Брана - Brane

В теории струн и связанных теориях, таких как теории супергравитации , брана - это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения . Брана - это динамические объекты, которые могут распространяться в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики . Они имеют массу и могут иметь другие атрибуты, такие как заряд .

Математически браны могут быть представлены в рамках категорий и изучаются в чистой математике для понимания гомологической зеркальной симметрии и некоммутативной геометрии .

р -браны

Точечную частицу можно рассматривать как брану нулевого измерения, а струну - как брану размерности один.

Помимо точечных частиц и струн, можно рассматривать браны более высокой размерности. Р - мерный бран , как правило , называется « р -брана».

Термин « п -брана» был введен MJ Duff et al. в 1988 г .; «Брана» происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.

Р -браны заметает ( р + 1) n - мерного объема в пространстве - времени называется его worldvolume . Физики часто изучают поля, аналогичные электромагнитному полю , которые живут в мировом объеме браны.

D-браны

Открытые струны прикреплены к паре D-бран.

В теории струн , А строка может быть открытой (образуя сегмент с двумя конечными точками) или закрытым (образуя замкнутый контур). D-браны - важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к граничному условию Дирихле , которому удовлетворяет D-брана.

Одним из важных моментов в отношении D-бран является то, что динамика мирового объема D-бран описывается калибровочной теорией , разновидностью высокосимметричной физической теории, которая также используется для описания поведения элементарных частиц в стандартной модели физики элементарных частиц . Эта связь привела к важному пониманию калибровочной теории и квантовой теории поля . Например, это привело к открытию соответствия AdS / CFT , теоретического инструмента, который физики используют для перевода сложных проблем калибровочной теории в более математически решаемые проблемы теории струн.

Категориальное описание

Математически браны можно описать с помощью понятия категории . Это математическая структура, состоящая из объектов , а для любой пары объектов - набор морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты являются математическими структурами (такими как множества , векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы - это функции между этими структурами. Можно также рассмотреть категории , где объекты являются D-браны и морфизмов между двумя бран и являются состояния открытых струн натянутых между и . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

Поперечное сечение многообразия Калаби – Яу.

В одной из версий теории струн, известной как топологическая B-модель , D-браны представляют собой сложные подмногообразия определенных шестимерных форм, называемых многообразиями Калаби-Яу , вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. Интуитивно можно представить себе подмногообразие как поверхность, вложенную внутрь многообразия Калаби – Яу, хотя подмногообразия также могут существовать в размерностях, отличных от двух. На математическом языке, категория , имеющая эти брана в качестве своих объектов известна как производная категория из когерентных пучков на Калаби-Яу. В другой версии теории струн, называемой топологической A-моделью , D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби – Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями . Это означает, среди прочего, что они имеют половину размера пространства, в котором они сидят, и минимизируют длину, площадь или объем. Категория, объектами которой являются эти браны, называется категорией Фукая .

Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов сложной геометрии , раздела математики, который описывает геометрические кривые в алгебраических терминах и решает геометрические задачи с использованием алгебраических уравнений . С другой стороны, категория Фукая построена с использованием симплектической геометрии , раздела математики, возникшего из исследований классической физики . Симплектическая геометрия изучает пространства, снабженные симплектической формой , математическим инструментом, который можно использовать для вычисления площади в двумерных примерах.

Гомологической зеркальной симметрии гипотеза Концевич заявляет , что производная категория когерентных пучков на одном Калаби-Яу эквивалентен в некотором смысле к категории Фукая совершенно другой Калаби-Яу. Эта эквивалентность обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно сложной и симплектической геометрией.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия . Монографии по математике из глины . 4 . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3848-8.
Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . ISBN 978-0-387-98403-2.
Мур, Грегори (2005). "Что такое ... Брана?" (PDF) . Уведомления AMS . 52 : 214 . Проверено 7 июня 2018 года .
Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги . ISBN 978-0-465-02023-2.
Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон по математике . ISBN 978-0-691-11880-2.

Languages

In other projects