Взаимно объективные основы - Mutually unbiased bases

В квантовой информационной теории, взаимно несмещенные основы в гильбертовом пространстве C ^D два ортонормальных основ и таким образом, что квадрат от величины этого скалярного произведения между любыми базисными состояниями и равен обратным от размерности г : ${\ displaystyle \ {| e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {d} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| е_ {1} \ rangle, \ точки, | е_ {d} \ rangle \}}$${\ displaystyle | e_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {k} \ rangle}$

${\ displaystyle | \ langle e_ {j} | f_ {k} \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {d}}, \ quad \ forall j, k \ in \ {1, \ dots, d \}.}$

Эти базы беспристрастны в следующем смысле: если система подготовлена ​​в состоянии, принадлежащем одной из баз, то все результаты измерения по отношению к другому базису предсказываются с равной вероятностью.

Обзор

Понятие взаимно несмещенных базисов было впервые введено Швингером в 1960 году, и первым, кто рассмотрел применения взаимно несмещенных базисов, был Иванович в проблеме определения квантового состояния.

Еще одна область, в которой могут применяться взаимно несмещенные основы, - это квантовое распределение ключей , в частности, безопасный обмен квантовыми ключами. Взаимно объективные основы используются во многих протоколах, поскольку результат является случайным, когда измерение выполняется на основе, не связанной с тем, на котором было подготовлено состояние. Когда две удаленные стороны совместно используют два неортогональных квантовых состояния, попытки перехватчика различить их с помощью измерений будут влиять на систему, и это может быть обнаружено. В то время как многие протоколы квантовой криптографии основаны на 1- кубитных технологиях, использование многомерных состояний, таких как qutrits , обеспечивает лучшую защиту от подслушивания. Это мотивирует изучение взаимно несмещенных базисов в многомерных пространствах.

Другие применения взаимно несмещенных оснований включают реконструкцию квантового состояния , коды квантовой коррекции ошибок , обнаружение квантовой запутанности и так называемую «проблему среднего короля».

Проблема существования

Обозначим через максимальное количество взаимно несмещенных базисов в d -мерном гильбертовом пространстве C ^d . Остается открытым вопрос, сколько взаимно несмещенных базисов можно найти в C ^d для произвольного d . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (d)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (d)}$

В общем, если

${\ displaystyle d = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {n_ {k}}}$

- разложение числа d по степени простого числа , где

${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} <p_ {2} ^ {n_ {2}} <\ cdots <p_ {k} ^ {n_ {k}}}$

тогда максимальное количество взаимно несмещенных базисов, которые могут быть построены, удовлетворяет

${\ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} + 1 \ leq {\ mathfrak {M}} (d) \ leq d + 1.}$

Отсюда следует, что если размерность гильбертова пространства d является целой степенью простого числа, то можно найти d  + 1 взаимно несмещенных базисов. Это можно видеть в предыдущем уравнении, так как разложение простого числа д просто . Следовательно, ${\ displaystyle d = p ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (p ^ {n}) = p ^ {n} +1.}$

Таким образом, максимальное количество взаимно несмещенных оснований известно, когда d является целой степенью простого числа, но неизвестно для произвольного d .

Примеры наборов взаимно объективных оснований

Пример для d = 2

Три базы

${\ Displaystyle M_ {0} = \ left \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \ right \}}$

${\ displaystyle M_ {1} = \ left \ {{\ frac {| 0 \ rangle + | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}, {\ frac {| 0 \ rangle - | 1 \ rangle} { \ sqrt {2}}} \ right \}}$

${\ displaystyle M_ {2} = \ left \ {{\ frac {| 0 \ rangle + i | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}, {\ frac {| 0 \ rangle -i | 1 \ rangle } {\ sqrt {2}}} \ right \}}$

предоставить простейший пример взаимно несмещенных оснований в C ² . Вышеуказанные основы состоят из собственных векторов этих Паулей спиновых матриц и их продукта , соответственно. ${\ displaystyle \ sigma _ {z}, \ sigma _ {x}}$${\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {z}}$

Пример для d = 4

Для d  = 4 пример d  + 1 = 5 взаимно несмещенных базисов, где каждый базис обозначается M _j , 0 ≤ j ≤ 4, дается следующим образом:

