Нормальный режим - Normal mode

Нормальный режим из системы осциллирующей является картиной движения , в котором все части системы перемещения синусоидальны с той же частотой и с фиксированной фазовой зависимостью. Свободное движение, описываемое нормальными модами, происходит на фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных режимов системы известны как ее собственные частоты или резонансные частоты . Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных режимов и их собственные частоты, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий. В музыке обычные формы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т. Д.) Называются « гармониками » или « обертонами ».

Наиболее общее движение системы - это суперпозиция ее нормальных режимов. Эти моды являются нормальными в том смысле, что они могут перемещаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движение другой моды. С математической точки зрения нормальные моды ортогональны друг другу.

Вибрация одиночной нормальной моды круглого диска с закрепленным граничным условием по всей внешней кромке. Смотрите другие режимы .
Фотовспышка чашки черного кофе, вибрирующей в нормальных режимах
Возбуждение нормальных мод в капле воды при эффекте Лейденфроста

Общие определения

Режим

В волновой теории физики и инженерии, А режим в динамической системе является стоячей волной состояние возбуждения, в котором все компоненты системы будут затронуты синусоидально на фиксированной частоте , связанной с этим режимом.

Поскольку никакая реальная система не может идеально вписаться в структуру стоячей волны, концепция режима используется как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом, рассматривая динамическую систему в линейном порядке, в котором может выполняться линейная суперпозиция состояний.

Классические примеры включают

  • В механической динамической системе вибрирующий канат является наиболее ярким примером режима, в котором канат является средой, напряжение на канате является возбуждением, а смещение каната относительно его статического состояния является модальным. Переменная.
  • В акустической динамической системе единая высота звука - это режим, в котором воздух является средой, звуковое давление в воздухе является возбуждением, а смещение молекул воздуха является модальной переменной.
  • В структурной динамической системе высокое высокое здание, колеблющееся под своей максимальной осью изгиба, является режимом, в котором весь материал здания - при надлежащих численных упрощениях - является средой, сейсмические / ветровые / экологические воздействия являются возбуждениями и смещения являются модальной переменной.
  • В электрической динамической системе резонансная полость, сделанная из тонких металлических стенок, окружающая полое пространство, для ускорителя частиц является чистой системой стоячих волн и, следовательно, примером режима, в котором полое пространство полости является средой. , источник RF (клистрон или другой источник RF) - это возбуждение, а электромагнитное поле - модальная переменная.
  • Применительно к музыке обычные формы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т. Д.) Называются « гармониками » или « обертонами ».
  • Концепция нормальных режимов также находит применение в оптике , квантовой механике и молекулярной динамике .

Большинство динамических систем можно возбуждать в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждая мода характеризуется одной или несколькими частотами в соответствии с полем модальных переменных. Например, вибрирующий канат в двухмерном пространстве определяется одной частотой (одномерное осевое смещение), а колеблющийся канат в трехмерном пространстве определяется двумя частотами (двухмерное осевое смещение).

Для заданной амплитуды модальной переменной каждый режим будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.

Нормальный или доминирующий режим системы с несколькими режимами будет режим хранения минимального количества энергии для заданной амплитуды модальных переменного, или, что эквивалентно, для данного сохраненного количества энергии, доминирующий режим будет режимом наложения максимальная амплитуда модальной переменной.

Номера режимов

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Он нумеруется в соответствии с количеством полуволн в вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами отображает форму моды, равную половине синусоидальной волны (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если бы у нее была полная синусоида (один пик и одна впадина). ) он будет вибрировать в режиме 2.

В системе с двумя или более измерениями, такой как изображенный диск, каждому измерению присваивается номер режима. Используя полярные координаты , у нас есть радиальная координата и угловая координата. Если один измеряется от центра наружу по радиальной координате, можно встретить полную волну, поэтому номер моды в радиальном направлении равен 2. Другое направление сложнее, потому что только половина диска рассматривается из-за антисимметричной ( также называется кососимметрией ) характер колебаний диска в угловом направлении. Таким образом, измеряя 180 ° в угловом направлении, вы столкнетесь с полуволной, поэтому номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы составляет 2–1 или 1–2, в зависимости от того, какая координата считается координатой. «первая» и считается «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать, какой номер режима соответствует каждому направлению координат).

В линейных системах каждый режим полностью независим от всех других режимов. Как правило, все режимы имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы колебаний.

Узлы

Форма колебаний барабанной мембраны с узловыми линиями, показанными бледно-зеленым цветом.

В одномерной системе в данном режиме вибрация будет иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам формы колебаний, где форма колебаний равна нулю. Поскольку вибрация системы определяется формой моды, умноженной на функцию времени, смещение узловых точек всегда остается нулевым.

При расширении до двухмерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой - на самом краю) и прямую линию, разделяющую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии в точности равны нулю, как показано справа.

В механических системах

Связанные генераторы

Рассмотрим два равных тела (на которые не действует сила тяжести), каждое из которых имеет массу m , прикрепленные к трем пружинам, каждая из которых имеет жесткость k . Они прикрепляются следующим образом, образуя физически симметричную систему:

Coupled Harmonic Oscillator.svg

где краевые точки зафиксированы и не могут двигаться. Мы будем использовать x 1 ( t ) для обозначения горизонтального смещения левой массы и x 2 ( t ) для обозначения смещения правой массы.

Если обозначить ускорение (вторая производная от x ( t ) по времени) как , то уравнения движения будут:

Поскольку мы ожидаем колебательное движение нормального режима (где ω одинаково для обеих масс), мы пробуем:

Подставив их в уравнения движения, мы получим:

Поскольку экспоненциальный множитель является общим для всех терминов, мы его опускаем и упрощаем:

И в матричном представлении:

Если матрица слева обратима, единственное решение - это тривиальное решение ( A 1A 2 ) = ( x 1x 2 ) = (0,0). Нетривиальные решения должны быть найдены для тех значений ω, при которых матрица слева является сингулярной, т.е. необратимой. Отсюда следует, что определитель матрицы должен быть равен 0, поэтому:

У нас есть два положительных решения:

Если мы подставим ω 1 в матрицу и решим относительно ( A 1A 2 ), мы получим (1, 1). Если подставить ω 2 , получим (1, −1). (Эти векторы являются собственными векторами , а частоты - собственными значениями .)

Первый нормальный режим:

Это соответствует тому, что обе массы движутся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

Это соответствует движению масс в противоположных направлениях, в то время как центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.

Общее решение является суперпозицией из нормальных мод , где гр 1 , с 2 , φ 1 и φ 2 , определяются начальными условиями задачи.

Продемонстрированный здесь процесс может быть обобщен и сформулирован с использованием формализма лагранжевой механики или гамильтоновой механики .

Стоячие волны

Стоячая волна является непрерывной формой нормального режима. В стоячей волне все пространственные элементы (т.е. координаты ( xyz )) колеблются с одной и той же частотой и синфазно (вместе достигают точки равновесия ), но каждый имеет разную амплитуду.

Standing-wave05.png

Общий вид стоячей волны:

где ƒ ( xyz ) представляет собой зависимость амплитуды от местоположения, а косинус \ синус - колебания во времени.

Физически стоячие волны образованы интерференцией (суперпозицией) волн и их отражениями (хотя можно сказать и обратное: движущаяся волна является суперпозицией стоячих волн). Геометрическая форма среды определяет, что будет интерференционной картиной, таким образом, определяет форму ƒ ( x , yz ) стоячей волны. Эта пространственная зависимость называется нормальным режимом .

Обычно для задач с непрерывной зависимостью от ( xyz ) нет единственного или конечного числа нормальных режимов, но существует бесконечно много нормальных режимов. Если проблема ограничена (т. Е. Определена на конечном участке пространства), существует счетное количество нормальных режимов (обычно пронумерованных n = 1, 2, 3, ...). Если проблема не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных режимов.

Эластичные твердые тела

В любом твердом теле при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не являются стационарными, а скорее колеблются относительно средних положений. В изоляторах способность твердого тела накапливать тепловую энергию почти полностью обусловлена ​​этими колебаниями. Многие физические свойства твердого тела (например, модуль упругости) можно предсказать, зная частоты, с которыми колеблются частицы. Простейшее предположение (Эйнштейна) состоит в том, что все частицы колеблются вокруг своего среднего положения с одной и той же собственной частотой ν . Это эквивалентно предположению, что все атомы независимо колеблются с частотой ν . Эйнштейн также предположил, что разрешенные энергетические состояния этих колебаний являются гармониками или целыми кратными . Спектр форм волны может быть описан математически с помощью ряда Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или тепловых фононов ).

Фундаментальные и первые шесть обертонов колеблющейся струны. Математика распространения волн в кристаллических твердых телах состоит из рассмотрения гармоник в качестве идеального ряда Фурье от синусоидальных колебаний плотности (или волн атомных смещений).

Впоследствии Дебай обнаружил, что каждый осциллятор всегда тесно связан со своими соседними осцилляторами. Таким образом, заменив идентичные несвязанные осцилляторы Эйнштейна таким же количеством связанных осцилляторов, Дебай коррелировал упругие колебания одномерного твердого тела с числом математически особых видов колебаний натянутой струны (см. Рисунок). Чистый тон самого низкого тона или частоты называется основным, а кратные этой частоте - его гармоническими обертонами. Он присвоил одному из осцилляторов частоту основной вибрации всего блока твердого тела. Он назначил остальным осцилляторам частоты гармоник этой основной гармоники, причем самая высокая из этих частот ограничивалась движением самого маленького первичного блока.

Нормальные моды колебаний кристалла, как правило, представляют собой суперпозицию многих обертонов, каждый из которых имеет соответствующую амплитуду и фазу. Более длинноволновые (низкочастотные) фононы - это как раз те акустические колебания, которые рассматриваются в теории звука. Как продольные, так и поперечные волны могут распространяться через твердое тело, в то время как, как правило, только продольные волны поддерживаются жидкостями.

В продольной моде смещение частиц из положения равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также называют волнами сжатия . Для поперечных мод отдельные частицы движутся перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной колебательной моды кристаллического твердого тела с характеристической частотой ν равна:

Член (1/2) представляет «энергию нулевой точки» или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. E ( ν ) стремится к классическому значению kT при высоких температурах.

Зная термодинамическую формулу,

энтропия в нормальном режиме:

Бесплатная энергия:

которая при kT  >> стремится к:

Чтобы вычислить внутреннюю энергию и теплоемкость, мы должны знать количество нормальных колебательных мод и частоту между значениями ν и ν  + . Пусть это число будет f ( ν ) d ν . Поскольку общее количество нормальных мод равно 3 N , функция f ( ν ) определяется выражением:

Интегрирование производится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия U будет выражаться как:

В квантовой механике

В квантовой механике состояние системы описывается волновой функцией, которая решает уравнение Шредингера . Квадрат абсолютного значения , т. Е.

- это плотность вероятности для измерения частицы в месте x в момент времени  t .

Обычно, когда задействован какой-то потенциал , волновая функция раскладывается на суперпозицию собственных состояний энергии , каждое из которых колеблется с частотой . Таким образом, можно написать

Собственные состояния имеют физический смысл не только ортонормированный базис . Когда энергия системы измеряется , волновая функция коллапсирует до одного из своих собственных состояний, и поэтому волновая функция частицы описывается чистым собственным состоянием, соответствующим измеренной энергии .

В сейсмологии

Нормальные моды генерируются на Земле из-за длинноволновых сейсмических волн от сильных землетрясений, мешающих формированию стоячих волн.

Для упругой изотропной однородной сферы возникают сфероидальный, тороидальный и радиальный (или дышащий) режимы. Сфероидальные моды включают только волны P и SV (например, волны Рэлея ) и зависят от номера обертона n и углового порядка l, но имеют вырождение азимутального порядка m . Увеличение l концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности, а при больших l стремится к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только волны SH (например, волны Лява ) и не существуют во внешнем жидком ядре. Радиальные моды - это всего лишь подмножество сфероидальных мод с l = 0 . Вырождения не существует на Земле, поскольку оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности.

Можно предположить, что каждая мода может быть изолированной, приближение самосвязи, или что многие моды, близкие по частоте, резонируют , приближение перекрестной связи. Самосвязывание изменит только фазовую скорость, а не количество волн вокруг большого круга, что приведет к растяжению или сжатию структуры стоячих волн. Модальное перекрестное взаимодействие возникает из-за вращения Земли, из-за асферической упругой структуры или из-за эллиптичности Земли и приводит к смешению основных сфероидальных и тороидальных мод.

Смотрите также

Источники

  • Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для собственной частоты и формы колебаний (переиздание). Малабар, Флорида: Krieger Pub. ISBN 978-1575241845.
  • Цзоу, HS; Бергман, Л.А., ред. (2008). Динамика и управление распределенными системами . Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521033749.
  • Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 231–237. ISBN 9780521882101.

внешние ссылки