Орбифолд - Orbifold

В математических дисциплинах топологии и геометрии , орбиобразие (для «орбиты-многообразия») является обобщением многообразия . Грубо говоря, орбифолд - это топологическое пространство, которое локально является конечным групповым фактором евклидова пространства.

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфных форм в 1950-х годах под названием V-многообразие ; по Тёрстону в контексте геометрии 3-многообразий в 1970 - х годах , когда он придумал название орбифолдного , после голосования его учеников; и Андре Хефлигером в 1980-х годах в контексте программы Михаила Громова о пространствах CAT (k) под названием orbihedron .

Исторически орбифолды возникли сначала как поверхности с особыми точками задолго до того, как они были формально определены. Один из первых классических примеров возник в теории модулярных форм с действием модулярной группы на верхней полуплоскости : версия теоремы Римана – Роха верна после компактификации фактора добавлением двух орбифолдных точек возврата. В теории трехмерных многообразий теорию расслоенных пространств Зейферта , начатую Гербертом Зайфертом , можно сформулировать в терминах двумерных орбифолдов. В постгромовской геометрической теории групп дискретные группы изучались в терминах свойств локальной кривизны орбигедров и их покрывающих пространств. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько иное значение, подробно обсуждаемое ниже. В двумерной конформной теории поля это относится к теории, связанной с подалгеброй неподвижных точек вершинной алгебры под действием конечной группы автоморфизмов .

Основной примером основного пространства является фактор - пространством многообразия под надлежащим разрывным действием , возможно бесконечной группы из диффеоморфизмов с конечными подгруппами изотропии . В частности, это относится к любому действию конечной группы ; таким образом, многообразие с краем несет естественную структуру орбифолда, поскольку оно является фактором своего дубля по действию . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Одно топологическое пространство может нести разные орбифолдные структуры. Например, рассмотрим орбифолд O, связанный с фактор-пространством 2-сферы вдоль поворота на ; он гомеоморфен 2-сфере, но естественная структура орбифолда иная. Можно адаптировать большинство характеристик многообразий к орбифолдам, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик лежащего в основе пространства. В приведенном выше примере, орбиобразие фундаментальная группа из O является и его орбиобразие эйлерова характеристика равна 1. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Формальные определения

Как и коллектор, орбифолд определяется местными условиями; Однако, вместо того , чтобы быть локально моделируется на открытых подмножествах в , орбифолд локально моделируется на дробях открытых подмножеств конечных действий группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового фактор-пространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но также структуру подгрупп изотропии . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

П - мерный орбиобразие является хаусдорфово топологическое пространство X , называется базовым пространством , с покрытием по совокупности открытых множеств , замкнуто относительно конечных пересечений. Для каждого есть ${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle U_ {i}}$

• открытое подмножество из , инвариантных относительно верного линейного действия конечной группы ;${\ displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$
• непрерывное отображение из на инвариантно относительно , называется орбиобразие диаграммы , которая определяет гомеоморфизм между и .${\ displaystyle \ varphi _ {я}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\ displaystyle V_ {i} / \ Gamma _ {i}}$${\ displaystyle U_ {i}}$

Набор орбифолдных карт называется орбифолдным атласом, если выполняются следующие свойства:

• для каждого включения U _i U _j существует инъективный групповой гомоморфизм f _ij  : Γ _i Γ _j${\ displaystyle \ subset}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$
• для каждого включения U _я U _J существует Γ _я  - эквивариантный гомеоморфизм ψ _IJ , называется склеивание карты , из V _я на открытом подмножество V _J${\ displaystyle \ subset}$
• карты склейки согласованы с картами, т. е. φ _j · ψ _ij = φ _i
• отображения склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т. е. любое другое возможное отображение склейки из V _i в V _j имеет вид g · ψ _ij для единственного g в Γ _j

Атлас орбифолда полностью определяет структуру орбифолда : два атласа орбифолда X дают одну и ту же структуру орбифолда, если их можно последовательно комбинировать, чтобы получить атлас орбифолда большего размера. Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если U _i U _j U _k , то существует единственный переходный элемент g _ijk в Γ _k такой, что ${\ displaystyle \ subset}$ ${\ displaystyle \ subset}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

а также отношение коцикла (гарантирующее ассоциативность)

f _км ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

В более общем смысле, к открытому покрытию орбифолда картами орбифолда прикреплены комбинаторные данные так называемого комплекса групп (см. Ниже).

Точно так же, как и в случае многообразий, можно наложить условия дифференцируемости на склейки отображений, чтобы дать определение дифференцируемого орбифолда . Это будет риманово орбифолд, если, кроме того, на картах орбифолда есть инвариантные римановы метрики, а склейки отображений являются изометриями .

Определение с использованием группоидов

Группоид состоит из множества объектов , набора стрел и структурных карт , включая источник и целевые карты и другие карты , позволяющую стрелку , чтобы быть составлена и перевернутой. Он называется группоидом Ли, если оба и являются гладкими многообразиями, все структурные карты гладкие, а исходная и целевая карты являются субмерсиями. Она называется правильной, если это правильная карта. Он называется этальным, если и исходное, и целевое отображения являются локальными диффеоморфизмами. Орбифолдный группоид является собственным этален группоидом Ли. ${\ displaystyle G_ {0}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle s, t: G_ {1} \ to G_ {0}}$${\ displaystyle G_ {0}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle (s, t): G_ {1} \ to G_ {0} \ times G_ {0}}$

С орбифолдным группоидом связано нижележащее пространство орбит . Структура орбифолда на топологическом пространстве состоит из группоида орбифолда и гомеоморфизма . С другой стороны, для орбифолда с атласом можно построить группоид орбифолда, который не зависит от выбора атласа с точностью до эквивалентности Морита . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | G |}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | G | \ simeq X}$

Понятие орбифолдных группоидов особенно эффективно при обсуждении неэффективных орбифолдов и отображений между орбифолдами. Например, карта между орбифолдами может быть описана гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащая в основе непрерывная карта между лежащими в основе топологическими пространствами.

Примеры

• Любое многообразие без края тривиально является орбифолдом. Каждая из групп Γ _i - тривиальная группа .
• Если N - компактное многообразие с краем, его дубль M может быть образован путем склеивания копии N и его зеркального отображения вдоль их общей границы. Существует естественное отражающее действие Z ₂ на многообразии M, фиксирующее общую границу; фактор-пространство можно отождествить с N , так что N имеет естественную орбифолдную структуру.
• Если M - риманово n -многообразие с кокомпактным собственным изометрическим действием дискретной группы Γ, то пространство орбит X = M / Γ имеет естественную структуру орбифолда: для каждого x в X возьмем представителя m в M и открытую окрестность V _m из m, инвариантный относительно стабилизатора Γ _m , эквивариантно отождествляемый с Γ _m -подмножеством T _m M при экспоненциальном отображении в m ; конечное число окрестностей покрывают X, и каждое их конечное пересечение, если оно непусто, покрывается пересечением Γ-сдвигов g _m · V _m с соответствующей группой g _m Γ g _m ⁻¹ . Орбифолды, возникающие таким образом, называются развертывающейся или хорошо .
• Классическая теорема Анри Пуанкаре строит фуксовы группы как гиперболические группы отражений, порожденные отражениями в ребрах геодезического треугольника в гиперболической плоскости для метрики Пуанкаре . Если треугольник имеет углы π / n _i для положительных целых чисел n _i , треугольник является фундаментальной областью и, естественно, двумерным орбифолдом. Соответствующая группа является примером группы гиперболического треугольника . Пуанкаре также дал 3-мерную версию этого результата для клейновых групп : в этом случае клейнова группа Γ порождается гиперболическими отражениями, а орбифолд - это H ³ / Γ.
• Если M - замкнутое двумерное многообразие, новые структуры орбифолдов могут быть определены на M i путем удаления конечного числа непересекающихся замкнутых дисков из M и склеивания копий дисков D / Γ _i, где D - замкнутый единичный диск, а Γ _i - конечный циклическая группа вращений. Это обобщает конструкцию Пуанкаре.

Орбифолд фундаментальная группа

Есть несколько способов определить фундаментальную группу орбифолдов . Более сложные подходы используют орбифолдное покрытие пространства или классификацию пространств по группоидам . Простейший подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие петли, используемое в стандартном определении фундаментальной группы .

Путь орбиобразия это путь в базовом пространстве , снабженном явным кусочно - подъемом пути сегментов к орбифолдным диаграммам и явным элементам группы , идентифицирующих пути в перекрытии диаграмм; если основной путь представляет собой цикл, он называется орбифолдным циклом . Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны посредством умножения на элементы группы в орбифолдных диаграммах. Фундаментальная группа орбифолдов - это группа, образованная гомотопическими классами петель орбифолда.

Если орбифолд возникает как фактор односвязного многообразия M по собственному жесткому действию дискретной группы Γ, фундаментальная группа орбифолда может быть отождествлена ​​с Γ. В целом это расширение Г на П ₁ М .

Орбифолд считается развивающимся или хорошим, если он возникает как фактор в результате действия группы; иначе это называется плохим . Универсальное покрытие орбифолдное может быть построены для орбифолд по прямой аналогии с построением универсального накрывающего пространства топологического пространства, а именно как пространство пар , состоящих из точек орбифолд и гомотопических классов орбифолдных путей , соединяющих их с базисным. Это пространство естественно орбифолд.

Заметим, что если карта орбифолда на стягиваемом открытом подмножестве соответствует группе Γ, то существует естественный локальный гомоморфизм Γ в фундаментальную группу орбифолда.

Фактически следующие условия эквивалентны:

• Орбифолд может развиваться.
• Структура орбифолда на универсальном накрывающем орбифолде тривиальна.
• Все локальные гомоморфизмы инъективны для покрытия стягиваемыми открытыми множествами.

Orbispaces

Для приложений в геометрической теории групп часто бывает удобно иметь несколько более общее понятие орбифолда, принадлежащее Хефлигеру. Orbispace является топологическими пространствами , что орбифолд является для многообразия. Орбифолд - это топологическое обобщение концепции орбифолда. Он определяется заменой модели орбифолдных карт на локально компактное пространство с жестким действием конечной группы, т. Е. Такое , для которого точки с тривиальной изотропией плотны. (Это условие автоматически выполняется точными линейными действиями, потому что точки, зафиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство .) Также полезно рассматривать структуры метрического пространства на орбипространстве, задаваемые инвариантными метриками на диаграммах орбитального пространства. для которых карты склейки сохраняют расстояние. В этом случае каждая карта орбитального пространства обычно должна быть пространством длины с уникальными геодезическими, соединяющими любые две точки.

Пусть X - орбитальное пространство, наделенное структурой метрического пространства, для которого карты являются пространствами геодезической длины. Предыдущие определения и результаты для орбифолдов могут быть обобщены, чтобы дать определения фундаментальной группы орбипространства и универсального накрывающего орбипространства с аналогичными критериями развиваемости. Функции расстояния на диаграммах orbispace могут использоваться для определения длины пути orbispace в универсальном покрывающем orbispace. Если функция расстояния в каждой карте имеет неположительную кривизну , то аргумент о сокращении кривой Биркгофа может использоваться для доказательства того, что любой орбитальный путь с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбитального пространства, следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно,:

• любое неположительно искривленное орбипространство может развиваться (т. е. хорошо ).

Комплексы групп

Каждому орбифолду соответствует дополнительная комбинаторная структура, заданная комплексом групп .

Определение

Комплекс групп ( Y , F , г ) по отношению к абстрактному симплициальному комплексу Y задаются

• конечная группа Γ _σ для каждого симплекса σ группы Y
• инъективный гомоморфизм f _στ  : Γ _τ Γ _σ, если σ τ${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle \ subset}$
• для каждого включения ρ σ τ такой групповой элемент g _ρστ в Γ _ρ , что (Ad g _ρστ ) · f _ρτ = f _ρσ · f _στ (здесь Ad обозначает присоединенное действие сопряжением)${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ subset}$

Кроме того, элементы группы должны удовлетворять условию коцикла

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

для каждой цепочки симплексов (это условие будет пустым, если Y имеет размерность 2 или меньше.) ${\ displaystyle \ pi \ subset \ rho \ subset \ sigma \ subset \ tau.}$

Любой выбор элементов h _στ в Γ _σ дает эквивалентный комплекс групп, определяя

• f ' _στ = (Ad h _στ ) · f _στ
• g ' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ ) · g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Комплекс групп называется простым, если _всюду g _ρστ = 1.