${\ Displaystyle M_ {0} = \ left \ {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1 )\Правильно\}}$

${\ displaystyle M_ {1} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1,1,1,1), {\ frac {1} {2}} (1,1, -1, -1), {\ frac {1} {2}} (1, -1, -1,1), {\ frac {1} {2}} (1, -1,1, -1) \ right \ }}$

${\ displaystyle M_ {2} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -1, -i, -i), {\ frac {1} {2}} (1, -1 , i, i), {\ frac {1} {2}} (1,1, i, -i), {\ frac {1} {2}} (1,1, -i, i) \ right \ }}$

${\ displaystyle M_ {3} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -i, -i, -1), {\ frac {1} {2}} (1, -i , i, 1), {\ frac {1} {2}} (1, i, i, -1), {\ frac {1} {2}} (1, i, -i, 1) \ right \ }}$

${\ displaystyle M_ {4} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -i, -1, -i), {\ frac {1} {2}} (1, -i , 1, i), {\ frac {1} {2}} (1, i, -1, i), {\ frac {1} {2}} (1, i, 1, -i) \ right \ }}$

Методы поиска взаимно объективных оснований

Метод группы Вейля

Пусть и - два унитарных оператора в гильбертовом пространстве C ^d такие, что ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ displaystyle {\ hat {Z}} {\ hat {X}} = \ omega {\ hat {X}} {\ hat {Z}}}$

для некоторого фазового фактора . Если это примитивный корень из единицы , например , то eigenbases из и взаимно несмещенные. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ омега \ эквив е ^ {\ гидроразрыва {2 \ пи я} {д}}}$${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle {\ hat {Z}}}$

Выбрав собственный базис в качестве стандартного базиса , мы можем сгенерировать другой базис, несмещенный к нему, используя матрицу Фурье. Элементы матрицы Фурье имеют вид ${\ displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ displaystyle F_ {ab} = \ omega ^ {ab}, 0 \ leq a, b \ leq N-1}$

Другие базисы, несмещенные как к стандартному базису, так и к базису, порожденному матрицей Фурье, могут быть сгенерированы с использованием групп Вейля. Размерность гильбертова пространства важна при генерации наборов взаимно несмещенных базисов с использованием групп Вейля. Когда d - простое число, то обычные d  + 1 взаимно несмещенные основания могут быть сгенерированы с использованием групп Вейля. Когда d не является простым числом, возможно, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований, которые могут быть сгенерированы с помощью этого метода, равно 3.

Метод унитарных операторов с использованием конечных полей

При д  =  р является простым , мы определим унитарные операторы и путь ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ displaystyle {\ hat {X}} = \ sum _ {k = 0} ^ {d-1} | k + 1 \ rangle \ langle k |}$

${\ displaystyle {\ hat {Z}} = \ sum _ {k = 0} ^ {d-1} \ omega ^ {k} | k \ rangle \ langle k |}$

где - стандартный базис, а - корень из единицы . ${\ Displaystyle \ {| к \ rangle | 0 \ leq j \ leq d-1 \}}$${\ displaystyle \ omega = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {d}}}$

Тогда собственные базы следующих d  + 1 операторов взаимно несмещены:

${\ displaystyle {\ hat {X}}, {\ hat {Z}}, {\ hat {X}} {\ hat {Z}}, {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ { 2} ... {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ {d-1}.}$

При нечетном г , то т -й собственный вектор оператора задается в явном виде ${\ displaystyle {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ {k}}$

${\ displaystyle | \ psi _ {t} ^ {k} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} \ omega ^ {- jt} \ omega ^ {kj (j-1) / 2} | j \ rangle.}$

Когда - степень простого числа, мы используем конечное поле для построения максимального набора из d  + 1 взаимно несмещенных базисов. Мы маркировать элементы расчетной основы C ^D , используя конечное поле: . ${\ displaystyle d = p ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {d}}$${\ Displaystyle \ {| а \ rangle | а \ ин \ mathbb {F} _ {d} \}}$

Определим операторы и следующим образом ${\ displaystyle {\ hat {X_ {a}}}}$${\ displaystyle {\ hat {Z_ {b}}}}$

${\ displaystyle {\ hat {X_ {a}}} = \ sum _ {c \ in \ mathbb {F} _ {d}} | c + a \ rangle \ langle c |}$

