Принцип максимума - Maximum principle

В математических областях дифференциальных уравнений в частных и геометрического анализа , то принцип максимума относится к набору результатов и методов , имеющих принципиальное значение в изучении эллиптических и параболических дифференциальных уравнений.

В простейшем случае рассмотрим функцию двух переменных $u (x, y)$ такую, что

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 .}

Слабый принцип максимума , в этой ситуации, говорит , что для любого открытого предкомпактном подмножества $M$ из области $U$ , максимум $функции$ и на замыкании $М$ достигается на границе $М$ . Сильный принцип максимума говорит , что, если $у$ не является функцией постоянной, то максимум не может быть достигнут и в любом месте на $М$ самой.

Такие постановки дают поразительную качественную картину решений данного дифференциального уравнения. Такую качественную картину можно распространить на многие виды дифференциальных уравнений. Во многих ситуациях можно также использовать такие принципы максимума, чтобы делать точные количественные выводы о решениях дифференциальных уравнений, например, контролировать размер их градиента . Не существует единого или наиболее общего принципа максимума, применимого ко всем ситуациям одновременно.

В области выпуклой оптимизации существует аналогичное утверждение, утверждающее, что максимум выпуклой функции на компактном выпуклом множестве достигается на границе .

Интуиция

Частичная формулировка сильного принципа максимума

Здесь мы рассматриваем простейший случай, хотя то же самое мышление можно распространить на более общие сценарии. Пусть $M$ - открытое подмножество евклидова пространства, и пусть $u$ - функция класса $C 2$ на $M$ такая, что

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} = 0}

где для каждого $i$ и $j$ от 1 до $n$ , $a ij$ является функцией на $M$ с $a ij = a ji$ .

Зафиксируем некоторый выбор $х$ в $М$ . Согласно спектральной теореме линейной алгебры все собственные значения матрицы $[a ij (x)]$ действительны, и существует ортонормированный базис матрицы $ℝ n,$ состоящий из собственных векторов. Обозначим собственные значения через $λ i,$ а соответствующие собственные векторы через $v i$ для $i$ от 1 до $n$ . Тогда дифференциальное уравнение в точке $x$ можно перефразировать как

{\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} {\ Big |} _ {t = 0} {\ big (} u (x + tv_ {i}) {\ big)} = 0.}

Суть принципа максимума заключается в простом наблюдении, что если каждое собственное значение положительно (что составляет определенную формулировку «эллиптичности» дифференциального уравнения), то приведенное выше уравнение требует определенного баланса вторых производных решения по направлениям. В частности, если одна из вторых производных по направлению отрицательна, то другая должна быть положительной. В гипотетической точке, где $u$ максимизируется, все вторые производные по направлениям автоматически неположительны, а «балансировка», представленная приведенным выше уравнением, требует, чтобы все вторые производные по направлениям были тождественно равны нулю.

Можно утверждать, что это элементарное рассуждение представляет собой бесконечно малую формулировку сильного принципа максимума, который утверждает, при некоторых дополнительных предположениях (таких как непрерывность $a$ ), что $u$ должно быть постоянным, если существует точка $M, в$ которой $u$ максимизируется.

Обратите внимание, что приведенные выше рассуждения остаются неизменными, если рассматривать более общее уравнение в частных производных

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} = 0,}

поскольку добавленный член автоматически равен нулю в любой гипотетической точке максимума. Рассуждения также остаются неизменными, если рассматривать более общее условие

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \ geq 0,}

в котором можно даже отметить дополнительные явления явного противоречия, если существует строгое неравенство ( $>,$ а не $\geq$ ) в этом условии в точке гипотетического максимума. Это явление важно для формального доказательства классического слабого принципа максимума.

Неприменимость сильного принципа максимума

Однако приведенное выше рассуждение больше не применимо, если учесть условие

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \ leq 0,}

поскольку теперь условие «балансировки», оцененное в гипотетической точке максимума $u$ , говорит только о том, что средневзвешенное значение явно неположительных величин неположительно. Это банально верно, и поэтому из этого нельзя сделать никаких нетривиальных выводов. Это подтверждается множеством конкретных примеров, например тем фактом, что

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} {\ big (} -x ^ {2} -y ^ {2} {\ big)} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} {\ big (} -x ^ {2} -y ^ {2} {\ big)} \ leq 0,}

и в любой открытой области, содержащей начало координат, функция $- x 2 - y 2$ обязательно имеет максимум.

Классический слабый принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Основная идея

Пусть $M$ обозначает открытое подмножество евклидова пространства. Если гладкая функция максимизируется в точке $p$ , то автоматически получается: ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle (du) (p) = 0}$
${\ Displaystyle (\ набла ^ {2} и) (р) \ leq 0,}$ как матричное неравенство.

Можно рассматривать уравнение в частных производных как наложение алгебраической связи между различными производными функции. Итак, если $u$ является решением уравнения в частных производных, то возможно, что приведенные выше условия на первую и вторую производные $u$ образуют противоречие с этим алгебраическим соотношением. В этом суть принципа максимума. Ясно, что применимость этой идеи сильно зависит от конкретного рассматриваемого уравнения в частных производных.

Например, если $u$ решает дифференциальное уравнение

{\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2} +2,}

то заведомо невозможно иметь и в любой точке домена. Итак, следуя вышеизложенному наблюдению, для $u$ невозможно принять максимальное значение. Если бы вместо этого $u$ решил дифференциальное уравнение, то не было бы такого противоречия, и приведенный до сих пор анализ не дает ничего интересного. Если бы $u$ решало дифференциальное уравнение, то тот же анализ показал бы, что $u$ не может принимать минимальное значение. ${\ displaystyle \ Delta u \ leq 0}$ ${\ displaystyle du = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2} -2,}$

Возможности такого анализа даже не ограничиваются уравнениями в частных производных. Например, если функция такая, что ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ Delta u- | du | ^ {4} = \ int _ {M} e ^ {u (x)} \, dx,}

которое является своего рода «нелокальным» дифференциальным уравнением, то автоматическая строгая положительность правой части показывает, с помощью того же анализа, что $и$ выше, что $u$ не может достичь максимального значения.

Существует множество методов, позволяющих по-разному расширить применимость этого вида анализа. Например, если $u$ - гармоническая функция, то вышеупомянутое противоречие не возникает напрямую, поскольку существование точки $p,$ где не противоречит требованию везде. Однако можно было бы рассмотреть для произвольного действительного числа $s$ функцию $u$ $s,$ определяемую формулой ${\ displaystyle \ Delta u (p) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ Delta u = 0}$

{\ displaystyle u_ {s} (x) = u (x) + se ^ {x_ {1}}.}

Несложно увидеть, что

{\ displaystyle \ Delta u_ {s} = se ^ {x_ {1}}.}

В силу сказанного выше анализа, если , то $у$ $ы$ не может достичь максимального значения. Можно было бы рассмотреть предел от $s$ до 0, чтобы сделать вывод, что $u$ также не может достичь максимального значения. Однако поточечный предел последовательности функций без максимумов может иметь максимум. Тем не менее, если $M$ имеет такую границу, что $M$ вместе с его границей является компактным, то, если предположить, что $u$ может быть непрерывно продолжено до границы, немедленно следует, что и $u,$ и $u$ $s$ достигают максимального значения на. Поскольку мы показали, что $u$ $s$ , как функция на $M$ , не имеет максимума, отсюда следует, что точка максимума $u$ $s$ для любого $s$ находится на. Из последовательной компактности следует, что максимум $u$ достигается на. Это слабый принцип максимума для гармонических функций. Это не сам по себе исключает возможность того, что максимум $функции$ и также достигается где - то на $М$ . В этом содержание «сильного принципа максимума», который требует дальнейшего анализа. ${\ displaystyle s> 0}$ ${\ Displaystyle M \ чашка \ partial M.}$ ${\ displaystyle \ partial M.}$ ${\ displaystyle \ partial M,}$ ${\ displaystyle \ partial M.}$

Использование указанной выше конкретной функции было очень несущественным. Все, что имело значение, - это иметь функцию, которая непрерывно продолжается до границы и лапласиан которой строго положителен. Так что мы могли бы использовать, например, ${\ displaystyle e ^ {x_ {1}}}$

{\ Displaystyle и_ {s} (х) = и (х) + s | х | ^ {2}}

с таким же эффектом.

Классический сильный принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Резюме доказательства

Пусть $M$ - открытое подмножество евклидова пространства. Пусть будет дважды дифференцируемая функция , которая достигает своего максимального значения $C$ . Предположим, что ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}}} + b_ {i} {\ frac {\ partial u} { \ partial x ^ {i}}} \ geq 0.}

Предположим, что можно найти (или доказать существование):

компактное подмножество $Ω$ из $М$ , с непустой внутренностью, таким образом, что $U (х) < С$ для всех $х$ во внутренней части $Q$ , и таким образом, что существует $й 0$ на границе $Q$ , с $U (х 0) = C$ .
непрерывная функция, дважды дифференцируемая внутри $Ω$ и имеющая ${\ displaystyle h: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}}} + b_ {i} {\ frac {\ partial h} { \ partial x ^ {i}}} \ geq 0,}

и такой, что

u + h \leq C

на границе

Ω

с

h (x 0) = 0

Тогда $л (у + ч - С) \geq 0$ на $Ω$ с $U + H - C \leq 0$ на границе $Ом$ ; согласно слабому принципу максимума $u + h - C \leq 0$ на $Ω$ . Это можно реорганизовать, чтобы сказать

{\ displaystyle - {\ frac {u (x) -u (x_ {0})} {| x-x_ {0} |}} \ geq {\ frac {h (x) -h (x_ {0}) } {| х-х_ {0} |}}}

для всех $x$ в $Ω$ . Если можно выбрать $h$ так, чтобы правая часть имела явно положительный характер, то это приведет к противоречию с тем фактом, что $x 0$ является точкой максимума $u$ на $M$ , так что его градиент должен исчезнуть.