• Несложное индуктивное рассуждение показывает, что любой комплекс групп на симплексе эквивалентен комплексу групп с g _ρστ = 1 всюду.

Часто бывает более удобный и концептуально привлекательный перейти к барицентрическим подразделениям по Y . Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y , так что каждая вершина имеет присоединенную к ней группу. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно одной вершины; а тетраэдры, если таковые имеются, задают коциклические соотношения для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелетный, если он простой.

Пример

Если X - орбифолд (или орбифолд), выберите покрытие открытыми подмножествами среди карт орбифолдов f _i : V _i U _i . Пусть Y - абстрактный симплициальный комплекс, заданный нервом покрытия : его вершины - это множества покрытия, а его n -симплексы соответствуют непустым пересечениям U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Для каждого такого симплекса существует ассоциированная группа Γ _α, и гомоморфизмы f _ij переходят в гомоморфизмы f _στ . Для каждой тройки ρ σ τ, соответствующей пересечениям ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ cap}$${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ subset}$

${\ displaystyle U_ {i} \ supset U_ {i} \ cap U_ {j} \ supset U_ {i} \ cap U_ {j} \ cap U_ {k}}$

есть карты φ _i  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j и φ _ijk  : V _ijk U _i U _j U _k и склейки отображений ψ: V _ij V _i , ψ ': V _ijk V _ij и ψ ": V _ijk V _i . ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Существует единственный переходный элемент g _ρστ в Γ _i такой, что g _ρστ · ψ "= ψ · ψ ′. Соотношения, которым удовлетворяют переходные элементы орбифолда, влекут те, которые требуются для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп можно канонически связать с нервом открытого покрытия орбифолдными (или орбипространственными) картами. На языке некоммутативной теории пучков и гербов комплекс групп в этом случае возникает как пучок групп, связанных с покрытием U _i ; данные g _ρστ являются 2-коциклом в некоммутативных когомологиях пучков, а данные h _στ дают 2-кограничное возмущение.

Группа кромочного пути

Группа реберных путей комплекса групп может быть определена как естественное обобщение группы реберных путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Y возьмем образующие e _ij, соответствующие ребрам от i до j, где i j , так что существует инъекция ψ _ij  : Γ _i Γ _j . Пусть Γ - группа, порожденная e _ij и Γ _k с соотношениями ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

e _ij ⁻¹ · g · e _ij = ψ _ij ( g )

для g в Γ _i и

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

если я j k . ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Для фиксированной вершины i ₀ группа реберных путей Γ ( i ₀ ) определяется как подгруппа в Γ, порожденная всеми продуктами

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

где i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ - ребро-путь, g _k лежит в Γ _{i k} и e _ji = e _ij ^−1, если i j . ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Развиваемые комплексы

Симплициальное собственное действие дискретной группы Γ на симплициальном комплексе X с конечным фактором называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий (см. Bredon 1972):

• X допускает конечный подкомплекс как фундаментальную область ;
• фактор Y = X / Γ имеет естественную симплициальную структуру;
• фактор-симплициальная структура на орбитах-представителях вершин согласована;
• если ( v ₀ , ..., v _k ) и ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) - симплексы, то g · v _i = g _i · v _i для некоторого g из Γ.

Фундаментальная область и фактор Y = X / Γ в этом случае естественно идентифицировать как симплициальные комплексы, задаваемые стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y называется развивающимся, если он возникает таким образом.

• Комплекс групп является развивающимся тогда и только тогда, когда гомоморфизмы Γ _σ в группу реберных путей инъективны.
• Комплекс групп является развивающимся тогда и только тогда, когда для каждого симплекса σ существует инъективный гомоморфизм θ _σ из Γ _σ в фиксированную дискретную группу Γ такой, что θ _τ · f _στ = θ _σ . В этом случае симплициальный комплекс X канонически определен: он имеет k -симплексы (σ, xΓ _σ ), где σ - k -симплекс комплекса Y, а x пробегает Γ / Γ _σ . Непротиворечивость можно проверить, используя тот факт, что ограничение комплекса групп на симплекс эквивалентно ограничению с тривиальным коциклом g _ρστ .

Действие группы Γ на барицентрическом подразделении X 'множества X всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

• если σ и g · σ являются субсимплексами некоторого симплекса τ, они равны, т. е. σ = g · σ

Действительно, симплексы в X 'соответствуют цепочкам симплексов в X , так что субсимплексы, заданные субцепями симплексов, однозначно определяются размерами симплексов в субцепи. Когда действие удовлетворяет этому условию, то g обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; особенно

• действие на втором барицентрическом подразделении X "регулярно;
• Γ естественно изоморфна группе реберных путей, определенной с помощью реберных путей и стабилизаторов вершин для барицентрического подразделения фундаментальной области в X ".

Фактически нет необходимости переходить к третьему барицентрическому подразделению: как отмечает Хефлигер, используя язык теории категорий , в этом случае 3-скелет фундаментальной области X "уже несет все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников. - определить группу ребер-путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Фундаментальная область X "имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y 'комплекса групп Y , а именно:

• конечный 2-мерный симплициальный комплекс Z ;
• ориентация для всех ребер i j ;${\ displaystyle \ rightarrow}$
• если i j и j k ребра, то i k ребро и ( i , j , k ) треугольник;${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$
• конечные группы, прикрепленные к вершинам, включения к ребрам и переходные элементы, описывающие совместимость, к треугольникам.

Затем можно определить группу ребер-траекторий. Подобная структура наследуется барицентрическим подразделения Z 'и его края пути группа изоморфна , что из Z .

Орбиэдра

Если счетная дискретная группа действует регулярным симплициальным собственным действием на симплициальном комплексе , фактор может быть задан не только структурой комплекса групп, но также структурой орбитального пространства. Это приводит к более общему определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Пусть X - конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением X '. Orbihedron структура состоит из:

• для каждой вершины i из X 'симплициальный комплекс L _i ', наделенный жестким симплициальным действием конечной группы Γ _i .
• симплициальное отображение φ _i пространства L _i 'на зацепление L _i элемента i в X ', отождествляющее фактор L _i '/ Γ _i с L _i .

Это действие Γ _i на L _i 'продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе C _i над L _i ' (симплициальное соединение i и L _i '), фиксируя центр i конуса. Отображение φ _i продолжается до симплициального отображения C _i на звезду St ( i ) i , переносящего центр на i ; таким образом, φ _i отождествляет C _i / Γ _i , частное звезды i в C _i , с St ( i ) и дает карту орбиэдра в i .

• для каждого направленного ребра я J из X », инъективного гомоморфизм ф _Ij Г _I в Г _J .${\ displaystyle \ rightarrow}$
• для каждого направленного ребра я J , A Γ _я эквивариантная симплициальная склейки ψ _IJ из C _я в C _J .${\ displaystyle \ rightarrow}$
• карты склейки согласованы с картами, т. е. φ _j · ψ _ij = φ _i .
• отображения склейки единственны с точностью до композиции с элементами группы, т. е. любое другое возможное отображение склейки из V _i в V _j имеет вид g · ψ _ij для единственного g в Γ _j .

Если i j k , то существует единственный переходный элемент g _ijk в Γ _k такой, что ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

а также коциклическое отношение

ψ _км ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Основные свойства

• Группа Теоретико данных в orbihedron дает комплекс групп на X , потому что вершины I из барицентрического подразделения X соответствует 'к симплексам в X .
• Каждый комплекс групп на X связан с уникальной структурой , по существу orbihedron на X . Этот ключевой факт следует из того, что звезда и линк вершины i из X ', соответствующий симплексу σ множества X , имеют естественные разложения: звезда изоморфна абстрактному симплициальному комплексу, заданному соединением вершины σ и барицентрического подразделения σ 'от σ; и линк изоморфен соединению линка σ в X и линка барицентра σ в σ '. Ограничивая комплекс групп связью σ в X , все группы Γ _τ приходят с инъективными гомоморфизмами в Γ _σ . Так как звено I в X 'канонически покрывается симплициального комплекса , на котором Г _сг акты, это определяет структуру orbihedron на X .
• Фундаментальная группа орбиэдра (тавтологически) просто группа ребер-путей ассоциированного комплекса групп.
• Каждый орбиэдр также естественно является орбитальным пространством: действительно, в геометрической реализации симплициального комплекса, орбипространственные карты могут быть определены с использованием внутренней части звезд.
• Фундаментальная группа орбиэдра может быть естественным образом отождествлена ​​с фундаментальной группой орбипространства связанного орбипространства. Это следует пути применения симплициального приближение теоремы к дольке пути orbispace , лежащему в orbispace графике: это простой вариант классического доказательства того, что фундаментальная группа из многогранника может быть идентифицирована с краем путем группой .
• Орбипространство, связанное с орбиэдром, имеет каноническую метрическую структуру , происходящую локально от метрики длины в стандартной геометрической реализации в евклидовом пространстве, с вершинами, отображенными в ортонормированный базис. Также используются другие метрические структуры, включая метрики длины, полученные путем реализации симплексов в гиперболическом пространстве , причем симплексы идентифицируются изометрически по общим границам.
• Орбипространство, связанное с орбиэдром, неположительно искривлено тогда и только тогда, когда звено в каждой диаграмме орбиэдра имеет обхват больше или равный 6, т. Е. Любой замкнутый контур в звене имеет длину не менее 6. Это условие, хорошо известное из теория пространств Адамара , зависит только от основного комплекса групп.
• Когда универсальный накрывающий орбиэдр неположительно искривлен, фундаментальная группа бесконечна и порождается изоморфными копиями групп изотропии. Это следует из соответствующего результата для орбитальных пространств.

Треугольники групп

Исторически одним из наиболее важных приложений орбифолдов в геометрической теории групп были треугольники групп . Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждаемый в лекциях Серра о деревьях, где объединенные свободные произведения изучаются в терминах действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа действует просто транзитивно на треугольниках в аффинном здании Брюа-Титса для SL ₃ ( Q _p ); В 1979 году Мамфорд открыл первый пример для p = 2 (см. ниже) как шаг к созданию алгебраической поверхности, не изоморфной проективному пространству , но имеющей те же числа Бетти . Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, в то время как более общий случай комплексов групп, описанный выше, независимо был развит Хефлигером. Геометрический метод, лежащий в основе анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны, принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют неположительно искривленным 2-мерным симплициальным комплексам с регулярным действием группы, транзитивным на треугольниках .

Треугольник групп является простым комплексом групп , состоящих из треугольника с вершинами , B , C . Есть группы

• Γ _A , Γ _B , Γ _C в каждой вершине
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB для каждого ребра
• Γ _ABC для самого треугольника.

Существует Инъективный гомоморфизмы Г _ABC во все другие группы и ребра группы Γ _XY в Г _X и Г _Y . Все три способа отображения Γ _ABC в группу вершин согласуются. (Часто Γ _ABC - тривиальная группа.) Евклидова метрическая структура на соответствующем орбипространстве неположительно искривляется тогда и только тогда, когда линк каждой из вершин в карте орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Это обхват в каждой вершине всегда четно и, как заметил Столлингсом, может быть описана в вершине А , скажем, как длина наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в Г _А из объединенным свободного произведения над Г _ABC групп ребер Γ _AB и Γ _AC :

${\ displaystyle \ Gamma _ {AB} \ star _ {\, \ Gamma _ {ABC}} \ Gamma _ {AC} \ rightarrow \ Gamma _ {A}.}$

Результат с использованием евклидовой метрической структуры не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах A , B и C были определены Столлингсом как 2π, деленные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π / 3. Однако, если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно отождествить треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболической плоскости с метрикой Пуанкаре (или евклидовой плоскостью, если выполняется равенство). Классический результат гиперболической геометрии состоит в том, что гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре, как и в известном евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают неположительно искривленную метрическую структуру на соответствующем орбитальном пространстве. Таким образом, если α + β + γ≤π,

• орбипространство треугольника групп разворачивается;
• соответствующая группа ребер-путей, которую также можно описать как копредел треугольника групп, бесконечна;
• гомоморфизмы групп вершин в группу ребер-путей являются инъекциями.

Пример Мамфорда

Пусть α = задается биномиальным разложением (1–8) ^1/2 в Q ₂ и положим K = Q ( α ) Q ₂ . Позволять ${\ displaystyle {\ sqrt {-7}}}$${\ displaystyle \ subset}$

ζ = ехр 2 π i / 7

λ = ( α - 1) / 2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Пусть E = Q ( ζ ), трехмерное векторное пространство над K с базисом 1, ζ и ζ ² . Определим K -линейные операторы на E следующим образом:

• σ является генератором группы Галуа из Е над K , элемент порядка 3 дается а (ζ) = ζ ²
• τ - оператор умножения на ζ на E , элемент порядка 7
• ρ - оператор, задаваемый формулами ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ и ρ (1) = μ · ζ ² , так что ρ ³ - это скалярное умножение на  μ .

Элементы ρ , σ и τ порождают дискретную подгруппу в GL ₃ ( K ), которая правильно действует на аффинную конструкцию Брюа – Титса, соответствующую SL ₃ ( Q ₂ ). Эта группа действует транзитивно на всех вершинах, ребрах и треугольниках в здании. Позволять

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

потом

• σ ₁ , σ ₂ и σ ₃ порождают подгруппу Γ в SL ₃ ( K ).
• Γ - наименьшая подгруппа, порожденная σ и τ , инвариантная относительно сопряжения посредством ρ .
• Γ действует просто транзитивно на треугольниках в здании.
• Существует треугольник Δ такой, что стабилизаторами его ребер являются подгруппы порядка 3, порожденные σ _i .
• Стабилизатором вершины Δ является группа Фробениуса порядка 21, порожденная двумя элементами порядка 3, стабилизирующими ребра, пересекающиеся в вершине.
• Стабилизатор Δ тривиален.

Элементы σ и τ порождают стабилизатор вершины. Звено этой вершины могут быть идентифицированы с помощью сферического здания SL ₃ ( F ₂ ) и стабилизатор может быть идентифицирован с коллинеаций группой в плоскости Фано , порожденного 3-кратной симметрии σ фиксации точки и циклической перестановки т из все 7 точек, что στ = τ ² σ . Определение F ₈ * с плоскостью Фано, σ может быть выбрано ограничение автоморфизма Фробениуса сг ( х ) = х ^{2 2} из F ₈ и т быть умножение на любой элемент не в простом поле F ₂ , т.е. заказ 7 образующую циклической мультипликативной группы из F ₈ . Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге в плоскости Фано, то есть на прямых с отмеченными точками. Таким образом, формулы для σ и τ на E «поднимают» формулы на F ₈ .

Мамфорд также получает действие, просто транзитивное на вершинах здания, переходя к подгруппе в Γ ₁ = < ρ , σ , τ , - I >. Группа Γ ₁ сохраняет Q ( α ) -значную эрмитову форму

f ( x , y ) = ху * + σ ( ху *) + σ ² ( ху *)

на Q (ζ) и может быть отождествлен с U ₃ (f) GL ₃ ( S ), где S = Z [ α , ½]. Поскольку S / ( α ) = F ₇ , существует гомоморфизм группы Γ ₁ в GL ₃ ( F ₇ ). Это действие оставляет неизменным двумерное подпространство в F ₇ ³ и, следовательно, порождает гомоморфизм Ψ группы Γ ₁ в SL ₂ ( F ₇ ), группу порядка 16 · 3 · 7. С другой стороны, стабилизатор вершины является подгруппой порядка 21 и Ψ инъективен на этой подгруппе. Таким образом , если конгруэнцподгруппа Γ ₀ определяется как прообраз при Ф из 2- Силова подгруппы из SL ₂ ( F ₇ ), действие Г ₀ на вершинах должны быть просто транзитивно. ${\ displaystyle \ cap}$

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп могут быть построены с помощью вариаций вышеприведенного примера.

Картрайт и др. Рассмотрим действия на зданиях, которые просто транзитивны на вершинах . Каждое такое действие производит биекцию (или модифицированную двойственность) между точками x и прямыми x * во флаговом комплексе конечной проективной плоскости и набором ориентированных треугольников точек ( x , y , z ), инвариантных относительно циклической перестановки, такой как что x лежит на z *, y лежит на x * и z лежит на y *, и любые две точки однозначно определяют третью. Созданные группы имеют образующие x , помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. Обычно эта конструкция не соответствует действию на классическое аффинное построение.

В более общем смысле, как показано Баллманном и Брином, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивно действуют на вершинах неположительно искривленного 2-мерного симплициального комплекса, при условии, что связь каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из из:

• порождающий набор S, содержащий инверсии, но не тождество;
• набор отношений g h k = 1, инвариантных относительно циклической перестановки.

Элементы g в S маркируют вершины g · v в линке фиксированной вершины v ; и отношения соответствуют ребрам ( g ⁻¹ · v , h · v ) в этом звене. Граф с вершинами S и ребрами ( g , h ) для g ⁻¹ h в S должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс можно восстановить, используя комплексы групп и второе барицентрическое подразделение.

Дальнейшие примеры неположительно искривленных двумерных комплексов групп были построены Святковским на основе действий, просто транзитивных на ориентированных ребрах и индуцирующих 3-кратную симметрию на каждом треугольнике; и в этом случае комплекс групп получается из регулярного действия на втором барицентрическом подразделении. Простейший пример, обнаруженный ранее с Баллманном, начинается с конечной группы H с симметричным набором образующих S , не содержащим единицы, такой, что соответствующий граф Кэли имеет обхват не менее 6. Ассоциированная группа порождается H и инволюцией. τ при условии (τg) ³ = 1 для каждого г в S .

Фактически, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро ( v , w ), существует инволюция τ, меняющая местами v и w . Связь v состоит из вершин g · w для g в симметричном подмножестве S в H = Γ _v , порождающем H, если линк связан. Из предположения о треугольниках следует, что

τ · ( g · w ) = g ⁻¹ · w

для г в S . Таким образом, если σ = τ g и u = g ⁻¹ · w , то

σ ( v ) = w , σ ( w ) = u , σ ( u ) = w .

По простой транзитивности на треугольнике ( v , w , u ) следует, что σ ³ = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп , состоящим из одиночек или пара барицентрический подразделить треугольники , соединенные вдоль их больших сторон: эти пары индексируются факторпространство S / \ , полученным путем идентификации инверсий в S . Одиночные или «спаренные» треугольники, в свою очередь, соединяются по одному общему «позвоночнику». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах позвоночника со стабилизаторами H и <τ> и остальных вершин больших треугольников со стабилизатором, порожденным подходящим σ. Три меньших треугольника в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если в качестве H взять группу диэдра D ₇ порядка 14, порожденную инволюцией a и элементом b порядка 7 такими, что

ab = b ⁻¹ a ,

тогда H порождается тремя инволюциями a , ab и ab ⁵ . Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, так же как и двудольным графом Хивуда , то есть точно таким же, как в аффинном построении для SL ₃ ( Q ₂ ). Эта структура связи подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является евклидовым зданием . В настоящее время, однако, кажется неизвестным, может ли какой-либо из этих типов действий действительно быть реализован на классическом аффинном здании: группа Мамфорда Γ ₁ (по модулю скаляров) просто транзитивна на ребрах, а не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

• Граничная точка
• Эллиптическая точка или точка гирационной порядка п , такие , как происхождение R ² quotiented из циклической группы порядка п вращений.
• Угол рефлектора порядка п : происхождение R ² quotiented путем диэдра порядка 2 п .

Компактный двумерный орбифолд имеет эйлерову характеристику, заданную формулой ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi = \ chi (X_ {0}) - \ sum _ {i} (1-1 / n_ {i}) / 2- \ sum _ {i} (1-1 / m_ {i}) }$,

где - эйлерова характеристика лежащего в основе топологического многообразия , - порядки угловых отражателей, - порядки эллиптических точек. ${\ Displaystyle \ чи (X_ {0})}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle m_ {i}}$

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидова структура, если она равна 0, и если его эйлерова характеристика положительна, она либо плохая, либо имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим если у него нет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные двумерные связные орбифолды, не являющиеся гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов являются факторами плоскости по 17 группам обоев .

Тип	Эйлерова характеристика	Основное 2-многообразие	Порядки эллиптических точек	Заказы угловых отражателей
Плохой	1 + 1 / п	Сфера	п > 1
Плохой	1 / м + 1 / н	Сфера	п > т > 1
Плохой	1/2 + 1/2 п	Диск		п > 1
Плохой	1/2 м + 1/2 п	Диск		п > т > 1
Эллиптический	2	Сфера
Эллиптический	2 / п	Сфера	п , п
Эллиптический	1 / п	Сфера	2, 2, п
Эллиптический	1/6	Сфера	2, 3, 3
Эллиптический	1/12	Сфера	2, 3, 4
Эллиптический	1/30	Сфера	2, 3, 5
Эллиптический	1	Диск
Эллиптический	1 / п	Диск		п , п
Эллиптический	1/2 п	Диск		2, 2, п
Эллиптический	1/12	Диск		2, 3, 3
Эллиптический	1/24	Диск		2, 3, 4
Эллиптический	1/60	Диск		2, 3, 5
Эллиптический	1 / п	Диск	п
Эллиптический	1/2 п	Диск	2	п
Эллиптический	1/12	Диск	3	2
Эллиптический	1	Проективная плоскость
Эллиптический	1 / п	Проективная плоскость	п
Параболический	0	Сфера	2, 3, 6
Параболический	0	Сфера	2, 4, 4
Параболический	0	Сфера	3, 3, 3
Параболический	0	Сфера	2, 2, 2, 2
Параболический	0	Диск		2, 3, 6
Параболический	0	Диск		2, 4, 4
Параболический	0	Диск		3, 3, 3
Параболический	0	Диск		2, 2, 2, 2
Параболический	0	Диск	2	2, 2
Параболический	0	Диск	3	3
Параболический	0	Диск	4	2
Параболический	0	Диск	2, 2
Параболический	0	Проективная плоскость	2, 2
Параболический	0	Тор
Параболический	0	Бутылка Клейна
Параболический	0	Кольцо
Параболический	0	Группа Мебиуса

3-х мерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется малым, если оно замкнуто, неприводимо и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Пусть M - небольшое трехмерное многообразие. Пусть φ является нетривиальным периодическим сохраняющей ориентацией диффеоморфизма М . Тогда M допускает φ-инвариантную гиперболическую или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теоремы Терстона об орбифолде , анонсированной без доказательства в 1981 году; это составляет часть его гипотезы о геометризации трехмерных многообразий . В частности, это означает, что если X - компактное, связное, ориентируемое, неприводимое, атороидальное 3-орбифолд с непустым сингулярным множеством, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Boileau, Leeb & Porti в 2005 году.

Приложения

Орбифолды в теории струн

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько новое значение. Для математиков орбифолд - это обобщение понятия многообразия , допускающее наличие точек, окрестность которых диффеоморфна фактору R ⁿ по конечной группе, т. Е. R ⁿ / Γ . В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который может быть глобально записан как пространство орбит M / G, где M - многообразие (или теория), а G - группа его изометрий (или симметрий) - не обязательно все они. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

Квантовая теория поля , определенная на орбифолд становится сингулярной вблизи неподвижных точек G . Однако теория струн требует от нас , чтобы добавить новые части замкнутой струны гильбертова пространства , а именно - скрученные секторы , где поля , определенные на замкнутых струн являются периодическими с точностью до действия от G . Таким образом, орбифолдинг - это общая процедура теории струн, позволяющая вывести новую теорию струн из старой теории струн, в которой элементы G были отождествлены с тождеством. Такая процедура уменьшает количество состояний, поскольку состояния должны быть инвариантными относительно G , но также увеличивает количество состояний из-за дополнительных скрученных секторов. В результате обычно получается совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны, распространяющиеся на орбифолдах, описываются при низких энергиях калибровочными теориями, определяемыми диаграммами колчанов . Открытые струны, прикрепленные к этим D-бранам , не имеют скрученного сектора, и поэтому количество состояний открытой струны уменьшается с помощью процедуры орбифолдинга.

