Карта (математика) - Map (mathematics)

Один тип карты - это функция, например, связь любой из четырех цветных фигур в X с ее цветом в Y

В математике , карта часто используется как синоним для функции , но может также относиться к некоторым обобщениям. Первоначально это было сокращение от сопоставления , которое часто относилось к действию применения функции к элементам ее домена . Эта терминология не является полностью фиксированной, поскольку эти термины, как правило, не имеют формального определения и могут рассматриваться как жаргонный . Эти термины, возможно, возникли как обобщение процесса создания географической карты , которая состоит из отображения поверхности Земли на листе бумаги.

Карты могут быть функциями или морфизмами , хотя термины частично совпадают. Термин карта может использоваться для различения некоторых специальных типов функций, таких как гомоморфизмы . Например, линейная карта - это гомоморфизм векторных пространств , а термин линейная функция может иметь это значение, а также другое. В теории категорий карта может относиться к морфизму, который является обобщением идеи функции. В некоторых случаях термин « преобразование» также может использоваться как синонимы. Есть также несколько менее распространенных применений в логике и теории графов .

Карты как функции

Во многих разделах математики термин карта используется для обозначения функции , иногда со специфическим свойством, имеющим особое значение для этой ветви. Например, «карта» - это « непрерывная функция » в топологии , « линейное преобразование » в линейной алгебре и т. Д.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , используют термин «функция» только для обозначения карт, в которых codomain представляет собой набор чисел (то есть подмножество R или C ), и резервируют термин « отображение» для более общих функций.

Карты определенных видов являются предметом многих важных теорий. К ним относятся гомоморфизмы в абстрактной алгебре , изометрии в геометрии , операторы в анализе и представления в теории групп .

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем .

Частичное отображение является частичной функцией . Связанные термины, такие как домен , кодомен , инъективный и непрерывный, могут в равной степени применяться к картам и функциям с тем же значением. Все эти обычаи могут быть применены к «картам» как к общим функциям или как функциям со специальными свойствами.

Как морфизмы

В теории категорий «карта» часто используется как синоним « морфизма » или «стрелы» и, таким образом, является более общим, чем «функция». Например, морфизм в конкретной категории (то есть морфизм, который можно рассматривать как функции) несет в себе информацию о своей области (источник морфизма) и его кодомене (цели ). В широко используемом определения функции , представляет собой подмножество , состоящее из всех пар для . В этом смысле функция не захватывает информацию о том, какой набор используется в качестве кодомена; только диапазон определяется функцией.

Другое использование

В логике

В формальной логике термин « карта» иногда используется для обозначения функционального предиката , тогда как функция является моделью такого предиката в теории множеств .

В теории графов

Пример карты в теории графов

В теории графов , A карта представляет собой рисунок графика на поверхность без перекрытия краев (в вложении ). Если поверхность является плоскостью, тогда карта представляет собой плоский граф , подобный политической карте .

В информатике

В сообществах, окружающих языки программирования, которые рассматривают функции как первоклассных граждан , карту часто называют двоичной функцией высшего порядка, которая принимает функцию f и список [ v 0 , v 1 , ..., v n ] в качестве аргументов и возвращает [ f ( v 0 ), f ( v 1 ), ..., f ( v n )] (где n ≥ 0 ).

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки