Палиндромное число - Palindromic number
Палиндромный номер (также известный как позиция палиндром или числовой палиндром ) представляет собой номер (например, 16461) , который остается тем же самым, когда его цифры меняются местами. Другими словами, он обладает симметрией отражения относительно вертикальной оси. Термин « палиндромный» происходит от слова « палиндром» , которое относится к слову (например, ротор или гоночный автомобиль ), написание которого не меняется при перестановке букв. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичном формате ):
- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (последовательность A002113 в OEIS ).
Палиндромные числа привлекают наибольшее внимание в области развлекательной математики . Типичная задача - это числа, которые обладают определенным свойством и являются палиндромными. Например:
- В палиндромные простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (последовательность A002385 в OEIS ).
- Палиндромные квадратные числа : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (последовательность A002779 в OEIS ).
Очевидно , что в любой базе существует бесконечное множество палиндромных чисел, так как в любой системе счисления бесконечной последовательность чисел , написанных (в этой базе) в 101, 1001, 10001, 100001 и т.д. состоит исключительно из палиндромных чисел.
Формальное определение
Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичной системе, концепция палиндромичности может применяться к натуральным числам в любой системе счисления . Рассмотрим число n > 0 в базе b ≥ 2, где оно записано в стандартной записи с k +1 цифрами a i как:
причем, как обычно, 0 ≤ a i < b для всех i и a k ≠ 0. Тогда n палиндромно тогда и только тогда, когда a i = a k - i для всех i . Ноль записывается как 0 в любой системе отсчета и также является палиндромным по определению.
Десятичные палиндромные числа
Все числа в базе 10 (и действительно в любой базе) с одной цифрой являются палиндромными, поэтому существует десять десятичных палиндромных чисел с одной цифрой:
- {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Всего существует 9 палиндромных чисел с двумя цифрами:
- {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
Существует 90 палиндромных чисел с тремя цифрами (Использование правила произведения : 9 вариантов выбора для первой цифры, которая также определяет третью цифру, умноженных на 10 вариантов для второй цифры):
- {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}
Также существует 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (опять же, 9 вариантов выбора для первой цифры, умноженные на десять вариантов для второй цифры. Две другие цифры определяются выбором первых двух):
- {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,…, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},
Итак, существует 199 палиндромных чисел ниже 10 4 .
Ниже 10 5 находится 1099 палиндромных чисел, а для других показателей степени 10 n мы имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (последовательность A070199 в OEIS ). Количество палиндромных чисел, обладающих некоторыми другими свойствами, перечислено ниже:
10 1 | 10 2 | 10 3 | 10 4 | 10 5 | 10 6 | 10 7 | 10 8 | 10 9 | 10 10 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n натуральный | 10 | 19 | 109 | 199 | 1099 | 1999 г. | 10999 | 19999 | 109999 | 199999 |
п даже | 5 | 9 | 49 | 89 | 489 | 889 | 4889 | 8889 | 48889 | 88889 |
n нечетный | 5 | 10 | 60 | 110 | 610 | 1110 | 6110 | 11110 | 61110 | 111110 |
n квадрат | 4 | 7 | 14 | 15 | 20 | 31 год | ||||
n куб | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | |||||
n простое | 4 | 5 | 20 | 113 | 781 | 5953 | ||||
n без квадратов | 6 | 12 | 67 | 120 | 675 | 1200 | 6821 | 12160 | + | + |
n неквадратный ( μ ( n ) = 0) | 4 | 7 | 42 | 79 | 424 | 799 | 4178 | 7839 | + | + |
n квадрат с простым корнем | 2 | 3 | 5 | |||||||
n с четным числом различных простых множителей (μ ( n ) = 1) | 2 | 6 | 35 год | 56 | 324 | 583 | 3383 | 6093 | + | + |
n с нечетным числом различных простых множителей (μ ( n ) = - 1) | 4 | 6 | 32 | 64 | 351 | 617 | 3438 | 6067 | + | + |
n даже с нечетным числом простых множителей | 1 | 2 | 9 | 21 год | 100 | 180 | 1010 | 6067 | + | + |
n даже с нечетным числом различных простых множителей | 3 | 4 | 21 год | 49 | 268 | 482 | 2486 | 4452 | + | + |
n нечетное с нечетным числом простых множителей | 3 | 4 | 23 | 43 год | 251 | 437 | 2428 | 4315 | + | + |
n нечетное с нечетным числом различных простых множителей | 4 | 5 | 28 год | 56 | 317 | 566 | 3070 | 5607 | + | + |
n четное бесквадратное с четным числом (различных) простых множителей | 1 | 2 | 11 | 15 | 98 | 171 | 991 | 1782 | + | + |
n нечетных квадратов с четным числом (различных) простых множителей | 1 | 4 | 24 | 41 год | 226 | 412 | 2392 | 4221 | + | + |
n нечетное с ровно двумя простыми множителями | 1 | 4 | 25 | 39 | 205 | 303 | 1768 | 2403 | + | + |
n даже с двумя простыми множителями | 2 | 3 | 11 | 64 | 413 | + | + | |||
n даже с ровно 3 простыми множителями | 1 | 3 | 14 | 24 | 122 | 179 | 1056 | 1400 | + | + |
n даже с ровно 3 различными простыми множителями | 0 | 1 | 18 | 44 год | 250 | 390 | 2001 г. | 2814 | + | + |
n нечетное с ровно 3 простыми множителями | 0 | 1 | 12 | 34 | 173 | 348 | 1762 г. | 3292 | + | + |
n число Кармайкла | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
n, для которого σ ( n ) палиндромный | 6 | 10 | 47 | 114 | 688 | 1417 | 5683 | + | + | + |
Совершенные силы
Есть много палиндромных совершенных степеней n k , где n - натуральное число, а k равно 2, 3 или 4.
- Палиндромные квадраты : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
- Палиндромные кубы : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
- Палиндромные четвертые силы : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )
Первые девять членов последовательности 1 2 , 11 2 , 111 2 , 1111 2 , ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )
Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, - 2201, и это предположение, что корень четвертой степени всех четвертых степеней палиндрома является палиндромом с 100000 ... 000001 (10 n + 1).
Г. Дж. Симмонс предположил, что не существует палиндромов формы n k для k > 4 (и n > 1).
Другие базы
Палиндромные числа можно рассматривать не в десятичной, а в других системах счисления . Например, двоичные палиндромные числа:
- 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )
или в десятичном виде:
В простых числах Ферма и простые числа Мерсены образуют подмножество двоичных палиндромных простых чисел.
Любое число является палиндромным по всем основаниям с (тривиально, потому что тогда это однозначное число), а также по основанию (потому что тогда ). Даже за исключением случаев, когда число меньше основания, большинство чисел палиндромны в более чем одной базе. Так , например, , . Число, непалиндромный во всех базах , где называются строго непалиндромный номером .
В основе 7 , поскольку 101 7 является двойным полным квадратом (5 2 = 34 7 ), некоторые из его кратных квадратов являются палиндромными квадратами:
13 2 | знак равно | 202 |
26 2 | знак равно | 1111 |
55 2 | знак равно | 4444 |
101 2 | знак равно | 10201 |
143 2 | знак равно | 24442 |
В основании 18 некоторые степени семи являются палиндромными:
7 0 | знак равно | 1 |
7 1 | знак равно | 7 |
7 3 | знак равно | 111 |
7 4 | знак равно | 777 |
7 6 | знак равно | 12321 |
7 9 | знак равно | 1367631 |
И в основании 24 первые восемь степеней пяти также являются палиндромными:
5 0 | знак равно | 1 |
5 1 | знак равно | 5 |
5 2 | знак равно | 11 |
5 3 | знак равно | 55 |
5 4 | знак равно | 121 |
5 5 | знак равно | 5A5 |
5 6 | знак равно | 1331 |
5 7 | знак равно | 5FF5 |
5 8 | знак равно | 14641 |
5 А | знак равно | 15AA51 |
5 С | знак равно | 16FLF61 |
Палиндромное число в основании b , которое составлено из палиндромных последовательностей длины l, расположенных в палиндромном порядке (например, 101 111 010 111 101 2 ), является палиндромным по основанию b l (например, указанное выше двоичное число является палиндромным по основанию 2 3. = 8 (равно 57275 8 ))
Квадрат 133 10 в базе 30 равен 4D 30 2 = KKK 30 = 3R 36 2 = DPD 36 . В базе 24 больше палиндромных квадратов из-за 5 2 = 11. А квадраты всех чисел в форме 1666 ... 6667 (с любым количеством шестерок между 1 и 7) являются палиндромными. 167 2 = 1E5E1, 1667 2 = 1E3K3E1, 16667 2 = 1E3H8H3E1.
Lychrel процесс
Непалиндромные числа можно соединить с палиндромными числами с помощью ряда операций. Во-первых, непалиндромное число меняется на противоположное, и результат прибавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромным числом, это повторяется до тех пор, пока не будет получено палиндромное число. Такой номер называется «отложенным палиндромом».
Неизвестно, могут ли все непалиндромные числа таким образом сочетаться с палиндромными числами. Хотя не было доказано, что ни одно число является непарным, многие, похоже, таковым не являются. Например, 196 не дает палиндрома даже после 700000000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, известно как число Лихрела .
24 января 2017 года номер 1 999 291 987 030 606 810 был опубликован в OEIS как A281509 и объявлен «Крупнейшим известным палиндромом с наиболее задержкой». Последовательность 125 261-шаговых палиндромов с наибольшей задержкой, предшествующих 1 999 291 987 030 606 810 и не описанных ранее, была опубликована отдельно как A281508 .
Сумма обратных величин
Сумма обратных величин палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого составляет приблизительно 3,37028 ... (последовательность A118031 в OEIS ).
Числа Шахерезады
Числа Шахерезады - это набор чисел, определенных Бакминстером Фуллером в его книге « Синергетика» . Фуллер не дает формального определения этому термину, но из приведенных им примеров можно понять, что это те числа, которые содержат множитель первичного n #, где n ≥13 и является наибольшим простым множителем в числе. Фуллер назвал эти числа числами Шахерезады, потому что они должны иметь множитель 1001. Шахерезада - сказочница « Тысячи и одной ночи» , рассказывающая каждую ночь новую историю, чтобы отсрочить казнь. Так как n должно быть не менее 13, примориал должен быть не менее 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 и 7 × 11 × 13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шехерезады. Наименьший примитив, содержащий число Шахерезады, - 13 # = 30 030.
Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромными по группам цифр. Например, 17 # = 510 510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие числа « Шахерезады возвышенно запоминающимися всеобъемлющими дивидендами» или числами SSRCD. Фуллер отмечает, что 1001 в степени не только дает возвышенно запоминающиеся числа, которые являются палиндромными в трехзначных группах, но также значения групп являются биномиальными коэффициентами . Например,
Эта последовательность не выполняется на (1001) 13, потому что в группу слева в некоторых группах включена цифра переноса . Фуллер предлагает записать эти вторичные эффекты в отдельной строке. Если это будет сделано с использованием дополнительных линий перетекания по мере необходимости, симметрия сохранится на неопределенный срок в любой степени. Многие другие числа Шехерезады демонстрируют аналогичные симметрии, выраженные таким образом.
Суммы палиндромов
В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать как сумму трех палиндромных чисел в каждой системе счисления с основанием 5 или больше.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Малкольм Э. Лайнс: Число для ваших мыслей: факты и предположения о числе от Евклида до новейших компьютеров : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1 , S. 61 ( ограниченная онлайн-версия (Google Книги) )
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число» . MathWorld .
- Джейсон Дусетт - Палиндромный квест 196 / Самое запаздывающее палиндромное число
- 196 и другие числа Lychrel
- Об общих палиндромных числах на MathPages
- Палиндромные числа до 100000 от Ask Dr. Math
- П. Де Гест, Палиндромные кубы
- Ютака Нишияма , Числовые палиндромы и проблема 196 , IJPAM, Vol.80, No. 3, 375-384, 2012.