Более конкретно, когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, тогда, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых цепочек, намотанных вокруг компактного размера, которые называются состояниями намотки .

Когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, они обычно имеют конические особенности , потому что R ⁿ / Z _k имеет такую ​​особенность в неподвижной точке Z _k . В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степеней свободы, которые расположены в определенной точке пространства-времени. В случае орбифолда эти степени свободы представляют собой скрученные состояния, которые представляют собой струны, «застрявшие» в неподвижных точках. Когда поля, связанные с этими скрученными состояниями, приобретают ненулевое вакуумное математическое ожидание , сингулярность деформируется, то есть метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером результирующей геометрии является пространство- время Егучи-Хансона .

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек, эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, представляет собой суперсимметричную теорию поля, пространство вакуума которой имеет особую точку, где есть дополнительные безмассовые степени свобода существует. Поля, связанные с закрученным сектором замкнутой струны, соединяются с открытыми струнами таким образом, чтобы добавить член Файе-Илиопулоса к лагранжиану суперсимметричной теории поля, так что, когда такое поле приобретает ненулевое значение математического ожидания вакуума , -Член Илиопулоса отличен от нуля и тем самым деформирует теорию (т.е. изменяет ее) так, что сингулярность больше не существует [1] , [2] .

Многообразия Калаби – Яу.

В теории суперструн построение реалистичных феноменологических моделей требует уменьшения размеров, поскольку струны естественным образом распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемая размерность пространства-времени Вселенной равна 4. Формальные ограничения теорий, тем не менее, накладывают ограничения на компактифицированное пространство. в котором живут дополнительные «скрытые» переменные: при поиске реалистичных 4-мерных моделей с суперсимметрией вспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным многообразием Калаби – Яу .

Существует большое количество возможных многообразий Калаби – Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина «ландшафт» в современной литературе по теоретической физике для описания сбивающего с толку выбора. Общее изучение многообразий Калаби – Яу является математически сложным, и долгое время было трудно построить явные примеры. Таким образом, орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они предоставляют вырожденные примеры многообразий Калаби – Яу из-за их особых точек , но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются суперсимметричными: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби – Яу. Очень часто можно связать непрерывное семейство неособых многообразий Калаби – Яу с сингулярным суперсимметричным орбифолдом. В четырех измерениях это можно проиллюстрировать с помощью сложных поверхностей K3 :

• Каждая поверхность K3 допускает 16 циклов размерности 2, топологически эквивалентных обычным 2-сферам. Стремясь к нулю поверхности этих сфер, поверхность K3 имеет 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространства модулей K3-поверхностей и соответствует орбифолду, полученному факторизацией тора по симметрии обращения.${\ Displaystyle Т ^ {4} / \ mathbb {Z} _ {2} \,}$

Изучение многообразий Калаби – Яу в теории струн и двойственности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальной симметрии в 1988 г. На роль орбифолдов впервые указали Диксон, Харви, Вафа и Виттен примерно в то же время.

Теория музыки

Помимо их многообразия и различных приложений в математике и физике, орбифолды применялись в теории музыки, по крайней мере, еще в 1985 году в работах Герино Маццолы, а затем Дмитрия Тимочко с соавторами ( Tymoczko 2006 ) и ( Callender & Tymoczko 2008 ) . Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале Science . Маццола и Тимочко участвовали в дебатах по поводу своих теорий, которые были задокументированы в серии комментариев, доступных на их соответствующих веб-сайтах. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFCallenderTymoczko2008 ( справка )

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из n нот, которые не обязательно различны, как точки в орбифолде - пространстве n неупорядоченных точек (не обязательно различных) в круге, реализованном как фактор n - тора (пространство n упорядоченные точки на окружности) симметричной группой (соответствующая переходу от упорядоченного множества к неупорядоченному множеству). ${\ displaystyle T ^ {n} / S_ {n}}$ ${\ Displaystyle Т ^ {п}}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$

Музыкально это объясняется следующим образом:

• Музыкальные тона зависят от частоты (высоты тона) своей основной гармоники и, таким образом, параметризуются положительными действительными числами R ⁺ .
• Музыкальные тона, которые различаются на октаву (удвоение частоты), считаются одним и тем же тоном - это соответствует логарифму по основанию 2 частот (давая действительные числа, as ), а затем делению на целые числа (что соответствует различию на некоторое число). октав), получая круг (as ).${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ log _ {2} \ mathbf {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle S ^ {1} = \ mathbf {R} / \ mathbf {Z}}$
• Аккорды соответствуют нескольким тонам безотносительно порядка - таким образом, t нот (с порядком) соответствуют t упорядоченным точкам на круге, или, что эквивалентно, одной точке на t- торе, а порядок пропуска соответствует взятию частного с получением орбифолда.${\ displaystyle T ^ {t}: = S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1},}$${\ displaystyle S_ {t},}$

Для диад (двух тонов) это дает замкнутую ленту Мёбиуса ; для триад (трех тонов) это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествленными с поворотом на 120 ° (поворот на), что эквивалентно полному тору в 3 измерениях с крестом -сечение равностороннего треугольника и такой поворот.

Результирующий орбифолд естественным образом стратифицируется повторяющимися тонами (собственно, целочисленными разделами t ) - открытое множество состоит из различных тонов (разбиение ), в то время как существует одномерный особый набор, состоящий из всех одинаковых тонов (разбиение ), топологически представляющий собой круг, и различные промежуточные разбиения. Есть также заметный круг, который проходит через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих точек. В случае триад три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам, а третий - разному (разделение ), а три ребра призмы соответствуют одномерному сингулярному набору. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого набора и появляются только потому, что орбифолд был разрезан - если рассматривать как треугольный тор с изгибом, эти артефакты исчезают. ${\ Displaystyle т = 1 + 1 + \ cdots +1}$${\ Displaystyle т = т}$${\ Displaystyle 3 = 2 + 1}$

Тимочко утверждает, что аккорды, расположенные близко к центру (с одинаковым или почти одинаковым расстоянием между тонами), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация помогает в анализе. В центре расположены 4 аккорда (с равным интервалом при одинаковой темперации - интервал 4/4/4 между тонами), соответствующих расширенным трезвучиям (воспринимаемым как музыкальные наборы ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, и EG♯C (затем они циклически повторяются: FAC♯ = C♯FA), причем 12 мажорных аккордов и 12 минорных аккордов находятся в точках рядом, но не в центре - почти равномерно, но не совсем. Основные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или, что эквивалентно, 5/4/3), а второстепенные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Затем ключевые изменения соответствуют перемещению между этими точками в орбифолде, с более плавными изменениями, вызванными перемещением между соседними точками.

