Параллелепипед - Parallelepiped
Параллелепипед | |
---|---|
Тип |
Призма Плезиоэдр |
Лица | 6 параллелограммов |
Края | 12 |
Вершины | 8 |
Группа симметрии | C i , [2 + , 2 + ], (×), порядок 2 |
Характеристики | выпуклый, зоноэдр |
В геометрии , A параллелепипед является трехмерный фигурой , образованной шесть параллелограммов (термин ромбовидный также иногда используются в этом значении). По аналогии он относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату . В евклидовой геометрии четыре понятия - параллелепипед и куб в трех измерениях, параллелограмм и квадрат в двух измерениях - определены, но в контексте более общей аффинной геометрии , в которой углы не дифференцируются, существуют только параллелограммы и параллелепипеды . Три эквивалентных определения параллелепипеда :
- многогранник с шестью гранями ( шестигранники ), каждая из которых представляет собой параллелограмм,
- шестигранник с тремя парами параллельных граней, и
- призмы из которых основание представляет собой параллелограмм .
Прямоугольный кубоид (шесть прямоугольных граней), куб (шесть квадратных граней) и ромбоэдр (шесть граней ромба ) - все это частные случаи параллелепипеда.
"Параллелепипед" теперь обычно произносится / ° р Aer ə л ɛ л ɪ р ɪ р ɛ д / , / ˌ р Aer ə л ɛ л ɪ р aɪ р ɛ д / или / - р ɪ д / ; Традиционно это было / ˌ р Aer ə л ɛ л ɛ р ɪ р ɛ д / PARR -ə-lel- ЕР -i-пед в соответствии с его этимологией в греческом παραλληλεπίπεδον параллелепипеде , тело « имеющие параллельные плоскости».
Параллелепипеды - это подкласс призматоидов .
Характеристики
Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как базовые плоскости призмы. У параллелепипеда три набора из четырех параллельных ребер; края в каждом наборе имеют одинаковую длину.
Параллелепипеды результат линейных преобразований одного куба (для невырожденных случаев: биективные линейные преобразования).
Поскольку каждая грань имеет точечную симметрию , параллелепипед является зоноэдром . Также весь параллелепипед имеет точечную симметрию C i (см. Также триклиническую ). Каждое лицо, если смотреть снаружи, является зеркальным отражением противоположного лица. Грани в целом хиральные , а параллелепипед - нет.
Пространство заполнения тесселяции возможно при сравнимых копий любого параллелепипеда.
Объем
Параллелепипед можно рассматривать как наклонную призму с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда - это произведение площади основания и высоты (см. Диаграмму). С участием
- (где - угол между векторами и ), и
- (где угол между вектором и нормалью к основанию), получаем:
Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Это можно описать определителем . Следовательно, объем:
- (V1) .
Другой способ доказать (V1) - использовать скалярную составляющую в направлении вектора : Результат следует.
Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины кромок):
- (V2) ,
где и - длины ребер.
- Доказательство (V2)
Доказательство (V2) использует свойства определителя и геометрическую интерпретацию скалярного произведения :
Позвольте быть 3x3-матрицей, столбцы которой - векторы (см. Выше). Тогда верно следующее:
- (расширение определителя выше по первой строке)
(Используйте последние шаги )
- Соответствующий тетраэдр
Объем любого тетраэдра, который имеет три сходящихся ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. Доказательство ).
Площадь поверхности
Площадь поверхности параллелепипеда складывается из площадей ограничивающих параллелограммов:
-
- .
(Для маркировки: см. Предыдущий раздел.)
Особые случаи по симметрии
Отношения подгруппы октаэдрической симметрии с центром инверсии |
Частные случаи параллелепипеда |
Форма | Куб | Квадратный кубоид | Тригональный трапецоэдр | Прямоугольный кубоид | Правая ромбическая призма | Правая параллелограммная призма | Косая ромбическая призма |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Ограничения |
|
|
|
|
|
|
|
Симметрия |
О ч порядка 48 |
D 4ч порядка 16 |
D 3d заказ 12 |
D 2h порядка 8 |
C 2h порядка 4 |
||
Изображение | |||||||
Лица | 6 квадратов | 2 квадрата, 4 прямоугольника |
6 ромбов | 6 прямоугольников | 4 прямоугольника, 2 ромба |
4 прямоугольника, 2 параллелограмма |
2 ромба, 4 параллелограмма |
- Параллелепипед с симметрией O h известен как куб , имеющий шесть одинаковых квадратных граней.
- Параллелепипед с симметрией D 4h известен как квадратный кубоид , у которого есть две квадратные грани и четыре совпадающие прямоугольные грани.
- Параллелепипед с симметрией D 3d известен как тригональный трапецоэдр , который имеет шесть конгруэнтных ромбических граней (также называемых изоэдральным ромбоэдром ).
- Для параллелепипедов с симметрией D 2h возможны два случая:
- Прямоугольный кубоид : у него шесть прямоугольных граней (также называемых прямоугольным параллелепипедом или иногда просто кубоидом ).
- Правая ромбическая призма : у нее две ромбические грани и четыре конгруэнтных прямоугольных грани.
- Примечание: частный случай полностью ромбической формы с двумя ромбическими гранями и четырьмя конгруэнтными квадратными гранями имеет то же имя и одну и ту же группу симметрии (D 2h , порядок 8).
- Для параллелепипедов с симметрией C 2h возможны два случая:
- Правая параллелограммная призма : у нее четыре прямоугольные грани и две параллелограммные грани.
- Косая ромбическая призма : у нее две ромбические грани, а из остальных граней две соседние равны, а две другие тоже (две пары являются зеркальным отображением друг друга).
Идеальный параллелепипед
Идеально параллелепипед представляет собой параллелепипед с целым числом длиной ребер, гранями диагоналями и пространственными диагоналями . В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов, что явилось ответом на открытый вопрос Ричарда Гая . Один пример имеет края 271, 106 и 103, второстепенные диагонали 101, 266 и 255 грани, большие диагонали лица 183, 312 и 323 и диагонали пространства 374, 300, 278 и 272.
Известны идеальные параллелепипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай можно было бы назвать идеальным кубоидом .
Параллелотоп
Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в более высоких измерениях параллелоэдром . В современной литературе выражение параллелепипед также часто используется в более высоких (или произвольных конечных) измерениях.
В частности, в n -мерном пространстве он называется n -мерным параллелогранником или просто n -параллелепипедом (или n- параллелепипедом). Таким образом, параллелограмм - это 2-параллелоэдр, а параллелепипед - это 3-параллелоэдр.
В более общем смысле параллелоэдр или параллелоэдр Вороного имеет параллельные и совпадающие противоположные грани. Итак, 2-параллелоэдр - это параллелогон, который также может включать в себя определенные шестиугольники, а 3-параллелоэдр - это параллелоэдр , включающий 5 типов многогранников.
В диагоналями из в п -parallelotope пересекаются в одной точке и делятся пополам этим пунктом. При инверсии в этой точке n -параллелэдр остается неизменным. См. Также неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве .
Ребра, исходящие из одной вершины k -параллелоэдра, образуют k- каркас векторного пространства, и параллелоэдр можно восстановить из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1.
П -VOLUME из п -parallelotope встроенное в котором может быть вычислено с помощью определителя Грама . В качестве альтернативы объем - это норма внешнего произведения векторов:
Если m = n , это составляет абсолютное значение определителя n векторов.
Еще одна формула для вычисления объема с п -parallelotope Р в , которого п + 1 вершины , является
где - вектор-строка, образованный конкатенацией и 1. Действительно, определитель не изменяется, если вычитается из ( i > 0 ), а размещение в последней позиции меняет только его знак.
Кроме того , объем любого п - симплекс , который разделяет п сходящиеся ребра параллелепипеда имеет объем , равный единице 1 / п ! объема этого параллелоэдра.
Лексикография
Слово появляется как parallelipipedon в переводе сэра Генри Биллингсли « Элементов» Евклида , датированного 1570 годом. В издании своего Cursus mathematicus 1644 года Пьер Эригон использовал правописание « параллелепипед» . В Оксфордском словаре английского языка современный параллелепипед впервые появился в « Chorea gigantum» Уолтера Чарлтона (1663).
Словарь Чарльза Хаттона (1795) показывает параллелепипед и параллелепипед , демонстрируя влияние объединяющей формы параллело- , как если бы второй элемент был трубопроводом, а не эпипедоном . Ной Вебстер (1806) включает орфографический параллелепипед . Издание Оксфордского словаря английского языка 1989 года описывает параллелепипед (и параллелепипед ) явно как неправильные формы, но они перечислены без комментариев в издании 2004 года, и даны только произношения с акцентом на пятый слог пи ( / paɪ / ).
Отклонение от традиционного произношения скрыло различное разделение, предложенное греческими корнями, с epi- («он») и pedon («земля»), объединенными, чтобы дать epiped , плоскую «плоскость». Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Кокстер, Регулярные многогранники HSM , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, стр. 122, 1973. (Он определяет параллелоэдр как обобщение параллелограмма и параллелепипеда в n-мерном пространстве.)