Доказательство

Вышеупомянутая «программа» может быть выполнена. Выберите $Ω$ как сферическое кольцо; центр $x c$ выбирается как точка, более близкая к замкнутому множеству $u -1 (C),$ чем к замкнутому множеству $\partial M$ , а внешний радиус $R$ выбирается равным расстоянию от этого центра до $u -1 (C)$ ; пусть $x 0$ будет точкой на этом последнем множестве, которая реализует расстояние. Внутренний радиус $ρ$ произвольный. Определять

{\ displaystyle h (x) = \ varepsilon {\ Big (} e ^ {- \ alpha | x-x _ {\ text {c}} | ^ {2}} - e ^ {- \ alpha R ^ {2} }{\Большой )}.}

Теперь граница $Ω$ состоит из двух сфер; на внешней сфере $h = 0$ ; за счет подбора $R$ , имеет один $¯u \leq C$ на этой сфере, и так $ц + ч - С \leq 0$ имеет место на этой части границы, вместе с требованием $ч (х 0) = 0$ . На внутренней сфере $u < C$ . Ввиду непрерывности $u$ и компактности внутренней сферы можно выбрать $δ > 0 так$ , чтобы $u + δ < C$ . Поскольку $h$ постоянна на этой внутренней сфере, можно выбрать $ε > 0 так$ , чтобы $u + h \leq C$ на внутренней сфере и, следовательно, на всей границе $Ω$ .

Прямой расчет показывает

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial h} {\ partial x ^ {i}}} = \ varepsilon \ alpha e ^ {- \ alpha | x-x _ {\ text {c}} | ^ {2}} \ left (4 \ alpha \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (x) {\ big (} x ^ {i} -x _ {\ text {c}} ^ {i} {\ big)} {\ big (} x ^ {j} -x_ {\ text {c}} ^ {j} {\ big)} - 2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} -2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ { i} {\ big (} x ^ {i} -x _ {\ text {c}} ^ {i} {\ big)} \ right).}

Существуют различные условия, при которых можно гарантировать неотрицательность правой части; см. формулировку теоремы ниже.

Наконец, обратите внимание, что производная $h$ по направлению в точке $x 0$ вдоль направленной внутрь радиальной линии кольца строго положительна. Как описано в приведенном выше общем, это будет гарантировать , что производная по направлению $ц$ при $х 0$ равен нулю, в противоречие $х 0$ является точка максимума $функции$ и на открытом множестве $M$ .

Формулировка теоремы

Ниже приводится формулировка теоремы в книгах Морри и Смоллера, следующая за исходной формулировкой Хопфа (1927):

Пусть $M$ - открытое подмножество евклидова пространства $ℝ n$ . Для каждого $i$ и $j$ от 1 до $n$ пусть $a ij$ и $b i$ - непрерывные функции на $M$ с $a ij = a ji$ . Предположим, что для всех $x$ из $M$ симметрическая матрица $[a ij]$ положительно определена. Если $u$ - непостоянная функция $C 2$ на $M$ такая, что

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \ geq 0}$

на $М$ , то $у$ не достигает максимального значения на $М$ .

Суть предположения о непрерывности состоит в том, что непрерывные функции ограничены на компактах, причем соответствующий компакт здесь представляет собой сферическое кольцо, фигурирующее в доказательстве. Кроме того, по тому же принципу существует такое число $λ$ , что для всех $x$ в кольце матрица $[a ij (x)]$ имеет все собственные значения, большие или равные $λ$ . Затем выбирают $α$ , как показано в доказательстве, большим по сравнению с этими границами. Книга Эванса имеет несколько более слабую формулировку, в которой предполагается, что положительное число $λ$ , которая является нижней гранью собственных значений $[IJ]$ для всех $х$ в $М$ .

Эти предположения о непрерывности явно не являются наиболее общими возможными для того, чтобы доказательство работало. Например, следующее утверждение Гилбарга и Трудингера теоремы, следующее за тем же доказательством:

Пусть $M$ - открытое подмножество евклидова пространства $ℝ n$ . Для каждого $i$ и $j$ от 1 до $n$ пусть $a ij$ и $b i$ - функции на $M$ с $a ij = a ji$ . Предположим, что для всех $x$ из $M$ симметричная матрица $[a ij]$ положительно определена, и пусть $λ (x)$ обозначает ее наименьшее собственное значение. Предположим, что и - ограниченные функции на $M$ для каждого $i$ от 1 до $n$ . Если $u$ - непостоянная функция $C$ $2$ на $M$ такая, что ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {ii}} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {| b_ {i} |} {\ lambda}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \ geq 0}$

на $М$ , то $у$ не достигает максимального значения на $М$ .

Нельзя наивно распространять эти утверждения на общее линейное эллиптическое уравнение второго порядка, как уже было показано в одномерном случае. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение $y ″ + 2 y = 0$ имеет синусоидальные решения, которые заведомо имеют внутренние максимумы. Это распространяется на случай более высокой размерности, где часто встречаются решения уравнений «собственных функций» $Δ u + cu = 0,$ которые имеют внутренние максимумы. Знак c имеет значение, как это также видно в одномерном случае; например, решения для $y ″ - 2 y = 0$ являются экспонентами, и характер максимумов таких функций сильно отличается от таковых для синусоидальных функций.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Исследовательские статьи

Калаби, Э. Расширение принципа максимума Э. Хопфа с приложением к римановой геометрии. Duke Math. J. 25 (1958), 45–56.
Cheng, SY; Яу С.Т. Дифференциальные уравнения на римановых многообразиях и их геометрические приложения. Comm. Pure Appl. Математика. 28 (1975), нет. 3, 333–354.
Gidas, B .; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума. Comm. Математика. Phys. 68 (1979), нет. 3, 209–243.
Gidas, B .; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия положительных решений нелинейных эллиптических уравнений в $R n$ . Математический анализ и приложения, Часть A, стр. 369–402, Adv. по математике. Дополнение Stud., 7a, Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1981.
Гамильтон, Ричард С. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. J. Differential Geom. 24 (1986), нет. 2, 153–179.
Э. Хопф. Elementare Bemerkungen Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Ситбер. Preuss. Акад. Wiss. Берлин 19 (1927), 147-152.
Хопф, Эберхард. Замечание о линейных эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка. Proc. Амер. Математика. Soc. 3 (1952), 791–793.
Ниренберг, Луи. Сильный принцип максимума для параболических уравнений. Comm. Pure Appl. Математика. 6 (1953), 167–177.
Омори, Хидеки. Изометрические погружения римановых многообразий. J. Math. Soc. Япония 19 (1967), 205–214.
Яу, Шинг Тунг. Гармонические функции на полных римановых многообразиях. Comm. Pure Appl. Математика. 28 (1975), 201–228.
Крейберг, HJA О принципе максимума оптимального управления экономическими процессами, 1969 (Тронхейм, NTH, Sosialøkonomisk institutt https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in- экономические процессы / oclc / 23714026 )

Учебники

Каффарелли, Луис А .; Ксавье Кабре (1995). Полностью нелинейные эллиптические уравнения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5.
Эванс, Лоуренс К. Уравнения с частными производными. Второе издание. Аспирантура по математике, 19. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. xxii + 749 стр. ISBN 978-0-8218-4974-3
Фридман, Авнер. Уравнения с частными производными параболического типа. Prentice-Hall, Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964, xiv + 347 с.
Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. Перепечатка издания 1998 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv + 517 pp. ISBN 3-540-41160-7
Ладыженская, О.А. Солонников В.А.; Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Перевод с русского С. Смита. Переводы математических монографий, Vol. 23 Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968 г. xi + 648 с.
Ладыженская, Ольга А .; Уральцева, Нина Н. Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения. Перевод с русского - Scripta Technica, Inc. Редактор перевода: Леон Эренпрейс. Academic Press, Нью-Йорк-Лондон 1968 xviii + 495 стр.
Либерман, Гэри М. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii + 439 pp. ISBN 981-02-2883-X
Морри, Чарльз Б., мл. Множественные интегралы в вариационном исчислении. Перепечатка издания 1966 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2008. x + 506 pp. ISBN 978-3-540-69915-6
Protter, Murray H .; Вайнбергер, Ханс Ф. Принципы максимума в дифференциальных уравнениях. Исправленное перепечатание оригинала 1967 года. Springer-Verlag, New York, 1984. x + 261 стр. ISBN 0-387-96068-6
Рокафеллар, RT (1970). Выпуклый анализ . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Смоллер, Джоэл. Ударные волны и уравнения реакции-диффузии. Второе издание. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv + 632 pp. ISBN 0-387-94259-9

Languages

In other projects