Ортогональность - Orthogonality

Отрезки AB и CD ортогональны друг другу.

В математике , ортогональность является обобщением понятия перпендикулярности к линейной алгебре из билинейных форм . Два элемента U и V из векторного пространства с билинейной формой B является ортогональным , когда B ( U , V ) = 0 . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств в качестве базиса используются семейства ортогональных функций .

В более широком смысле, ортогональность также используется для обозначения разделения определенных функций системы. Этот термин также имеет специализированные значения в других областях, включая искусство и химию.

Этимология

Слово происходит от греческого ὀρθός ( ортос ), что означает «прямой», и γωνία ( гония ), что означает «угол». Древнегреческий ὀρθογώνιον orthogōnion и классическая латынь orthogonium первоначально обозначало прямоугольник . Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом.

Математика и физика

Ортогональность и вращение систем координат по сравнению между левым: евклидовым пространством на круговой угол ϕ , справа: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол ϕ (красные линии с меткой c обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален сам себе, если он лежит на этом линия).

Определения

В геометрии , два евклидовы векторов являются ортогональными , если они перпендикулярны , то есть , они образуют прямой угол .
Два вектора , x и y , в пространстве внутреннего продукта , V , ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю. Это отношение обозначено . ${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$ ${\ Displaystyle х \ перп у}$
Ортогональная матрица представляет собой матрицу, столбец векторов ортонормированный друг к другу.
Два векторного подпространства , и Б , из внутреннего пространства продукта V , называется ортогональными подпространства , если каждый вектор в A ортогонален каждый вектор в B . Наибольшее подпространство V , ортогональное данному подпространству, является его ортогональным дополнением .
Учитывая модуль M и двойственное M ^* , элемент т 'из М ^* и элемент т из М являются ортогональными , если их естественное спаривание равен нулю, т.е. ⟨ м ', м ⟩ = 0 . Два множества S '⊆ M ^* и S ⊆ M являются ортогональными , если каждый элемент S ' ортогонален каждому элементу S .
Система перезаписи термов называется ортогональной, если она леволинейна и не является неоднозначной. Системы переписывания ортогонального термина являются сплошностью .

Набор векторов во внутреннем пространстве продукта называется попарно ортогональным, если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным .

В некоторых случаях слово « нормальный» используется для обозначения ортогональности , особенно в геометрическом смысле, как в случае нормали к поверхности . Например, ось y перпендикулярна кривой y = x ² в начале координат. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональный плюс нормальный), если он является ортогональным набором единичных векторов . В результате часто избегают использования термина " нормальный" для обозначения "ортогонального". Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятности и статистике .

Векторное пространство с билинейной формой обобщает случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x ′ и t ′ гиперболо-ортогональны для любого заданного ϕ .

Евклидовы векторные пространства

В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть они составляют угол 90 ° (π / 2 радиан ) или один из векторов равен нулю. Следовательно, ортогональность векторов - это расширение концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.

Ортогональное дополнение подпространства является пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением линии, проходящей через начало координат, является плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярную к нему, и наоборот.

Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встречаться под любым углом.

В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение к прямой - это гиперплоскость и наоборот, а дополнение к плоскости - это плоскость.

Ортогональные функции

При использовании интегрального исчисления обычно используется следующее для определения скалярного произведения двух функций f и g относительно неотрицательной весовой функции w на интервале [ a , b ] :

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) w (x) \, dx.}

В простых случаях w ( x ) = 1 .

Будем говорить , что функции F и г являются ортогональными , если их скалярное произведение (эквивалентно, значение этого интеграла) равна нулю:

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = 0.}

Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.

Запишем норму по отношению к этому внутреннему продукту как

{\ displaystyle \ | f \ | _ {w} = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {w}}}}

Члены набора функций { F _I : я = 1, 2, 3, ...} являются ортогональными по отношению к ш на интервале [ , Ь ] , если

{\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = 0 \ quad i \ neq j.}

Члены такого набора функций ортонормированы относительно w на интервале [ a , b ], если

{\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = \ delta _ {i, j},}

куда

{\ displaystyle \ delta _ {i, j} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, && i = j \\ 0, && i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

- дельта Кронекера . Другими словами, каждая пара из них (за исключением спаривания функции с самой собой) ортогональна, и норма каждого равна 1. См., В частности, ортогональные многочлены .

Примеры

Векторы (1, 3, 2) ^T , (3, −1, 0) ^T , (1, 3, −5) ^T ортогональны друг другу, поскольку (1) (3) + (3) (- 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0, и (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
Векторы (1, 0, 1, 0, ...) ^T и (0, 1, 0, 1, ...) ^T ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно 0. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в Z ₂ⁿ : ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = \ sum _ {i = 0 \ на вершине ai + k <n} ^ {n / a} \ mathbf {e} _ {i}}$ для некоторого натурального числа а , а для 1 ≤ K ≤ - 1 , эти векторы ортогональны, например , , являются ортогональными. ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$
Функции 2 t + 3 и 45 t ² + 9 t - 17 ортогональны относительно функции единичного веса на интервале от -1 до 1: ${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} \ left (2t + 3 \ right) \ left (45t ^ {2} + 9t-17 \ right) \, dt = 0}$
Функции 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,… ортогональны относительно интегрирования Римана на интервалах [0, 2π] , [−π, π] или любых других замкнутых интервал длины 2π. Этот факт является центральным в рядах Фурье .

Ортогональные многочлены

Различные последовательности полиномов, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных многочленов . Особенно:

Эти полиномы Эрмита ортогональны относительно гауссового распределения с нулевым средним значением.
Эти многочлены Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на отрезке [-1, 1] .
Эти полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений .
В полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}$
Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения полукругов Вигнера .

Ортогональные состояния в квантовой механике

В квантовой механике , достаточное (но не обязательно) условие , что два собственные состояния оператора А эрмитов оператор , и , являются ортогональными, что они соответствуют различным собственным значениям. В обозначениях Дирака это означает, что если и соответствуют различным собственным значениям. Это следует из того факта , что уравнение Шредингера является Штурм-Лиувилль уравнения (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). ${\ displaystyle \ psi _ {m}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {m} | \ psi _ {n} \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {m}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n}}$

Изобразительное искусство

В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода , называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» часто имеет совсем другое значение в литературе современной художественной критики. Многие работы таких художников, как Пит Мондриан и Бургойн Диллер , известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» - однако, не в отношении перспективы, а скорее в отношении линий, которые являются прямыми и исключительно горизонтальными или вертикальными, образующими прямые углы, где они пересекаются. Например, в эссе на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан ... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». Архивировано 31 января 2009 г. в Wayback Machine.

Информатика

Ортогональность в дизайне языков программирования - это возможность использовать различные языковые функции в произвольных комбинациях с согласованными результатами. Это использование было введено Ван Вейнгарденом при разработке Algol 68 :

Количество независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь избежать вредных излишеств.

Ортогональность - это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции , и это важно для выполнимых и компактных конструкций сложных систем. Эмерджентное поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, т. Е. Неортогонального проектирования модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.

Набор команд называется ортогональной , если ему не хватает избыточности (т.е. есть только одна команда , которая может быть использована для выполнения данной задачи) и сконструирован таким образом, что команды могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкции. Одно поле определяет регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор команд однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации.

Связь

В связи схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отклонить произвольно сильные нежелательные сигналы из полезного сигнала, используя различные базовые функции . Одной из таких схем является TDMA , где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).

Другая схема - это мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора мультиплексированных по частоте сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. . Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , наземная система цифрового телевещания, используемая в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL .

В OFDM частоты поднесущих выбираются таким образом, чтобы поднесущие были ортогональны друг другу, что означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются, и не требуются защитные полосы между несущими. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.

Статистика, эконометрика и экономика

При выполнении статистического анализа независимые переменные, которые влияют на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они не коррелированы, поскольку ковариация формирует внутренний продукт. В этом случае одинаковые результаты получены для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируется ли влияние переменных индивидуально с простой регрессией или одновременно с множественной регрессией . Если корреляция присутствует, коэффициенты не ортогональны, и двумя методами получаются разные результаты. Такое использование происходит из того факта, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего) некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, обсужденном выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. Е. Векторов), так и в качестве случайных величин (т. Е. Функций плотности). Один эконометрический формализм, который является альтернативой модели максимального правдоподобия , Обобщенный метод моментов , полагается на условия ортогональности. В частности, оценка обыкновенных наименьших квадратов может быть легко получена из условия ортогональности между независимыми переменными и остатками модели.

Таксономия

В таксономии ортогональная классификация - это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.

Комбинаторика

В комбинаторике два латинских квадрата размера n × n называются ортогональными, если их наложение дает все возможные комбинации элементов n ² .

Химия и биохимия

В синтетической органической химии ортогональная защита - это стратегия, позволяющая снимать защиту функциональных групп независимо друг от друга. В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним из веществ другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований сильно нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, так что это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и селективно. Биоортогональная химия относится к химическим реакциям, происходящим внутри живых систем без взаимодействия с присутствующими в природе клеточными компонентами. В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности совместимости двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных взаимодействий; обратимо формование без вмешательства друг друга.

В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, тем самым повышая надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности . Ортогональное тестирование часто требуется как часть применения нового лекарства .

Надежность системы

В области надежности системы ортогональное резервирование - это та форма резервирования, при которой форма устройства или метода резервного копирования полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально избыточного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании для защиты всей системы от катастрофического отказа.

Неврология

В нейробиологии сенсорная карта в мозгу, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.

Игры

В настольных играх, таких как шахматы, в которых используется сетка из квадратов, «ортогональный» используется для обозначения «в той же строке /« звание »или столбец /« файл »». Это аналог квадратов, которые «примыкают по диагонали». В древней китайской настольной игре Го игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально смежные точки.

Другие примеры

Стереофонические виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка в виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, с вариациями на каждой стенке, отдельно кодирующими один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж воспринимает движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: 45 градусов по вертикали в любую сторону. Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Глава 4 - Компактность и ортогональность в искусстве программирования Unix

Languages

In other projects