Минимальный многочлен от 2cos (2pi / n) - Minimal polynomial of 2cos(2pi/n)

Для целого числа , то минимальный многочлен из является ненулевым унитарным многочленом от степени для и степеней для с целыми коэффициентами , такие , что . Здесь обозначает функцию Эйлера . В частности, для одного и ${\ Displaystyle п \ geq 1}$ ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle n = 1,2}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ varphi (n)}$ ${\ Displaystyle п \ geq 3}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {n} \! \ left (2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) \ right) = 0}$ ${\ Displaystyle \ varphi (п)}$ ${\ Displaystyle п \ leq 2,}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {1} (х) = х-2}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {2} (х) = х + 2.}$

Для каждого $n$ многочлен является моническим, имеет целые коэффициенты и неприводим по целым и рациональным числам . Все его корни являются реальными ; это действительные числа с $k,$ взаимно простыми с $n$ и $1 \leq$ $k$ $\leq$ $n$ (копримальность подразумевает, что $k$ $=$ $n$ может иметь место только для $n$ $= 1$ ). Эти корни в два раза превышает действительные части из примитивной $п$ - й корни из единицы . ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2k \ pi} {n}} \ right)}$

Многочлены являются типичными примерами неприводимых многочленов, все корни которых действительны и которые имеют циклическую группу Галуа . ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$

Примеры

Первые несколько многочленов являются ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ Psi _ {1} (x) & = x-2 \\\ Psi _ {2} (x) & = x + 2 \\\ Psi _ {3} (x) & = x + 1 \\\ Psi _ {4} (x) & = x \\\ Psi _ {5} (x) & = x ^ {2} + x-1 \\\ Psi _ {6} ( x) & = x-1 \\\ Psi _ {7} (x) & = x ^ {3} + x ^ {2} -2x-1 \\\ Psi _ {8} (x) & = x ^ {2} -2 \\\ Psi _ {9} (x) & = x ^ {3} -3x + 1 \\\ Psi _ {10} (x) & = x ^ {2} -x-1 \ \\ Psi _ {11} (x) & = x ^ {5} + x ^ {4} -4x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x + 1 \\\ Psi _ {12} (x) & = x ^ {2} -3 \ end {выровнено}}}

Корнеплоды

Корни задаются как , где и . Поскольку является моническим, мы имеем ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k <{\ frac {n} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ НОД (к, п) = 1}$ ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$

{\ displaystyle \ Psi _ {n} (x) = \ displaystyle \ prod _ {\ begin {array} {c} 1 \ leq k <{\ frac {n} {2}} \\\ gcd (k, n ) = 1 \ end {array}} \ left (x-2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) \ right).}

Комбинируя этот результат с тем , что функция является даже , мы обнаружим , что является целым алгебраическим для любого натурального числа и любого целого числа . ${\ Displaystyle \ соз (х)}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$

Связь с круговыми многочленами

Для положительного целого числа пусть , примитивный корень -й степени из единицы. Тогда минимальный многочлен в задается -м круговым многочленом . Поскольку связь между и задается формулой . Это соотношение может быть продемонстрировано в следующем тождестве, доказанном Лемером, которое справедливо для любого ненулевого комплексного числа : ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {n} = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {n}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ справа) + \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) i}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {п} (х)}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {n} ^ {- 1} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) - \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} { n}} \ right) i}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$ ${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) = \ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle \ Psi _ {n} \ left (z + z ^ {- 1} \ right) = z ^ {- {\ frac {\ varphi (n)} {2}}} \ Phi _ {n} ( z)}

Связь с полиномами Чебышева

В 1993 году Уоткинс и Цейтлин установили следующую связь между многочленами Чебышева и Чебышева первого рода. ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$

Если это нечетное , то ${\ displaystyle n = 2s + 1}$

{\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid n} \ Psi _ {d} (2x) = 2 (T_ {s + 1} (x) -T_ {s} (x)),}

и если это даже , то ${\ displaystyle n = 2s}$

{\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} \ Psi _ {d} (2x) = 2 (T_ {s + 1} (x) -T_ {s-1} (x)).}

Абсолютное значение постоянного коэффициента

Абсолютное значение постоянного коэффициента может быть определена следующим образом : ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$

{\ displaystyle | \ Psi _ {n} (0) | = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ n = 4, \\ 2 & {\ text {if}} \ n = 2 ^ { k}, k \ geq 0, k \ neq 2, \\ p & {\ text {if}} \ n = 4p ^ {k}, k \ geq 1, p> 2 \ {\ text {prime,}} \ \ 1 & {\ text {в противном случае.}} \ End {case}}}

Сгенерированное поле алгебраических чисел

Поле алгебраических чисел - это максимальное вещественное подполе кругового поля . Если обозначает кольцо целых чисел от , то . Другими словами, набор составляет неотъемлемую основу . Ввиду этого дискриминант поля алгебраических чисел равен дискриминанту полинома , т. Е. ${\ displaystyle K_ {n} = \ mathbb {Q} \ left (\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {п})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}} = \ mathbb {Z} \ left [\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left \ {1, \ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1}, \ ldots, \ left (\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right) ^ {{\ frac {\ varphi (n)} {2}} - 1} \ right \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (х)}$