Нормальный морфизм - Normal morphism

В категории теории и ее применение в математику , нормальный мономорфизм или конормальный эпиморфизм является особенно хорошо себя типом морфизма . Нормальная категория представляет собой категорию , в которой каждый -мономорфизм нормально. Категория конормальной является один , в котором каждый эпиморфизм является конормальным.

Определение

Мономорфизм нормален, если он является ядром некоторого морфизма, и эпиморфизм является конормальным, если он является коядром некоторого морфизма.

Категория C является бинормальной, если она нормальная и конормальная. Но обратите внимание, что некоторые авторы будут использовать слово «нормальный» только для обозначения того, что C бинормальна.

Примеры

В категории групп , мономорфно е из Н в G нормальна тогда и только тогда , когда его образ является нормальной подгруппой в G . В частности, если Н является подгруппой из G , то отображение включения I из Н в G является мономорфизмом, и будет нормально тогда и только тогда , когда Н является нормальной подгруппой группы G . Фактически, отсюда и происходит термин «нормальный» для мономорфизмов.

С другой стороны, каждый эпиморфизм в категории групп конормален (поскольку он является коядром своего собственного ядра), поэтому эта категория конормальна.

В абелевой категории каждый мономорфизм является ядром своего коядра, а каждый эпиморфизм является коядром своего ядра. Таким образом, абелевы категории всегда бинормальны. Категория абелевых групп является фундаментальным примером абелевой категории, и, соответственно, каждая подгруппа абелевой группы является нормальной подгруппой.

Ссылки

• Раздел I.14. Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. 17 . Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. Руководство по ремонту  0202787 .