Ортогональные функции - Orthogonal functions

В математике , ортогональные функции принадлежат к функциональному пространству , которое является векторным пространством оснащен билинейной формой . Когда функциональное пространство имеет интервал в качестве области определения , билинейная форма может быть интегралом произведения функций на интервале:

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int {\ overline {f (x)}} g (x) \, dx.}$

Функции и являются ортогональными , если этот интеграл равен нулю, то есть всякий раз , когда . Как и в случае с базисом векторов в конечномерном пространстве, ортогональные функции могут образовывать бесконечный базис для функционального пространства. Концептуально указанный выше интеграл является эквивалентом векторного скалярного произведения; два вектора взаимно независимы (ортогональны), если их скалярное произведение равно нулю. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ langle f, \, g \ rangle = 0}$${\ displaystyle f \ neq g}$

Пусть последовательность ортогональных функций ненулевого L ² -норма . Отсюда следует, что последовательность состоит из функций L ² -нормальной, образующих ортонормированную последовательность . Чтобы иметь определенную L ² -норму, интеграл должен быть ограниченным, что ограничивает функции интегрируемыми с квадратом . ${\ Displaystyle \ {е_ {0}, е_ {1}, \ ldots \}}$ ${\ textstyle \ left \ | f_ {n} \ right \ | _ {2} = {\ sqrt {\ langle f_ {n}, f_ {n} \ rangle}} = \ left (\ int f_ {n} ^ {2} \ dx \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ left \ {f_ {n} / \ left \ | f_ {n} \ right \ | _ {2} \ right \}}$

Тригонометрические функции

Несколько наборов ортогональных функций стали стандартными базами для аппроксимации функций. Например, синусоидальные функции sin nx и sin mx ортогональны на интервале, когда и n и m - положительные целые числа. Тогда ${\ Displaystyle х \ в (- \ пи, \ пи)}$${\ displaystyle m \ neq n}$

${\ displaystyle 2 \ sin \ left (mx \ right) \ sin \ left (nx \ right) = \ cos \ left (\ left (mn \ right) x \ right) - \ cos \ left (\ left (m + п \ вправо) х \ вправо),}$

и интеграл от произведения двух синусоидальных функций равен нулю. Вместе с косинусными функциями эти ортогональные функции могут быть собраны в тригонометрический полином для приближения заданной функции на интервале с помощью ее ряда Фурье .

Полиномы

Если начать с мономиальной последовательности на интервале и применить процесс Грама – Шмидта , то получатся многочлены Лежандра . Другой набор ортогональных многочленов - это связанные многочлены Лежандра . ${\ displaystyle \ left \ {1, x, x ^ {2}, \ dots \ right \}}$${\ displaystyle [-1,1]}$

При исследовании ортогональных многочленов используются весовые функции , которые вставляются в билинейной форме: ${\ Displaystyle ш (х)}$

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int w (x) f (x) g (x) \, dx.}$

Для Лагерра многочленов от функции веса . ${\ displaystyle (0, \ infty)}$${\ Displaystyle ш (х) = е ^ {- х}}$

И физики, и теоретики вероятностей используют полиномы Эрмита от , где весовая функция равна или . ${\ Displaystyle (- \ infty, \ infty)}$${\ Displaystyle ш (х) = е ^ {- х ^ {2}}}$${\ Displaystyle ш (х) = е ^ {- х ^ {2} / 2}}$

Многочлены Чебышева определены на и используют веса или . ${\ displaystyle [-1,1]}$${\ textstyle ш (х) = {\ гидроразрыва {1} {\ sqrt {1-х ^ {2}}}}}$${\ textstyle ш (х) = {\ sqrt {1-х ^ {2}}}}$

Полиномы Цернике определены на единичном круге и имеют ортогональность как радиальной, так и угловой частей.

Двоичные функции

Функции Уолша и всплески Хаара являются примерами ортогональных функций с дискретными диапазонами.

Рациональные функции

График рациональных функций Чебышева порядка n = 0,1,2,3 и 4 между x = 0,01 и 100.

Многочлены Лежандра и Чебышева обеспечивают ортогональные семейства для интервала [−1, 1], в то время как иногда требуются ортогональные семейства на [0, ∞) . В этом случае удобно сначала применить преобразование Кэли , чтобы привести аргумент в [−1, 1] . Эта процедура приводит к семействам рациональных ортогональных функций называются Лежандр рациональных функции и Чебышева рациональных функции .

В дифференциальных уравнениях

Решения линейных дифференциальных уравнений с граничными условиями часто можно записать как взвешенную сумму ортогональных функций решения (также называемых собственными функциями ), что приводит к обобщенному ряду Фурье .

Смотрите также

• Гильбертово пространство
• Собственные значения и собственные векторы
• Функция Ванье
• Теорема Лауричеллы
• Теорема Карунена – Лоэва

Рекомендации

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер (2005) Математические методы для физиков , 6-е издание, глава 10: Теория Штурма-Лиувилля - ортогональные функции, Academic Press .
• Прайс, Джастин Дж. (1975). «Темы по ортогональным функциям» . Американский математический ежемесячник . 82 : 594–609. DOI : 10.2307 / 2319690 .
• Джованни Сансоне (перевод Эйнсли Х. Даймонд) (1959) Ортогональные функции , Interscience Publishers .

внешняя ссылка

• Ортогональные функции в MathWorld.