Умножение - Multiplication

Четыре мешочка с тремя шариками в каждом дают двенадцать шариков (4 × 3 = 12).
Умножение также можно рассматривать как масштабирование . Здесь мы видим, как 2 умножается на 3 с помощью масштабирования, что в результате дает 6.
Анимация на умножение 2 × 3 = 6.
4 × 5 = 20. Большой прямоугольник состоит из 20 квадратов, каждый размером 1 на 1.
Площадь полотна 4,5м × 2,5м = 11,25м 2 ; 4 1/2 × 21/2 = 111/4

Умножение (часто обозначается крест символом × , в середине линии оператора точка , путем противопоставления , или, на компьютерах , с помощью звездочки * ) является одним из четырех элементарных математических операций по арифметике , с другими из них являются дополнением , вычитание и деление . Результат операции умножения называется произведением .

Умножение целых чисел можно рассматривать как повторное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого количества копий одного из них, множимого , как количество другого, множителя . Оба числа можно назвать факторами .

Например, 4, умноженное на 3, которое часто пишется и произносится как «3 умножить на 4», можно вычислить, сложив 3 копии 4 вместе:

Здесь 3 ( множитель ) и 4 ( множимое ) - множители , а 12 - произведение .

Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности , которое в данном случае гласит, что добавление 3 копий 4 дает тот же результат, что и добавление 4 копий 3:

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения.

Умножение целых чисел (включая отрицательные числа), рациональных чисел (дробей) и действительных чисел определяется систематическим обобщением этого основного определения.

Умножение также можно представить себе как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел), или как нахождение площади прямоугольника, стороны которого имеют заданную длину . Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой - следствие коммутативности.

Произведение двух измерений - это новый тип измерения. Например, умножение длин двух сторон прямоугольника дает его площадь. Такие изделия подлежат анализу размеров .

Обратная операция умножения - это деление . Например, поскольку 4, умноженное на 3, равняется 12, 12, разделенное на 3, равняется 4. Действительно, умножение на 3 с последующим делением на 3 дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, само по себе равно 1.

Умножение также определено для других типов чисел, таких как комплексные числа , и более абстрактных конструкций, таких как матрицы . Для некоторых из этих более абстрактных конструкций имеет значение порядок, в котором операнды перемножаются. Список множества различных видов продуктов, используемых в математике, приведен в разделе Продукт (математика) .

Обозначения и терминология

Знак умножения ×

В арифметике умножение часто записывается с использованием знака « » между терминами (т. Е. В инфиксной записи ). Например,

(«два раза три равно шесть»)

Знак кодируется в Юникоде как U + 00D7 × ЗНАК УМНОЖЕНИЯ (HTML  × · × ).

Есть и другие математические обозначения умножения:

  • Умножение также обозначается через точечные знаки, как правило, среднего положения точки (редко период ):
5 ⋅ 2 или 5. 3
Обозначение средней точки, закодированное в Юникоде как U + 22C5 DOT OPERATOR , является стандартным в США и других странах, где точка используется как десятичная точка . Когда символ оператора точки недоступен, используется интерпункт  (·). В Соединенном Королевстве и Ирландии точка / точка используется для умножения, а средняя точка используется для десятичной точки, хотя использование точки / точки для десятичной точки является обычным явлением. В других странах, где в качестве десятичного знака используется запятая, для умножения используется точка или средняя точка.
  • В алгебре умножение с участием переменных часто записывается как сопоставление (например, xy для x, умноженного на y, или 5 x для пятикратного x ), также называемого подразумеваемым умножением . Обозначение также может использоваться для величин, заключенных в круглые скобки (например, 5 (2) или (5) (2) для пятикратного увеличения). Это неявное использование умножения может вызвать двусмысленность, когда конкатенированные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед круглой скобкой может быть перепутано с именем функции или при правильном определении порядка операций .
  • В векторном умножении есть различие между символами крестика и точки. Крест символ обозначает , как правило , принимая векторное произведение двух векторов , что дает вектор , как результат, в то время как точка обозначает принимать скалярное произведение двух векторов, в результате скаляра .

В компьютерном программировании , то звездочка (как в 5*2) по- прежнему является наиболее распространенной нотацией. Это связано с тем, что большинство компьютеров исторически были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, или ×), в то время как звездочка появлялась на каждой клавиатуре. Это использование возникло в языке программирования FORTRAN .

Умножаемые числа обычно называют « множителями ». Умножаемое число - это «множимое», а число, на которое оно умножается, - «множитель». Обычно множитель ставится первым, а множимое - вторым; однако иногда первый фактор - это множимое, а второй - множитель. Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на очень элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения , таких как длинное умножение . Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним слова «множитель». В алгебре число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в 3 xy 2 ), называется коэффициентом .

Результат умножения называется произведением . Произведение целых чисел является кратным каждому множителю. Например, 15 является произведением 3 и 5 и одновременно кратно 3 и 5.

Вычисление

Образованная обезьяна - оловянная игрушка, датированная 1918 годом, использовавшаяся как «калькулятор» умножения. Например: установите лапы обезьяны на 4 и 9, а изделие - 36 - возьмите в руки.

Обычные методы умножения чисел с помощью карандаша и бумаги требуют таблицы умножения запомненных или проверенных произведений малых чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9), однако один метод, алгоритм крестьянского умножения , этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «длинное умножение» («стандартный алгоритм», «умножение в начальной школе»):

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
     71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
   191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390        )

Умножение чисел более чем на пару десятичных знаков вручную утомительно и подвержено ошибкам. Для упрощения таких вычислений были изобретены десятичные логарифмы , поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Правило слайд позволило номер , чтобы быстро умножается до трех мест точности. Начиная с начала 20 века механические калькуляторы , такие как Marchant , автоматизировали умножение до 10-значных чисел. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно снизили потребность в ручном умножении.

Исторические алгоритмы

Методы умножения были задокументированы в трудах древнеегипетской , греческой , индийской и китайской цивилизаций.

Кости Ishango , от примерно 18 000 до 20 000 г. до н.э., могут намекнуть на знании умножения в верхнепалеолитической эре в Центральной Африке , но это умозрительно.

Египтяне

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, описанный в папирусе Ахмеса , заключался в последовательном сложении и удвоении. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было трижды удвоить 21, получив 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . Затем можно найти полный продукт, добавив соответствующие термины, найденные в последовательности удвоения:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилоняне

В вавилонянах использовали шестидесятеричную систему позиционного номера , аналогичную современный день десятичной системы счисления . Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной сложности запоминания 60 × 60 различных произведений вавилонские математики использовали таблицы умножения . Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных некоторого главного числа n : n , 2 n , ..., 20 n ; за которыми следуют кратные 10 n : 30 n, 40 n и 50 n . Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n , нужно всего лишь сложить 50 n и 3 n, вычисленные по таблице.

китайский язык

38 × 76 = 2888

В математическом тексте « Чжуби Суаньцзин» , датированном до 300 г. до н.э., и « Девяти главах по математическому искусству» вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Стержня, включающее добавление значений числа, вычитание, умножение и деление. Китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения к концу периода Сражающихся царств .

Современные методы

Произведение 45 и 256. Обратите внимание, что порядок цифр в 45 в левом столбце обратный. Шаг переноса умножения может быть выполнен на заключительном этапе вычисления (выделен жирным шрифтом), возвращая конечный результат 45 × 256 = 11520 . Это вариант умножения на решетку .

Современный метод умножения, основанный на индийско-арабской системе счисления, впервые был описан Брахмагуптой . Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн , в то время профессор математики Принстонского университета , написал следующее:

Индийцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, связанных с элементарными расчетами с этой системой. Сложение и вычитание они выполняли так же, как и сейчас; умножение они осуществили разными способами, в том числе и наше, но деление они сделали громоздко.

Эти алгоритмы десятичной арифметики с числовым значением были введены в арабские страны Аль Хорезми в начале 9 века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в 13 веке.

Сеточный метод

Умножение методом сетки или метод ящика используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых районах США, чтобы научить понимать, как работает многозначное умножение. Примером умножения 34 на 13 может быть расположение чисел в виде сетки, например:

  30 4
10 300 40
3 90 12

а затем добавьте записи.

Компьютерные алгоритмы

Классический метод умножения двух n- значных чисел требует n 2- значных умножений. Были разработаны алгоритмы умножения , которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n ) . Недавно коэффициент log log n был заменен функцией, которая увеличивается намного медленнее, хотя она все еще не постоянна (как можно надеяться).

В марте 2019 года Дэвид Харви и Джорис ван дер Ховен представили статью, в которой был представлен алгоритм целочисленного умножения с заявленной сложностью . Алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, предположительно является асимптотически оптимальным. Алгоритм не считается практически полезным, так как его преимущества проявляются только при умножении очень больших чисел (имеющих более 2 1729 12 бит).

Продукция измерений

Можно только осмысленно складывать или вычитать количества одного и того же типа, но количества разных типов можно без проблем умножать или делить. Например, четыре мешочка с тремя шариками в каждом можно представить как:

[4 пакета] × [3 шарика в пакете] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, продукт имеет тип, зависящий от типов измерений. Общая теория дается размерным анализом . Этот анализ обычно применяется в физике, но также находит применение в финансах и других прикладных областях.

Типичным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние . Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае единицы часов аннулируются, оставляя продукт только с единицами километров.

Другие примеры умножения с участием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метров
11 метров / секунд × 9 секунд = 99 метров
4,5 жителя в доме × 20 домов = 90 жильцов

Произведение последовательности

Обозначение прописных пи

Произведение последовательности факторов может быть записано с помощью символа продукта, который происходит от заглавной буквы (пи) в греческом алфавите (так же, как заглавная буква (сигма) используется в контексте суммирования ). Позиция Unicode U + 220F содержит глиф для обозначения такого продукта, отличный от U + 03A0 Π , письмо. Значение этого обозначения определяется следующим образом:

то есть

Нижний индекс дает символ связанной переменной ( в данном случае i ), называемый «индексом умножения», вместе с ее нижней границей ( 1 ), тогда как верхний индекс (здесь 4 ) дает ее верхнюю границу. Нижняя и верхняя границы - это выражения, обозначающие целые числа. Коэффициенты произведения получаются путем взятия выражения, следующего за оператором произведения, с последовательными целочисленными значениями, заменяющими индекс умножения, начиная с нижней границы и увеличиваясь на 1 до (включительно) верхней границы. Например:

В более общем смысле обозначение определяется как

где m и n - целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n , стоимость продукта такая же, как и у единственного фактора x m ; если m > n , продукт является пустым продуктом , значение которого равно 1, независимо от выражения для факторов.

Свойства записи прописных пи

По определению,

Если все факторы идентичны, произведение n факторов эквивалентно возведению в степень :

Из ассоциативности и коммутативности умножения следует

если a - неотрицательное целое число, или если все положительные действительные числа , и

если все неотрицательные целые числа или если x - положительное действительное число.

Бесконечные продукты

Можно также рассматривать произведения из бесконечно большого числа членов; они называются бесконечными произведениями . Условно это состоит в замене n выше на символ бесконечности ∞. Произведение такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n неограниченно возрастает. То есть,

Аналогичным образом можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:

при условии, что существуют оба предела.

Характеристики

Умножение чисел 0–10. Метки линий = множимое. Ось X = множитель. Ось Y = продукт.
Распространение этого шаблона на другие квадранты объясняет, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное число.
Также обратите внимание, как умножение на ноль вызывает уменьшение размерности, как и умножение на сингулярную матрицу, где определитель равен 0. В этом процессе информация теряется и не может быть восстановлена.

Для действительных и комплексных чисел, которые включают, например, натуральные числа , целые числа и дроби , умножение имеет определенные свойства:

Коммутативная собственность
Порядок умножения двух чисел не имеет значения:
Ассоциативное свойство
Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядка операций :
Распределительное свойство
Верно относительно умножения над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений:
Элемент идентичности
Мультипликативная идентичность - 1; все, что умножено на 1, есть само. Эта особенность 1 известна как свойство идентичности :
Собственность 0
Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это свойство называется нулевым свойством умножения:
Отрицание
−1, умноженное на любое число, равно аддитивной обратной величине этого числа.
куда
–1 умножить на –1 равно 1.
Обратный элемент
Каждое число х , кроме 0 , имеет мультипликативный обратный , такой , что .
Сохранение заказа
Умножение на положительное число сохраняет порядок :
При a > 0 , если b > c, то ab > ac .
Умножение на отрицательное число меняет порядок:
Для a <0 , если b > c, то ab < ac .
У комплексных чисел нет порядка.

Другие математические системы, которые включают операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, как правило, не коммутативно для матриц и кватернионов .

Аксиомы

В книге Arithmetices Начал нова methodo exposita , Пеано предложила аксиому арифметики на основе его аксиом для натуральных чисел. В арифметике Пеано есть две аксиомы умножения:

Здесь S ( у ) представляет преемника из Y , или натуральное число , которое следует у . Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны с помощью этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию . Например, S (0), обозначаемый 1, является мультипликативным тождеством, потому что

Аксиомы для целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на обработке ( x , y ) как эквивалента x - y, когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Аксиома умножения для целых чисел, определенная таким образом, имеет вид

Правило, согласно которому −1 × −1 = 1, может быть получено из

Умножение распространяется аналогичным образом на рациональные числа, а затем и на действительные числа .

Умножение с теорией множеств

Произведение неотрицательных целых чисел может быть определено с помощью теории множеств с использованием кардинальных чисел или аксиом Пеано . См. Ниже, как распространить это на умножение произвольных целых чисел, а затем произвольных рациональных чисел. Произведение действительных чисел определяется в терминах произведений рациональных чисел, см. Построение действительных чисел .

Умножение в теории групп

Есть много множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы . Эти аксиомы - замыкание, ассоциативность, включение элемента идентичности и обратное.

Простым примером является набор ненулевых рациональных чисел . Здесь у нас есть тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что с рациональными числами мы должны исключить ноль, потому что при умножении он не имеет обратного: нет рационального числа, которое можно умножить на нуль, что приведет к 1. В этом примере у нас есть абелева группа , но это не всегда так.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем . Здесь просто проверить замыкание, ассоциативность и включение единицы ( единичной матрицы ) и обратного. Однако умножение матриц не коммутативно, что показывает, что эта группа неабелева.

Еще один факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не являются группой, даже если мы исключим ноль. В этом легко убедиться по отсутствию инверсии для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается точкой или сопоставлением (пропуск символа операции между элементами). Таким образом , умножая элемент а , с помощью элемента Ь может быть нотированы в виде Ь или аб . При обращении к группе через указание набора и работы используется точка. Например, наш первый пример может быть обозначен .

Умножение разных видов чисел

Числа можно сосчитать (3 яблока), заказать (3-е яблоко) или измерить (3,5 фута в высоту); По мере того как история математики продвигалась от счета на пальцах к моделированию квантовой механики, умножение было обобщено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа ( такие как кватернионы ).

Целые числа
является суммой N копий M, когда N и M - положительные целые числа. Это дает количество вещей в массиве шириной N и высотой M. Обобщение на отрицательные числа может быть выполнено с помощью
а также
Те же правила знаков применяются к рациональным и действительным числам.
Рациональное число
Обобщение фракций является путем умножения числителя и знаменателя соответственно: . Это дает площадь прямоугольника в высоту и ширину, и это то же самое, что и количество вещей в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами.
Действительные числа
Действительные числа и их произведения могут быть определены в терминах последовательностей рациональных чисел .
Сложные числа
Учитывая комплексные числа и упорядоченные пары действительных чисел и , произведение есть . Это то же самое, что и для вещественных чисел , когда мнимые части и равны нулю.
Эквивалентно, обозначая как , мы имеем
Дальнейшие обобщения
См. Раздел « Умножение в теории групп» выше и « Мультипликативная группа» , которая, например, включает матричное умножение. Очень общая и абстрактная концепция умножения - это «мультипликативно обозначаемая» (вторая) двоичная операция в кольце . Примером кольца, которое не является ни одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (вы можете складывать и умножать многочлены, но многочлены не являются числами в любом обычном смысле).
Разделение
Часто деление , такое же , как умножение на обратный, . Умножение для некоторых типов «чисел» может иметь соответствующее деление, без обратных; в области целостности x может не иметь обратного " ", но может быть определен. В физическом кольце есть обратные, но могут быть неоднозначными в некоммутативных кольцах, поскольку не обязательно должны быть такими же, как .

Возведение в степень

Когда умножение повторяется, результирующая операция называется возведением в степень . Например, произведение трех множителей два (2 × 2 × 2) есть «два в третьей степени» и обозначается как 2 3 , двойка с верхним индексом три. В этом примере число два - это основание , а три - показатель степени . Как правило, показатель степени (или надстрочный индекс) указывает, сколько раз основание встречается в выражении, так что выражение

указывает, что необходимо перемножить n копий основания a . Это обозначение может использоваться всякий раз, когда известно, что умножение является ассоциативным по степени .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки