Открытый поток - Open-channel flow

Поток в открытом канале , раздел гидравлики и механики жидкости , представляет собой тип потока жидкости в трубопроводе или в канале со свободной поверхностью, известном как канал . Другой тип потока в трубопроводе - это поток по трубопроводу . Эти два типа течения во многом похожи, но отличаются одним важным аспектом: свободной поверхностью. Поток в открытом канале имеет свободную поверхность , а поток в трубе - нет.

Классификации потока

Поток в открытом канале можно классифицировать и описать различными способами на основе изменения глубины потока во времени и пространстве. Основные типы потоков, рассматриваемые в гидравлике с открытыми каналами:

• Время как критерий
  • Установившееся течение
    • Глубина потока не меняется со временем или, если ее можно считать постоянной в течение рассматриваемого интервала времени.
  • Неустойчивый поток
    • Глубина потока действительно меняется со временем.
• Пространство как критерий
  • Равномерный поток
    • Глубина потока одинакова на всех участках канала. Равномерный поток может быть постоянным или неустойчивым, в зависимости от того, изменяется ли глубина со временем (хотя нестационарный равномерный поток встречается редко).
  • Разнообразный поток
    • Глубина потока изменяется по длине канала. Технически переменный поток может быть как постоянным, так и неустойчивым. Разнообразный поток можно далее классифицировать как быстро или постепенно:
      • Быстро меняющийся поток
        • Глубина резко меняется на сравнительно небольшом расстоянии. Быстро меняющийся поток известен как местное явление. Примерами являются гидравлический прыжок и гидравлическое падение .
      • Постепенно меняющийся поток
        • Глубина меняется на большом расстоянии.
  • Непрерывный поток
    • Разряда является постоянным в течение всего досягаемости канала рассматриваемого. Это часто случается с постоянным потоком. Этот поток считается непрерывным и поэтому может быть описан с помощью уравнения неразрывности для непрерывного установившегося потока.
  • Пространственно-разнообразный поток
    • Истечение установившегося потока по каналу неравномерно. Это происходит, когда вода входит и / или выходит из канала по ходу потока. Примером потока, попадающего в канал, может быть желоб на обочине дороги. Примером потока, покидающего канал, может быть оросительный канал. Этот поток может быть описан с помощью уравнения непрерывности для непрерывного нестационарного потока, требует учета временного эффекта и включает временной элемент в качестве переменной.

Состояния потока

Поведение потока в открытом канале определяется эффектами вязкости и силы тяжести по отношению к силам инерции потока. Поверхностное натяжение играет незначительную роль, но в большинстве случаев не играет достаточно значительной роли, чтобы быть определяющим фактором. Из-за наличия свободной поверхности сила тяжести, как правило, является наиболее значимой движущей силой потока в открытом канале; поэтому отношение сил инерции к силам тяжести является наиболее важным безразмерным параметром. Параметр известен как число Фруда и определяется как:

где - средняя скорость, - характерный масштаб длины для глубины канала, - ускорение свободного падения . В зависимости от влияния вязкости на инерцию, представленного числом Рейнольдса , поток может быть ламинарным , турбулентным или переходным . Однако обычно допустимо предположить, что число Рейнольдса достаточно велико, так что вязкими силами можно пренебречь. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle g}$

Основные уравнения

Можно сформулировать уравнения, описывающие три закона сохранения для величин, которые полезны в потоке в открытом канале: массы, количества движения и энергии. Основные уравнения являются результатом рассмотрения динамики

векторного поля скорости потока с компонентами . В декартовых координатах эти компоненты соответствуют скорости потока по осям x, y и z соответственно. ${\ displaystyle {\ bf {v}}}$${\ displaystyle {\ bf {v}} = {\ begin {pmatrix} u & v & w \ end {pmatrix}} ^ {T}}$

Чтобы упростить окончательный вид уравнений, допустимо сделать несколько предположений:

1. Поток несжимаемый (это не лучшее предположение для быстро меняющегося потока).
2. Число Рейнольдса достаточно велико, поэтому вязкой диффузией можно пренебречь.
3. Поток одномерный по оси абсцисс.