Смотрите также

• Разветвленное покрытие
• Эйлерова характеристика орбифолда
• Геометрический фактор
• Формула Римана – Роха Кавасаки
• Обозначение орбифолда
• Ориентифолд
• Кольцо модульных форм
• Стек (математика)

Примечания

использованная литература

• Серр, Жан-Пьер (1970). Cours d'arithmétique . Presse Universitaire de France.
• Бредон, Глен (1972). Введение в компактные группы преобразований . Академическая пресса . ISBN 0-12-128850-1.
• Кавакубо, Кацуо (1991). Теория групп преобразований . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853212-1.
• Сатаке, Итиро (1956). «Об одном обобщении понятия многообразия» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 42 (6): 359–363. Полномочный код : 1956PNAS ... 42..359S . DOI : 10.1073 / pnas.42.6.359 . PMC  528292 . PMID  16578464 .
• Терстон, Уильям (1978–1981). Геометрия и топология трехмерных многообразий . Конспект лекций Принстонского университета. Глава 13.CS1 maint: location ( ссылка )
• Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–381. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0 .
• Скотт, Питер , Геометрия трехмерных многообразий , Бюлл. Лондонская математика. Soc. 15 (1983), 401–487. ( Бумага и исправления .)
• Буало, Мишель. «Геометризация трехмерных многообразий с симметриями» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 30 сентября 2011 года . Проверено 6 декабря 2007 года .
• Мишель Буало, Сильвен Майо и Жоан Порти, Трехмерные орбифолды и их геометрические структуры . Панорамы и синтез 15 . Société Mathématique de France (2003). ISBN  2-85629-152-X .
• Буало, Мишель; Либ, Бернхард; Порти, Джоан (2005). «Геометризация трехмерных орбифолдов». Анналы математики . 162 : 195–290. arXiv : математика / 0010185 . DOI : 10.4007 / анналы.2005.162.195 . S2CID  119624092 .
• Дэрил Купер, Крейг Ходжсон и Стивен Керкхофф, Трехмерные орбифолды и конические многообразия . Мемуары MSJ, 5 . Математическое общество Японии, Токио (2000). ISBN  4-931469-05-1 .
• Мэтью Брин, Конспекты лекций о расслоенных пространствах Зейферта.
• Анри Пуанкаре, Статьи о фуксовых функциях , перевод Джона Стилвелла , Springer (1985). ISBN  3-540-96215-8 .
• Пьер де ла Харп, Приглашение в группу Кокстера , стр. 193–253 в «Теории групп с геометрической точки зрения - Триест 1990», World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Алехандро Адем, Иоганн Лейда и Юнбин Руан, «Орбифолды и струнная топология», Cambridge Tracts in Mathematics Vol. 171, Cambridge University Press (2007).
• Вернер Баллманн, Особые пространства неположительной кривизны , стр. 189–201 в "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• Андре Хефлигер, Orbi-espaces , страницы 203–213 в "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• Джон Столлингс, Треугольники групп , стр. 491–503 в «Теории групп с геометрической точки зрения - Триест 1990», World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Андре Хефлигер, Комплексы групп и орбигедров , страницы 504–540 в «Теории групп с геометрической точки зрения - Триест 1990», World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Мартин Бридсон и Андре Хефлигер, Метрические пространства неположительной кривизны , Grundlehren der math. Wissenschaften 319 (1999), Springer. ISBN  3-540-64324-9 .
• Филипп Ди Франческо, Пьер Матье и Давид Сенешаль, Конформная теория поля . Тексты для выпускников по современной физике. Спрингер-Верлаг (1997). ISBN  0-387-94785-X .
• Жан-Пьер Серр, Trees , Springer (2003) (английский перевод «arbres, amalgames, SL ₂ », 3-е издание, astérisque 46 (1983)).
• Дэвид Мамфорд (1979) Алгебраическая поверхность с K обильным, (K ² ) = 9, p _g = q = 0 American Journal of Mathematics 101, 233–244.
• Келер, Питер; Мейкснер, Томас; Вестер, Майкл (1985). «2-адическое аффинное здание типа и его конечные проекции»${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 38 (2): 203–209. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (85) 90070-6 .
• Картрайт, Дональд; Мантеро, Анна Мария; Стегер, Тим; Заппа, Анна (1993). «Группы, действующие просто транзитивно на вершинах здания типа I»${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ . Geometriae Dedicata . 47 : 143–166. DOI : 10.1007 / BF01266617 .
• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1994). «Полигональные комплексы и комбинаторная теория групп» . Geometriae Dedicata . 50 (2): 165–191. DOI : 10.1007 / BF01265309 . S2CID  119617693 .
• Свёнтковский, Яцек (2001). «Класс групп автоморфизмов многоугольных комплексов». Ежеквартальный математический журнал . 52 (2): 231–247. DOI : 10.1093 / qjmath / 52.2.231 .
• Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Наука . 313 (5783): 72–74. Bibcode : 2006Sci ... 313 ... 72T . CiteSeerX  10.1.1.215.7449 . DOI : 10.1126 / science.1126287 . PMID  16825563 . S2CID  2877171 .
• Каллендер, Клифтон; Куинн, Ян; Тимочко, Дмитрий (18 апреля 2008 г.). «Обобщенные голосовые ведущие пространства» (PDF) . Наука . 320 (5874): 346–348. Bibcode : 2008Sci ... 320..346C . DOI : 10.1126 / science.1153021 . PMID  18420928 . S2CID  35229232 .