Мартингейл (система ставок) - Martingale (betting system)
Мартингальное это класс ставки стратегии , которые возникли из и были популярны в 18 веке Франции . Простейшая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку, если выпадает орел, и проигрывает, если выпадает решка. Стратегия предусматривала, что игрок удваивает ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш компенсирует все предыдущие проигрыши плюс выигрыш с прибылью, равной первоначальной ставке. Таким образом, стратегия является воплощением парадокса Санкт-Петербурга .
Так как игрок будет почти наверняка в конце концов , флип головы , мартингальная стратегия ставок является определенная , чтобы заработать деньги для игрока , при условии , что они имеют бесконечное богатство , и нет никаких ограничений на деньги , заработанные в одну ставку. Однако ни у одного игрока нет бесконечного богатства, и экспоненциальный рост ставок может обанкротить незадачливых игроков, решивших использовать мартингейл, что приведет к катастрофическим потерям. Несмотря на то, что игрок обычно выигрывает небольшое чистое вознаграждение, таким образом, кажется, что у него есть разумная стратегия, ожидаемое значение игрока остается нулевым, потому что малая вероятность того, что игрок понесет катастрофический проигрыш, точно уравновешивается с ожидаемым выигрышем. В казино математическое ожидание отрицательное из-за преимущества казино. Кроме того, поскольку вероятность череды последовательных проигрышей возникает чаще, чем предполагает обычная интуиция, стратегии мартингейла могут быстро разорить игрока.
Стратегия мартингейла также применялась к рулетке , так как вероятность выпадения красного или черного близка к 50%.
Интуитивный анализ
Основная причина того, что все системы ставок типа мартингейл терпят неудачу, заключается в том, что никакая информация о результатах прошлых ставок не может быть использована для прогнозирования результатов будущей ставки с точностью лучше, чем шанс. В математической терминологии это соответствует предположению, что результаты выигрыша-проигрыша каждой ставки являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , предположение, которое справедливо во многих реальных ситуациях. Из этого предположения следует, что ожидаемая стоимость серии ставок равна сумме по всем ставкам, которые потенциально могут иметь место в серии, ожидаемой стоимости потенциальной ставки, умноженной на вероятность того, что игрок сделает эту ставку. В большинстве игр казино ожидаемое значение каждой отдельной ставки отрицательно, поэтому сумма многих отрицательных чисел также всегда будет отрицательной.
Стратегия мартингейла не работает даже при неограниченном времени остановки, пока существует ограничение на заработки или ставки (что также верно на практике). Только при неограниченном богатстве, ставках и времени можно утверждать, что мартингейл становится выигрышной стратегией .
Математический анализ
Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе, учитывая ограничение размера ставок или ограничение размера банкролла или кредитной линии, доказывается теоремой о необязательной остановке .
Однако без этих ограничений стратегия ставок мартингейла наверняка принесет игроку деньги, потому что вероятность выпадения хотя бы одной монеты орлом приближается к единице, поскольку количество подбрасываний монеты приближается к бесконечности.
Математический анализ одиночного раунда
Пусть один раунд определяется как последовательность последовательных проигрышей, за которыми следует либо выигрыш, либо банкротство игрока. После выигрыша игрок «сбрасывается» и считается, что он начал новый раунд. Таким образом, непрерывная последовательность ставок мартингейла может быть разделена на последовательность независимых раундов. Ниже приводится анализ ожидаемой стоимости одного раунда.
Пусть q будет вероятностью проигрыша (например, для американской рулетки с двойным зеро она составляет 20/38 для ставки на черное или красное). Пусть B будет размером начальной ставки. Пусть n будет конечным числом ставок, которые игрок может позволить себе проиграть.
Вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, равна q n . Когда все ставки проигрывают, общий проигрыш составляет
Вероятность того, что игрок проиграет не все n ставок, равна 1 - q n . Во всех остальных случаях игрок выигрывает первоначальную ставку ( B ). Таким образом, ожидаемая прибыль за раунд равна
Всякий раз, когда q > 1/2, выражение 1 - (2 q ) n <0 для всех n > 0. Таким образом, для всех игр, в которых игрок скорее проиграет, чем выиграет любую заданную ставку, ожидается, что этот игрок проиграет. деньги, в среднем, каждый раунд. Увеличение размера ставки для каждого раунда по системе мартингейла только увеличивает средний проигрыш.
Предположим, у игрока есть игровой банкролл в 63 единицы. Игрок может поставить 1 единицу на первое вращение. При каждом проигрыше ставка удваивается. Таким образом, принимая k как количество предыдущих последовательных проигрышей, игрок всегда будет ставить 2 k единиц.
При выигрыше в любом конкретном вращении игрок получит на 1 единицу больше общей суммы, поставленной до этого момента. Как только этот выигрыш достигнут, игрок перезапускает систему, сделав ставку в 1 единицу.
При проигрыше всех первых шести спинов игрок теряет в общей сложности 63 единицы. Это истощает банкролл, и мартингейл не может быть продолжен.
В этом примере вероятность потери всего банкролла и невозможности продолжить мартингейл равна вероятности шести последовательных проигрышей: (10/19) 6 = 2,1256%. Вероятность выигрыша равна 1 минус вероятность проигрыша 6 раз: 1 - (10/19) 6 = 97,8744%.