Уравнение неразрывности

Общее уравнение неразрывности , описывающее сохранение массы, принимает вид:

$${\ Displaystyle {\ partial \ rho \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) = 0}$$

где это жидкость , плотность и является дивергенция оператором. В предположении течения несжимаемой жидкости с постоянным контрольным объемом это уравнение имеет простое выражение . Однако возможно, что площадь поперечного сечения может изменяться как во времени, так и в пространстве в канале. Если исходить из интегральной формы уравнения неразрывности:${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ набла \ cdot ()}$ ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ bf {v}} = 0}$ ${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {V} \ rho \; dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dV}$$

можно разложить интеграл объема на поперечное сечение и длину, что приводит к виду:

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} \ rho \; dA \ right) dx = - \ int _ {x} \ left [\ int _ { A} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dA \ right] dx}$$

В предположении несжимаемого одномерного течения это уравнение принимает следующий вид:

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} dA \ right) dx = - \ int _ {x} {\ partial \ over {\ partial x}} \ left (\ int _ {A} u \; dA \ right) dx}$$

Заметив это и определив объемный расход , уравнение сводится к:${\ displaystyle \ int _ {A} dA = A}$ ${\ Displaystyle Q = \ int _ {A} и \; dA}$

$${\ displaystyle \ int _ {x} {\ partial A \ over {\ partial t}} \; dx = - \ int _ {x} {\ partial Q \ over {\ partial x}} dx}$$

Наконец, это приводит к уравнению неразрывности для несжимаемого одномерного потока в открытом канале:

$${\ displaystyle {\ partial A \ over {\ partial t}} + {\ partial Q \ over {\ partial x}} = 0}$$

Уравнение импульса

Уравнение количества движения для потока в открытом канале можно найти, исходя из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости  :

$${\ displaystyle \ overbrace {\ underbrace {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Local}} \\ {\ text {Change}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {{\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}} _ {\ text {Advection}}} ^ {\ text {Inertial Acceleration}} = - \ underbrace {{1 \ over {\ rho}} \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Pressure}} \\ {\ text {Gradient}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ nu \ Delta {\ bf {v}}} _ {\ text {Diffusion}} - \ underbrace {\ nabla \ Phi} _ {\ text {Gravity}} + \ underbrace {\ bf {F}} _ {\ begin {smallmatrix } {\ text {External}} \\ {\ text {Forces}} \ end {smallmatrix}}}$$

где - давление , - кинематическая вязкость , - оператор Лапласа , - гравитационный потенциал . Используя предположения о высоком числе Рейнольдса и одномерном потоке, мы получаем уравнения:${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ Phi = gz}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} & = - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial x}} + F_ {x} \\ - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial z}} - g & = 0 \ end {выровнено}}}$$

Второе уравнение подразумевает гидростатическое давление , где глубина канала - это разница между отметкой свободной поверхности и дном канала . Подстановка в первое уравнение дает:${\ displaystyle p = \ rho g \ zeta}$${\ displaystyle \ eta (t, x) = \ zeta (t, x) -z_ {b} (x)}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle z_ {b}}$

$${\ displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ zeta \ over {\ partial x}} = F_ {x} \ подразумевает {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} - gS = F_ {x}}$$

где уклон русла русла . Чтобы учесть напряжение сдвига вдоль берегов канала, мы можем определить силовой член следующим образом:${\ Displaystyle S = -dz_ {b} / dx}$

$${\ displaystyle F_ {x} = - {1 \ over {\ rho}} {\ tau \ over {R}}}$$

где это напряжение сдвига и является гидравлическим радиусом . Определение угла трения , способ количественной оценки потерь на трение, приводит к окончательной форме уравнения количества движения:${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle S_ {е} = \ тау / \ rho gR}$

$${\ displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} + g (S_ {f } -S) = 0}$$

Уравнение энергии

Чтобы вывести уравнение энергии , обратите внимание, что член адвективного ускорения может быть разложен как:${\ Displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}}$

$${\ Displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} = \ omega \ times {\ bf {v}} + {1 \ over {2}} \ nabla \ | {\ bf { v}} \ | ^ {2}}$$

