:
- v - относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
- c - скорость света в вакууме ,
- β - отношение v к c ,
- t - координатное время ,
- τ - собственное время для наблюдателя (измерение временных интервалов в собственной системе отсчета наблюдателя).
Это наиболее часто используемая форма на практике, хотя и не единственная (альтернативные формы см. Ниже).
Чтобы дополнить определение, некоторые авторы определяют взаимное
см. формулу сложения скорости .
Вхождение
Ниже приводится список формул из специальной теории относительности, в которых γ используется в качестве сокращения:
- Преобразование Лоренца : простейший случай - усиление в x- направлении (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, не перечисленные здесь), которое описывает, как координаты пространства-времени меняются от одной инерциальной системы отсчета с использованием координат ( x , y , z , t ) к другому ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) с относительной скоростью v :
Следствием вышеуказанных преобразований являются результаты:
-
Замедление времени : время (∆ t ' ) между двумя тактами, измеренное в кадре, в котором движутся часы, больше, чем время (∆ t ) между этими тактами, измеренное в кадре покоя часов:
-
Сокращение длины : длина (∆ x ' ) объекта, измеренная в кадре, в котором он движется, меньше его длины (∆ x ) в его собственной системе покоя:
Применение сохранения в импульсах и энергии приводит к этим результатам:
-
Релятивистская масса : масса м объекта в движении зависит оти массы покоя м 0 :
-
Релятивистский импульс : соотношениерелятивистского импульса принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы:
-
Релятивистская кинетическая энергия : соотношениерелятивистской кинетической энергии принимает слегка измененную форму:
Числовые значения
В приведенной ниже таблице в левом столбце показаны скорости в виде различных долей скорости света (то есть в единицах c ). В среднем столбце показан соответствующий фактор Лоренца, в последнем - обратный. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.
Скорость (единицы c), |
Фактор Лоренца, |
Взаимный, |
---|---|---|
0,000 | 1.000 | 1.000 |
0,050 | 1,001 | 0,999 |
0,100 | 1,005 | 0,995 |
0,150 | 1.011 | 0,989 |
0.200 | 1.021 | 0,980 |
0,250 | 1.033 | 0,968 |
0,300 | 1.048 | 0,954 |
0,400 | 1.091 | 0,917 |
0,500 | 1,155 | 0,866 |
0,600 | 1,250 | 0,800 |
0,700 | 1,400 | 0,714 |
0,750 | 1,512 | 0,661 |
0,800 | 1,667 | 0,600 |
0,866 | 2.000 | 0,500 |
0,900 | 2,294 | 0,436 |
0,990 | 7,089 | 0,141 |
0,999 | 22,366 | 0,045 |
0,99995 | 100.00 | 0,010 |
Альтернативные представления
Есть и другие способы записать коэффициент. Выше использовалась скорость v , но также могут быть удобны связанные переменные, такие как импульс и скорость .
Импульс
Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для γ приводит к
- .
Эта форма используется редко, хотя она присутствует в распределении Максвелла – Юттнера .
Быстрота
Применяя определение скорости как гиперболический угол :
также приводит к γ (с помощью гиперболических тождеств ):
Используя свойство преобразования Лоренца , можно показать, что скорость аддитивна, а это полезное свойство, которым скорость не обладает. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическую группу , основу для физических моделей.
Расширение серии (скорость)
Фактор Лоренца имеет ряд Маклорена :
который является частным случаем биномиального ряда .
Приближение γ ≈ 1 +1/2 β 2 можно использовать для расчета релятивистских эффектов на низких скоростях. Он выдерживает ошибку в пределах 1% для v <0,4 c ( v <120 000 км / с) и с погрешностью 0,1% для v <0,22 c ( v <66 000 км / с).
Урезанные версии этой серии также позволяют физикам доказать, что специальная теория относительности сводится к ньютоновской механике на малых скоростях. Например, в специальной теории относительности выполняются следующие два уравнения:
Для γ ≈ 1 и γ ≈ 1 +1/2 β 2 , соответственно, они сводятся к своим ньютоновским эквивалентам:
Уравнение фактора Лоренца также может быть обращено, чтобы получить
Это имеет асимптотику
- .
Первые два члена иногда используются для быстрого вычисления скоростей по большим значениям γ . Приближение β ≈ 1 -1/2 γ −2 выдерживается с точностью до 1% для γ > 2 и с точностью до 0,1% для γ > 3.5.
Приложения в астрономии
Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальное значение больше примерно 100), что используется для объяснения так называемой проблемы «компактности»: отсутствие этого ультрарелятивистского расширения , выбросы будут оптически толстыми для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько 100 кэВ, тогда как быстрое излучение наблюдается нетепловым.
Субатомные частицы, называемые мюонами, движутся с такой скоростью, что имеют относительно высокий фактор Лоренца и, следовательно, испытывают сильное замедление времени . Например, мюоны обычно имеют среднее время жизни около2,2 мкс, что означает, что мюоны, генерируемые в результате столкновений космических лучей на высоте примерно 10 км в атмосфере, не должны обнаруживаться на земле из-за скорости их распада. Однако было обнаружено, что ~ 10% мюонов все еще обнаруживаются на поверхности, тем самым доказывая, что для обнаружения у них скорость распада замедлена относительно нашей инерциальной системы отсчета.
Смотрите также
использованная литература
внешние ссылки
- Меррифилд, Майкл. «γ - фактор Лоренца (и замедление времени)» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
- Меррифилд, Майкл. «γ2 - Гамма-перезагрузка» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .