Параллельный постулат - Parallel postulate

Если сумма внутренних углов α и β меньше 180 °, две прямые линии, образованные бесконечно, пересекаются на этой стороне.

В геометрии , то параллельно постулатом , называемый также Евклид пятый постулат «s , потому что это пятый постулат Евклида элементов , является отличительной аксиома в евклидовой геометрии . В нем говорится, что в двумерной геометрии:

Если линейный сегмент пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла на одной стороне, сумма которых меньше двух прямых углов , то две прямые, если они растянуты бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.

Этот постулат конкретно не говорит о параллельных линиях; это всего лишь постулат, связанный с параллелизмом. Евклид дал определение параллельных прямых в Книге I, Определение 23, непосредственно перед пятью постулатами.

Евклидова геометрия - это изучение геометрии, которая удовлетворяет всем аксиомам Евклида, включая постулат параллельности.

Постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительную, хотя и другую геометрию. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, называется неевклидовой геометрией . Геометрия, которая не зависит от пятого постулата Евклида (т.е. предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов), известна как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).

Эквивалентные свойства

Вероятно, наиболее известным эквивалентом постулата параллельности Евклида, зависящего от других его постулатов, является аксиома Плейфэра , названная в честь шотландского математика Джона Плейфэра , которая гласит:

На плоскости, для которой задана линия и точка не на ней, через точку можно провести не более одной линии, параллельной данной линии.

Сама по себе эта аксиома не является логически эквивалентной постулату евклидовой параллельности, поскольку существуют геометрии, в которых одна из них истинна, а другая - нет. Однако при наличии остальных аксиом, которые дают евклидову геометрию, каждая из них может использоваться для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютной геометрии .

Было предложено много других утверждений, эквивалентных постулату параллелизма, некоторые из них сначала показались не связанными с параллелизмом, а некоторые казались настолько самоочевидными , что были бессознательно приняты людьми, которые утверждали, что доказали параллельный постулат из других постулатов Евклида. . Эти эквивалентные утверждения включают:

  1. Существует не более одной линии, которую можно провести параллельно другой, проведенной через внешнюю точку. ( Аксиома Playfair )
  2. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180 ° ( постулат треугольника ).
  3. Существует треугольник, сумма углов которого равна 180 °.
  4. Сумма углов одинакова для всех треугольников.
  5. Существует пара похожих , но не совпадающих треугольников.
  6. Каждый треугольник можно описать .
  7. Если три угла четырехугольника являются прямыми углами , то четвертый угол также является прямым углом.
  8. Существует четырехугольник, в котором все углы прямые, то есть прямоугольник .
  9. Существует пара прямых, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга.
  10. Две линии, параллельные одной и той же линии, также параллельны друг другу.
  11. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон ( теорема Пифагора ).
  12. Закон косинусов , обобщение теоремы Пифагора.
  13. Нет верхнего предела площади треугольника. ( Аксиома Уоллиса )
  14. Вершины четырехугольника Саккери равны 90 °.
  15. Если линия пересекает одну из двух параллельных линий, обе из которых копланарны исходной линии, то она также пересекает другую. ( Аксиома Прокла )

Однако альтернативы, в которых используется слово «параллельный», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений «параллель» имеется в виду - постоянное разделение, никогда не пересекающиеся, одни и те же углы пересекаются какой-то третьей линией или те же углы пересекаются любой третьей линией - поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда используются непересекающиеся линии. Например, если слово «параллель» в аксиоме Плейфэра означает «постоянное разделение» или «те же углы, которые пересекаются любой третьей линией», то это больше не эквивалентно пятому постулату Евклида, и его можно доказать на основании первых четырех. (аксиома гласит: «Существует не более одной линии ...», что согласуется с отсутствием таких линий). Однако, если определение взято так, что параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются или у которых есть линия, пересекающая их под одинаковыми углами, аксиома Плейфэра контекстуально эквивалентна пятому постулату Евклида и, таким образом, логически независима от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, потому что в гиперболической геометрии второе определение справедливо только для ультрапараллельных прямых.

История

В течение двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать параллельный постулат с использованием первых четырех постулатов Евклида. Основная причина, по которой такое доказательство так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, параллельный постулат не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в Элементах, имеет большое значение, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда он понял, что не может доказать его или продолжить без него. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них долгое время принимались в качестве доказательств, пока не была обнаружена ошибка. Неизменно ошибкой было допущение некоторого «очевидного» свойства, которое оказалось эквивалентным пятому постулату ( аксиоме Плейфэра ). Хотя он известен со времен Прокла, он стал известен как Аксиома Плейфэра после того, как Джон Плейфэр написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида его собственной аксиомой.

Прокл (410–485) написал комментарий к «Элементам», в котором он комментирует попытки доказательства вывести пятый постулат из четырех других; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он дал постулат, эквивалентный пятому постулату.

Ибн аль-Хайтам (Альхазен) (965-1039), арабский математик , предпринял попытку доказать параллельный постулат, используя доказательство от противоречия , в ходе которого он ввел понятие движения и преобразования в геометрию. Он сформулировал четырехугольник Ламберта , который Борис Абрамович Розенфельд назвал «четырехугольником Ибн аль-Хайтама – Ламберта», и его попытка доказательства содержит элементы, аналогичные тем, которые находятся в четырехугольниках Ламберта и аксиоме Плейфэра .

Персидский математик, астроном, философ и поэт Омар Хайям (1050–1123) попытался доказать пятый постулат с помощью другого явно заданного постулата (основанного на четвертом из пяти принципов, принадлежащих философу ( Аристотелю ), а именно: «Два сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся ». Он получил некоторые из более ранних результатов, относящихся к эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , хотя его постулат исключал последнюю возможность. Четырехугольник Саккери также впервые был рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11 века в Книге I Объяснений трудностей постулатов Евклида . В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери ), Хайям не пытался доказать параллель постулат как таковой, но выводить его из эквивалентного ему постулата. Он признал, что из исключения Евклида возникли три возможности. пятый постулат; если два перпендикуляра к одной линии пересекают другую линию, разумный выбор последнего может сделать внутренние углы в месте пересечения двух перпендикуляров равными (тогда он будет параллелен первой линии). Если эти равные внутренние углы являются прямыми углами, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, используя его постулат, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.

Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274 гг.) В своей книге «Аль-ризала аль-шафияан аль-шакк фил-хутут аль-мутавазия»Обсуждение, снимающее сомнения относительно параллельных линий» ) (1250 г.) написал подробную критику. параллельного постулата и попытки доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался вывести доказательство, противоречащее параллельному постулату. Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя и исключил их оба.

Евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрия. Постулат параллельности выполняется только для моделей евклидовой геометрии.

Сын Насира ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как « Псевдо-Туси »), написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних размышлениях своего отца, которые представили один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы. эквивалент постулата параллельности. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений из Элементов ». Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и была изучена европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери по этому вопросу, которая началась с критики работы Садр ад-Дина и работы Уоллиса.

Джордано Витале (1633-1711) в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667-1733) проводил ту же линию рассуждений более тщательно, правильно извлекая абсурдность из тупого случая (исходя, как и Евклид, из неявного предположения, что линии могут быть неограниченно продолжены и иметь бесконечную длину), но не опровергая это острый случай (хотя ему удалось ошибочно убедить себя, что это так).

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал « Theorie der Parallellinien», в которой он, как и Саккери, попытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта , четырехугольником с тремя прямыми углами (может считаться половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не продвигал эту идею дальше.

Там, где Хайям и Саккери пытались доказать пятую точку Евклида, опровергая единственно возможные альтернативы, в девятнадцатом веке, наконец, математики изучали эти альтернативы и открывали логически непротиворечивые геометрии, которые в результате получались. В 1829 году Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет об острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переизданном в 1840 году на немецком языке). В 1831 году Янош Бойяи включил в книгу своего отца приложение с описанием острой геометрии, которую, несомненно, он разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс также изучал проблему, но не опубликовал никаких своих результатов. Услышав результаты Бойая в письме от отца Бойяи , Фаркаса Бойяи , Гаусс заявил:

"Если бы я начал с того, что не могу похвалить эту работу, вы наверняка удивитесь на мгновение. Но я не могу сказать иначе. Хвалить это значило бы хвалить себя. Действительно, все содержание работы, пройденный путь По мнению вашего сына, результаты, к которым его привели, почти полностью совпадают с моими медитациями, которые частично занимали мой ум последние тридцать или тридцать пять лет ".

Полученные геометрии позже были развиты Лобачевским , Риманом и Пуанкаре в гиперболическую геометрию (острый случай) и эллиптическую геометрию (тупой случай). Независимость от постулата из других аксиом Евклида была , наконец , продемонстрировали Бельтры в 1868 году.

Обращение к постулату параллельности Евклида

Обратное к постулату параллельности: если сумма двух внутренних углов равна 180 °, то прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Евклид не постулировал обратное своему пятому постулату, который является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптической геометрии . Элементы содержат доказательство эквивалентного утверждения (Книга I, предложение 27): если прямая линия, падающая на две прямые, уравнивает чередующиеся углы друг с другом, прямые линии будут параллельны друг другу. Как указал Де Морган , это логически эквивалентно (Книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но они требуют второго постулата, который нарушается в эллиптической геометрии.

Критика

Попытки логически доказать параллельный постулат, а не восьмую аксиому, подверглись критике Артуром Шопенгауэром в книге «Мир как воля и идея» . Однако аргумент, использованный Шопенгауэром, заключался в том, что постулат очевиден для восприятия, а не в том, что он не был логическим следствием других аксиом.

Разложение постулата параллельности

Постулат параллельности эквивалентен, как показано в, соединению аксиомы Лотшнитта и аксиомы Аристотеля . Первый утверждает, что перпендикуляры к сторонам прямого угла пересекаются, а второй утверждает, что нет верхней границы для длин расстояний от стороны угла до другой стороны. Как показано в, постулат параллельности эквивалентен соединению следующих форм инцидентно-геометрической формы аксиомы Лотшнитта и аксиомы Аристотеля :

Учитывая три параллельные линии, есть линия, которая пересекает все три из них.

Для прямой a и двух различных пересекающихся прямых m и n, каждая из которых отличается от a, существует прямая g, которая пересекает a и m, но не n.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Эдер, Мишель (2000), Взгляды на параллельный постулат Евклида в Древней Греции и в средневековом исламе , Университет Рутгерса , извлечено 23 января 2008 г.