О-минимальная теория - O-minimal theory

В математической логике , а точнее в теории моделей , бесконечная структура ( M , <, ...), которая полностью упорядочена по <, называется o-минимальной структурой тогда и только тогда, когда каждое определимое подмножество X  ⊂  M (с выбранными параметрами из М ) является конечным объединением из интервалов и точек.

О-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключения квантора . Структура М о-минимально тогда и только тогда , когда каждая формула с одной свободными переменными и параметрами в М эквивалентна формуле бескванторной с участием только упорядочения, а также с параметрами M . Это аналог минимальных структур, которые являются в точности аналогичным свойством вплоть до равенства.

Теория T является о-минимальной теорией , если каждая модель из Т о-минимально. Известно, что полная теория T o-минимальной структуры является o-минимальной теорией. Этот результат примечателен тем, что, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно должна быть строго минимальной теорией , то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, которая не является минимальной.

Теоретико-множественное определение

O-минимальные структуры могут быть определены без обращения к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M теоретико-множественным образом, как последовательность S  = ( S n ), n  = 0,1,2, ... такую, что

  1. S n - булева алгебра подмножеств M n
  2. если A  ∈  S n, то M  ×  A и A  × M лежат в S n +1
  3. множество {( x 1 , ..., x n ) ∈  M n  :  x 1  =  x n } принадлежит S n
  4. если A  ∈  S n +1 и π  :  M n +1  →  M n - отображение проекции на первые n координат, то π ( A ) ∈  S n .

Если M имеет плотный линейный порядок без концов на нем, скажем <, то структура S на M называется o-минимальной, если она удовлетворяет дополнительным аксиомам

  1. множество {( x , y ) ∈  M 2  :  x  <  y } принадлежит S 2
  2. множества в S 1 - это в точности конечные объединения интервалов и точек.

«O» означает «порядок», поскольку любая o-минимальная структура требует упорядочения в нижележащем наборе.

Теоретико-модельное определение

O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое, но эквивалентное определение с использованием языка теории моделей. В частности, если L - язык, включающий бинарное отношение <, и ( M , <, ...) - L -структура, где <интерпретируется как удовлетворяющий аксиомам плотного линейного порядка, то ( M , <, ... ) называется o-минимальной структурой, если для любого определимого множества X  ⊆  M существует конечное число открытых интервалов I 1 , ..., I r без концов в M  ∪ {± ∞} и конечное множество X 0 такое, что

Примеры

Примеры о-минимальных теорий:

  • Полная теория плотных линейных порядков на языке только с упорядочением.
  • RCF, то теория о реальных замкнутых полей .
  • Полная теория вещественного поля с добавлением ограниченных аналитических функций (т. Е. Аналитических функций в окрестности [0,1] n , ограниченных до [0,1] n ; обратите внимание, что неограниченная синус-функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может определима в о-минимальной структуре.)
  • Полная теория действительного поля с обозначением показательной функции по теореме Уилки . В более общем смысле, полная теория действительных чисел с добавлением функций Пфаффа .
  • Последние два примера можно объединить: для любого o-минимального расширения вещественного поля (такого как вещественное поле с ограниченными аналитическими функциями) можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является o-минимальной структурой. (Замыкание структуры по Пфаффу, в частности, замкнуто относительно цепей Пфаффа, где вместо полиномов используются произвольные определимые функции.)

В случае RCF определимые множества являются полуалгебраическими множествами . Таким образом, изучение o-минимальных структур и теорий обобщает реальную алгебраическую геометрию . Основное направление текущих исследований основано на обнаружении о-минимальных расширений реального упорядоченного поля. Несмотря на общность приложения, можно многое показать о геометрии множества, определяемого в o-минимальных структурах. Есть теорема о разложении клеток, теоремы Уитни и Вердье о стратификации, а также хорошее понятие размерности и эйлеровой характеристики.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки