Нормальная функция - Normal function
В аксиоматической теории множеств функция f : Ord → Ord называется нормальной (или нормальной функцией ) тогда и только тогда, когда она непрерывна (относительно топологии порядка ) и строго монотонно возрастает . Это эквивалентно двум следующим условиям:
- Для любого предельного ординала γ (т.е. γ не является ни нулем, ни последователем), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Для всех ординалов α < β , f ( α ) < f ( β ).
Примеры
Простая нормальная функция задается формулой f ( α ) = 1 + α (см. Порядковую арифметику ). Но f ( α ) = α + 1 не является нормальным - оно не непрерывно ни при каком предельном ординале. Если β - фиксированный ординал, то все функции f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (для β ≥ 1) и f ( α ) = β α (для β ≥ 2) являются обычный.
Более важные примеры нормальных функций даются числами алеф , которые соединяют порядковые и кардинальные числа , а также числами бет .
Характеристики
Если F является нормальным, то для любого порядкового альфа ,
- f ( α ) ≥ α .
Доказательство . Если нет, выберите γ минимальным так, чтобы f ( γ ) < γ . Поскольку f строго монотонно возрастает, f ( f ( γ )) < f ( γ ), что противоречит минимальности γ .
Кроме того, для любого непустого множества ординалов S имеем
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Доказательство : «≥» следует из монотонности f и определения супремума . Для «≤» положим δ = sup S и рассмотрим три случая:
- если δ = 0, то S = {0} и sup f ( S ) = f (0);
- если δ = ν + 1 - последователь , то существует s в S с ν < s , так что δ ≤ s . Следовательно, f ( δ ) ≤ f ( s ), откуда f (δ) ≤ sup f ( S );
- если δ - ненулевой предел, выберите любое ν < δ и такое s из S , что ν < s (возможно, поскольку δ = sup S ). Следовательно, f ( ν ) < f ( s ), так что f ( ν ) <sup f ( S ), откуда f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), как и требовалось. .
Каждая нормальная функция f имеет сколь угодно большие неподвижные точки; см. лемму о неподвижной точке для нормальных функций для доказательства. Можно создать нормальную функцию F « : Ord → Ord, называется производной от F , такой , что F» ( & alpha ; ) является α -й неподвижной точкой F .