${\ displaystyle {\ hat {Z_ {b}}} = \ sum _ {c \ in \ mathbb {F} _ {d}} \ chi (bc) | c \ rangle \ langle c |}$

куда

${\ displaystyle \ chi (\ theta) = \ exp \ left [{\ frac {2 \ pi i} {p}} \ left (\ theta + \ theta ^ {p} + \ theta ^ {p ^ {2}) } + \ cdots + \ theta ^ {p ^ {r-1}} \ right) \ right],}$

является аддитивным символом над полем, сложением и умножением в кетах и является символом . ${\ Displaystyle \ чи (\ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {d}}$

Затем формируем d  + 1 набор коммутирующих унитарных операторов:

${\ displaystyle \ {{\ hat {Z_ {s}}} | s \ in \ mathbb {F} _ {d} \}}$и для каждого${\ displaystyle \ {{\ hat {X_ {s}}} {\ hat {Z_ {sr}}} | s \ in \ mathbb {F} _ {d} \}}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {F} _ {d}}$

Совместные собственные базы операторов в одном наборе взаимно несмещены по отношению к базам любого другого набора. Таким образом, у нас есть d  + 1 взаимно несмещенных базисов.

Матричный метод Адамара

Учитывая, что один базис в гильбертовом пространстве является стандартным базисом, тогда все базисы, несмещенные относительно этого базиса, могут быть представлены столбцами комплексной матрицы Адамара, умноженными на коэффициент нормализации. При d  = 3 эти матрицы имели бы вид

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ e ^ {i \ phi _ {10}} & e ^ {i \ phi _ {11}} & e ^ {i \ phi _ {12}} \\ e ^ {i \ phi _ {20}} & e ^ {i \ phi _ {21}} & e ^ {i \ phi _ {22}} \ end {bmatrix }}}$

Таким образом, задача поиска набора из k + 1 взаимно несмещенных базисов соответствует поиску k взаимно несмещенных комплексных матриц Адамара.

Примером однопараметрического семейства матриц Адамара в 4-мерном гильбертовом пространстве является

${\ displaystyle H_ {4} (\ phi) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e ^ {i \ phi} & - 1 & -e ^ {i \ phi} \ \ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -e ^ {i \ phi} & - 1 & e ^ {i \ phi} \ end {bmatrix}}}$

Задача нахождения максимального набора MUB при d = 6

Наименьшее измерение, которое не является целой степенью простого числа, равно d  = 6. Это также наименьшее измерение, для которого количество взаимно несмещенных оснований неизвестно. В этом случае нельзя использовать методы, используемые для определения количества взаимно несмещенных оснований, когда d является целой степенью простого числа. Поиски набора из четырех взаимно несмещенных базисов при d  = 6, как с использованием матриц Адамара, так и с использованием численных методов, не увенчались успехом. Общее мнение таково, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований для d  = 6 равно . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} (6) = 3}$

Отношения энтропийной неопределенности и MUBs

Существует альтернативная характеристика взаимно беспристрастных оснований, которая рассматривает их с точки зрения отношений неопределенности .

Соотношения энтропийной неопределенности аналогичны принципу неопределенности Гейзенберга , и Маассен и Уффинк обнаружили, что для любых двух оснований и : ${\ displaystyle B_ {1} = \ {| a_ {i} \ rangle _ {i = 1} ^ {d} \}}$${\ Displaystyle B_ {2} = \ {| b_ {j} \ rangle _ {j = 1} ^ {d} \}}$

${\ displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} \ geq -2 \ log c.}$

где и и - соответствующая энтропия оснований и при измерении данного состояния. ${\ displaystyle c = \ max | \ langle a_ {j} | b_ {k} \ rangle |}$${\ displaystyle H_ {B_ {1}}}$${\ displaystyle H_ {B_ {2}}}$${\ displaystyle B_ {1}}$${\ displaystyle B_ {2}}$

Отношения энтропийной неопределенности часто предпочтительнее принципа неопределенности Гейзенберга , поскольку они формулируются не в терминах состояния, которое нужно измерить, а в терминах с .

В таких сценариях, как квантовое распределение ключей , мы стремимся к таким базам измерения, чтобы полное знание состояния по отношению к одному базису предполагало минимальное знание состояния по отношению к другим базам. Это подразумевает высокую энтропию результатов измерения, и поэтому мы называем эти сильные отношения энтропийной неопределенности.

Для двух баз нижняя граница отношения неопределенности максимизируется, когда базы измерений взаимно несмещены, поскольку взаимно несмещенные базы максимально несовместимы : результат измерения, выполненного на основе, несмещенной по сравнению с базисом, в котором подготовлено состояние, полностью случайный. Фактически, для d -мерного пространства мы имеем:

${\ Displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} \ geq \ log (d)}$

для любой пары взаимно несмещенных баз и . Эта оценка является оптимальной : если мы измеряем состояние по одному из баз, то результат будет иметь энтропию 0 в этом базисе и энтропию в другом. ${\ displaystyle B_ {1}}$${\ displaystyle B_ {2}}$${\ Displaystyle \ журнал (д)}$

Если размерность пространства является простой степенью, мы можем построить d  + 1 MUB, и тогда было обнаружено, что

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {d + 1} H_ {B_ {k}} \ geq (d + 1) \ log \ left ({\ frac {d + 1} {2}} \ right )}$

что сильнее, чем соотношение, которое мы получили бы при объединении наборов в пары и последующем использовании уравнения Маассена и Уффинка. Таким образом, у нас есть характеристика d  + 1 взаимно несмещенных базисов как базисов, для которых отношения неопределенности наиболее сильны.

Хотя случай для двух оснований и для d  + 1 оснований хорошо изучен, очень мало известно о соотношениях неопределенностей для взаимно несмещенных оснований в других обстоятельствах.

При рассмотрении более двух и менее оснований известно, что существуют большие наборы взаимно несмещенных оснований, которые демонстрируют очень небольшую неопределенность. Это означает, что простая взаимная непредвзятость не приводит к высокой неопределенности, за исключением случаев, когда учитываются измерения только в двух базах. Однако существуют и другие измерения, которые очень неопределенны. ${\ displaystyle d + 1}$

Взаимно несмещенные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах

Несмотря на то, что было проведено исследование взаимно несмещенных базисов в бесконечномерном гильбертовом пространстве, их существование остается открытым вопросом. Предполагается, что в непрерывном гильбертовом пространстве два ортонормированных базиса и называются взаимно несмещенными, если ${\ displaystyle | \ psi _ {s} ^ {b} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {s '} ^ {b'} \ rangle}$

${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {s} ^ {b} | \ psi _ {s '} ^ {b'} \ rangle | ^ {2} = k> 0, s, s '\ in \ mathbb { Р} }$

Для обобщенной координаты и импульса собственных состояний и величина K является ${\ displaystyle | q \ rangle, q \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle | p \ rangle, p \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle | \ langle q | p \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}}}$

Существование взаимно несмещенных базисов в непрерывном гильбертовом пространстве остается открытым для дискуссий, поскольку необходимы дальнейшие исследования их существования, прежде чем можно будет сделать какие-либо выводы.

Состояния положения и состояния импульса являются собственными векторами эрмитовых операторов и соответственно. Вейгерт и Уилкинсон были первыми, кто заметил, что линейная комбинация этих операторов также имеет собственные базы, которые имеют некоторые особенности, типичные для взаимно несмещенных базисов. Оператор имеет собственные функции, пропорциональные с, и соответствующие собственные значения . Если мы параметризуем и как и , перекрытие между любым собственным состоянием линейной комбинации и любым собственным состоянием оператора положения (оба состояния нормализованы к дельте Дирака) будет постоянным, но зависит от : ${\ displaystyle | q \ rangle}$${\ displaystyle | p \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle -i {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$${\ displaystyle \ alpha {\ hat {x}} - я \ beta {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$${\ Displaystyle \ ехр (я (ах ^ {2} + bx)) \,}$${\ Displaystyle \ альфа +2 \ бета а = 0}$${\ displaystyle b \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ cos \ theta}$${\ Displaystyle \ грех \ тета}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle | \ langle x _ {\ theta} | x \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi | \ sin \ theta |}},}$

где и - собственные функции и . ${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ Displaystyle | х _ {\ theta} \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle \ cos \ theta {\ hat {x}} - я \ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$

использованная литература