Ожидаемая сумма выигрыша составляет (1 × 0,978744) = 0,978744.
Ожидаемая сумма проигрыша составляет (63 × 0,021256) = 1,339118.
Таким образом, общее ожидаемое значение для каждого приложения системы ставок составляет (0,978744 - 1,339118) = −0,360374.
В уникальных обстоятельствах эта стратегия может иметь смысл. Предположим, у игрока ровно 63 единицы, но ему отчаянно нужно 64. Предполагая, что q > 1/2 (это настоящее казино) и он может делать ставки только с равными шансами, его лучшая стратегия - смелая игра : при каждом вращении он должен поставить наименьшую сумму, чтобы в случае выигрыша он немедленно достиг своей цели, а если у него недостаточно для этого, он должен просто поставить все. В конце концов он либо разорится, либо достигает своей цели. Эта стратегия дает ему вероятность 97,8744% достижения цели выиграть одну единицу против 2,1256% вероятности проиграть все 63 единицы, и это лучшая вероятность, возможная в данном случае. Однако смелая игра не всегда является оптимальной стратегией для получения наибольшего возможного шанса увеличить начальный капитал до некоторой желаемой более высокой суммы. Если игрок может делать ставки на произвольно небольшие суммы с произвольно длинными коэффициентами (но все же с тем же ожидаемым проигрышем в размере 10/19 ставки по каждой ставке) и может делать только одну ставку при каждом вращении, то существуют стратегии с более чем 98%. шанс достижения своей цели, и они используют очень робкую игру, если игрок не близок к потере всего своего капитала, и в этом случае он действительно переключается на чрезвычайно смелую игру.
Альтернативный математический анализ
В предыдущем анализе вычислялось ожидаемое значение , но мы можем задать другой вопрос: каков шанс, что можно сыграть в игру казино, используя стратегию мартингейла, и избежать полосы неудач достаточно долго, чтобы удвоить свой банкролл.
Как и раньше, это зависит от вероятности проигрыша 6 вращений рулетки подряд, если мы делаем ставку на красное / черное или четное / нечетное. Многие игроки считают, что шансы проиграть шесть раз подряд очень малы, и что при терпеливом соблюдении стратегии они постепенно увеличивают свой банкролл.
На самом деле шансы на серию из 6 проигрышей подряд намного выше, чем многие люди интуитивно полагают. Психологические исследования показали, что, поскольку люди знают, что шансы проиграть 6 раз подряд из 6 розыгрышей низкие, они ошибочно предполагают, что в более длинной последовательности розыгрышей также очень низкие шансы. Фактически, хотя шанс проиграть 6 раз подряд в 6 играх составляет относительно невысокие 1,5%, вероятность проигрыша 6 раз подряд (т. Е. Столкнуться с серией из 6 проигрышей) в какой-то момент в течение серии из 200 игр. составляет примерно 95%. Даже если игрок может терпеть ставки, в 1000 раз превышающие их первоначальную ставку, серия из 10 проигрышей подряд имеет вероятность возникновения ~ 17% в серии из 200 игр. Такая полоса проигрышей, скорее всего, уничтожит игрока, поскольку 10 последовательных проигрышей с использованием стратегии мартингейла означают потерю в 1023 раза больше первоначальной ставки.
Эти не интуитивно рискованные вероятности повышают требования к банкроллу для «безопасных» долгосрочных ставок по мартингейлу до неоправданно высоких цифр. Чтобы иметь шанс менее 10% не выжить в длинной полосе проигрышей в течение 5000 игр, игрок должен иметь достаточно, чтобы удвоить свои ставки на 16 проигрышей (вероятность выпадения на протяжении 5000 игр составляет ~ 7%). Это означает, что игрок должен иметь более 131000 (2 ^ 16-1 для своих 16 проигрышей и 2 ^ 16 для выигрышной ставки на окончание 17-й серии), умноженных на их первоначальный размер ставки. Таким образом, игрок, делающий ставки в размере 10 долларов, хотел бы иметь более 1,3 миллиона долларов в своем банкролле (и все же иметь ~ 7% шанс проиграть все в течение 5000 игр).
Когда людей просят придумать данные, представляющие 200 подбрасываний монет, они часто не добавляют полос более 5, потому что считают, что эти полосы очень маловероятны. Это интуитивное убеждение иногда называют эвристикой репрезентативности .
Антимартингейл
В классическом стиле мартингейла игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что возможный выигрыш компенсирует все предыдущие проигрыши. Подход против мартингейла, также известный как обратный мартингейл, вместо этого увеличивает ставки после выигрыша и снижает их после проигрыша. Считается, что игрок выиграет от выигрышной серии или «горячей руки», уменьшая при этом потери в «холодном» состоянии или иным образом имея проигрышную серию. Поскольку одиночные ставки независимы друг от друга (и от ожиданий игрока), концепция выигрышных «серий» является просто примером заблуждения игрока , а стратегия антимартингейла не приносит никаких денег. С другой стороны, если реальная доходность акций последовательно коррелирована (например, из-за экономических циклов и запоздалой реакции на новости крупных участников рынка), «серии» выигрышей или проигрышей случаются чаще и длиннее, чем те, которые находятся ниже чисто случайный процесс, стратегия антимартингейла теоретически может применяться и может использоваться в торговых системах (как следование за трендом или «удвоение»).