где - завихренность потока, - евклидова норма . Это приводит к форме уравнения количества движения, игнорируя член внешних сил, который определяется следующим образом:${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$

$${\ displaystyle {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + \ omega \ times {\ bf {v}} = - \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right)}$$

Принимая скалярное произведение из с этим уравнением приводит к:${\ displaystyle {\ bf {v}}}$

$${\ Displaystyle {\ partial \ over {\ partial t}} \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} \ right) + {\ bf {v} } \ cdot \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right) = 0}$$

Это уравнение было получено с использованием тройного скалярного произведения . Определите как плотность энергии :${\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot (\ omega \ times {\ bf {v}}) = 0}$${\ displaystyle E}$

$${\ displaystyle E = \ underbrace {{1 \ over {2}} \ rho \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Kinetic}} \\ {\ text {Energy}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ rho \ Phi} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Potential}} \\ {\ text {Energy}} \ end {smallmatrix} }}$$

Отметив, что это не зависит от времени, мы приходим к уравнению:${\ displaystyle \ Phi}$

$${\ displaystyle {\ partial E \ over {\ partial t}} + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla (E + p) = 0}$$

Предположение, что плотность энергии не зависит от времени, а поток одномерный, приводит к упрощению:

$${\ displaystyle E + p = C}$$

с константой; это эквивалентно принципу Бернулли . Особый интерес в потоке в открытом канале представляет удельная энергия , которая используется для расчета гидравлического напора, который определяется как:${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle e = E / \ rho g}$ ${\ displaystyle h}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} h & = e + {p \ over {\ rho g}} \\ & = {u ^ {2} \ over {2g}} + z + {p \ over {\ gamma}} \ конец {выровнен}}}$$

с будучи весом конкретного . Однако реалистичные системы требуют добавления члена потери напора для учета диссипации энергии из-за трения и турбулентности, которые были проигнорированы путем дисконтирования члена внешних сил в уравнении импульса.${\ displaystyle \ gamma = \ rho g}$${\ displaystyle h_ {f}}$

Смотрите также

• HEC-RAS
• Ручей
• Области исследования
  • Вычислительная гидродинамика
  • Динамика жидкостей
  • Гидравлика
  • Гидрология
• Типы течения жидкости
  • Ламинарный поток
  • Расход трубы
  • Переходный поток
  • Турбулентный поток
• Свойства жидкости
  • Число Фруда
  • Число Рейнольдса
  • Вязкость
• Другие статьи по теме
  • Формула Шези
  • Уравнение Дарси-Вейсбаха
  • Гидравлический прыжок
  • Формула укомплектования
  • Уравнения Сен-Венана
  • Стандартный шаговый метод

использованная литература

1. ^ Chow, Вен Te (2008). Гидравлика открытого канала (PDF) . Колдуэлл, Нью-Джерси: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
2. ^ Battjes, Jurjen A .; Лабер, Роберт Ян (2017). Неустойчивый поток в открытых каналах . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316576878.
3. ^ Джобсон, Харви Э .; Froehlich, Дэвид С. (1988). Основные гидравлические принципы течения в открытом канале (PDF) . Рестон, Вирджиния: Геологическая служба США.
4. ^ ^{a b} Штурм, Терри В. (2001). Гидравлика открытого канала (PDF) . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 2. ISBN 9780073397870.

дальнейшее чтение

• Незу, Иехиса; Накагава, Хиродзи (1993). Турбулентность течений в открытом канале . Монография МАПЧ. Роттердам, Нидерланды: AA Balkema. ISBN  9789054101185 .
• Сызмкевич, Ромуальд (2010). Численное моделирование в гидравлике открытого канала . Библиотека наук о воде и технологиях. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9789048136735 .

внешние ссылки

• Конспекты лекций

Калтех :

• Вывод уравнений течения в открытом канале.
• Профили поверхности для стабильного потока в канале

Открытый канал потока

Концепции потока в открытом канале

Что такое гидравлический прыжок?

Пример потока в открытом канале

Моделирование турбулентных течений (стр. 26-38)