Пирамида Паскаля - Pascal's pyramid

Первые пять слоев пирамиды Паскаля

В математике , пирамида Паскаля является трехмерный расположением триномиальных чисел, которые являются коэффициентами трехчленного расширения и трехчленного распределения . Пирамида Паскаля является трехмерным аналогом двумерного треугольника Паскаля , который содержит биномиальные числа и относится к биномиальному расширению и биномиальному распределению . Биномиальные и трехчленные числа, коэффициенты, разложения и распределения являются подмножествами полиномиальных конструкций с одинаковыми именами.

Строение тетраэдра

Поскольку тетраэдр представляет собой трехмерный объект, отобразить его на листе бумаги, экране компьютера или другом двухмерном носителе сложно. Предположим, что тетраэдр разделен на несколько уровней, или этажей, или частей, или слоев. Верхний слой (вершина) помечен как «Слой 0». Другие слои можно рассматривать как виды тетраэдра сверху с удаленными предыдущими слоями. Первые шесть слоев выглядят следующим образом:

Вывод первых пяти уровней пирамиды Паскаля -; где несколько значений указывают на число, значения суммируются

Слой 0	1

Слой 1	1		1
Слой 1		1

Слой 2	1		2		1
		2		2
			1

Слой 3	1		3		3		1
		3		6		3
			3		3
				1

Слой 4	1		4		6		4		1
		4		12		12		4
			6		12		6
				4		4
					1

Слой 5	1		5		10		10		5		1
		5		20		30		20		5
			10		30		30		10
				10		20		10
					5		5
						1

Слои тетраэдра намеренно отображены вершиной вниз, чтобы не путать их индивидуально с треугольником Паскаля.

Обзор тетраэдра

Числа в каждом слое имеют трехстороннюю симметрию.
Число слагаемых в п - ^го слоя является ( п + 1) ^е треугольное число: . ${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(п + 1) \ раз (п + 2)} {2}}}$
Сумма значений чисел в n- ^м слое равна 3 ⁿ .
Каждое число в любом слое - это сумма трех соседних чисел в слое выше.
Каждое число в любом слое представляет собой простое целочисленное отношение соседних чисел в том же слое.
Каждое число в любом слое является коэффициентом трехчленного распределения и трехчленного разложения. Такое нелинейное расположение упрощает:
- отображать разложение трехчлена логически;
- вычислить коэффициенты трехчленного распределения;
- вычислить номера любого слоя тетраэдра.
Числа на трех краях n- ^го слоя - это номера n- ^й строки треугольника Паскаля. И почти все перечисленные выше свойства имеют параллели с треугольником Паскаля и полиномиальными коэффициентами.

Соединение трехчленного расширения

Числа тетраэдра получены из трехчленного разложения. П - ^й слой представляет собой отдельная матрица коэффициентов (без переменных или показателей) трехчленного выражения (например: А + В + С ) , возведенной в п - ^е мощности. N-я степень трехчлена увеличивается путем многократного умножения трехчлена на себя:

( A + B + C ) ¹ × ( A + B + C ) ⁿ = ( A + B + C ) ^{n +1}

Каждый член в первом выражении умножается на каждый член во втором выражении; а затем коэффициенты одинаковых членов (одинаковые переменные и показатели) складываются. Вот расширение ( A + B + C ) ⁴ :

1 A ⁴B ⁰C ⁰ + 4 A ³B ⁰C ¹ + 6 A ²B ⁰C ² + 4 A ¹B ⁰C ³ + 1 A ⁰B ⁰C ⁴ +

4 A ³B ¹C ⁰ + 12 A ²B ¹C ¹ + 12 A ¹B ¹C ² + 4 A ⁰B ¹C ³ +
6 A ²B ²C ⁰ + 12 A ¹B ²C ¹ + 6 A ⁰B ²C ² +
4 A ¹B ³C ⁰ + 4 A ⁰B ³C ¹ +

1 А ⁰В ⁴С ⁰

Запись расширения таким нелинейным способом показывает расширение более понятным образом. Это также делает очевидной связь с тетраэдром - коэффициенты здесь соответствуют коэффициентам слоя 4. Все неявные коэффициенты, переменные и показатели, которые обычно не записываются, также показаны для иллюстрации другой связи с тетраэдром. (Обычно «1 A » - это « A »; « B ¹ » - « B »; « C ⁰ » - «1» и т. Д.) Показатели каждого члена суммируются с номером слоя ( n ), или 4 , в этом случае. Что еще более важно, значение коэффициентов каждого члена можно вычислить непосредственно из показателей. Формула: $(x + y + z)! / (x! \times y! \times z!)$ , где x, y, z - показатели A, B, C соответственно, и "!" означает факториал (например: $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ ). Формулы экспоненты для 4-го слоя:

{\ displaystyle \ textstyle {(4 + 0 + 0)! \ более 4! \ раз 0! \ раз 0!} \ {(3 + 0 + 1)! \ более 3! \ раз 0! \ раз 1!} \ {(2 + 0 + 2)! \ более 2! \ раз 0! \ раз 2!} \ {(1 + 0 + 3)! \ более 1! \ раз 0! \ раз 3!} \ {(0 + 0 + 4)! \ больше 0! \ раз 0! \ раз 4!}}

${\ displaystyle \ textstyle {(3 + 1 + 0)! \ более 3! \ раз 1! \ раз 0!} \ {(2 + 1 + 1)! \ более 2! \ раз 1! \ раз 1!} \ {(1 + 1 + 2)! \ более 1! \ раз 1! \ раз 2!} \ {(0 + 1 + 3)! \ больше 0! \ раз 1! \ раз 3!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {(2 + 2 + 0)! \ более 2! \ раз 2! \ раз 0!} \ {(1 + 2 + 1)! \ более 1! \ раз 2! \ раз 1!} \ {(0 + 2 + 2)! \ больше 0! \ раз 2! \ раз 2!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {(1 + 3 + 0)! \ более 1! \ раз 3! \ раз 0!} \ {(0 + 3 + 1)! \ больше 0! \ раз 3! \ раз 1!}}$

{\ displaystyle \ textstyle {(0 + 4 + 0)! \ больше 0! \ раз 4! \ раз 0!}}

Показатели каждого члена расширения можно ясно увидеть, и эти формулы упрощают до коэффициентов расширения и коэффициентов тетраэдра слоя 4.

Подключение трехчленного распределения

Числа тетраэдра также можно найти в трехчленном распределении. Это дискретное распределение вероятностей, используемое для определения вероятности возникновения некоторой комбинации событий с учетом трех возможных исходов - количество способов, которыми могут произойти события, умножается на вероятности того, что они произойдут. Формула трехчленного распределения:

[ п ! / ( x ! × y ! × z !)] × [(P _A ) ^x × (P _B ) ^y × (P _C ) ^z ]

где x, y, z - количество раз, когда происходит каждый из трех исходов; n - количество испытаний, равное сумме x + y + z ; и P _A , P _B , P _C - вероятности того, что каждое из трех событий могло произойти.

Например, при трехсторонних выборах кандидаты получили следующие голоса: A, 16%; В 30%; С 54%. Какова вероятность того, что случайно выбранная фокус-группа из четырех человек будет содержать следующих избирателей: 1 за A, 1 за B, 2 за C? Ответ:

[4! / (1! × 1! × 2!)] × [(16%) ¹ × (30%) ¹ × (54%) ² ] = 12 × 0,0140 = 17%

Число 12 - это коэффициент этой вероятности, и это количество комбинаций, которые могут заполнить эту фокус-группу «112». Можно выбрать 15 различных схем фокус-групп из четырех человек. Выражения для всех 15 из этих коэффициентов следующие:

${\ displaystyle \ textstyle {4! \ более 4! \ раз 0! \ раз 0!} \ {4! \ более 3! \ раз 0! \ раз 1!} \ {4! \ более 2! \ раз 0! \ раз 2!} \ {4! \ более 1! \ раз 0! \ раз 3!} \ {4! \ больше 0! \ раз 0! \ раз 4!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4! \ более 3! \ раз 1! \ раз 0!} \ {4! \ более 2! \ раз 1! \ раз 1!} \ {4! \ более 1! \ раз 1! \ раз 2!} \ {4! \ больше 0! \ раз 1! \ раз 3!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4! \ более 2! \ раз 2! \ раз 0!} \ {4! \ более 1! \ раз 2! \ раз 1!} \ {4! \ больше 0! \ раз 2! \ раз 2!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4! \ более 1! \ раз 3! \ раз 0!} \ {4! \ больше 0! \ раз 3! \ раз 1!}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4! \ больше 0! \ раз 4! \ раз 0!}}$

Числитель этих дробей (над линией) одинаковый для всех выражений. Это размер выборки - группа из четырех человек - и указывает на то, что коэффициенты этих расположений можно найти на уровне 4 тетраэдра. Три числа в знаменателе (под линией) - это количество членов фокус-группы, проголосовавших за A, B, C соответственно.

Сокращение обычно используется для выражения комбинаторных функций в следующем формате «выбрать» (который читается как «4 выбрать 4, 0, 0» и т. Д.).

${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 4,0,0} \ {4 \ choose 3,0,1} \ {4 \ choose 2,0,2} \ {4 \ choose 1,0,3} \ { 4 \ выбрать 0,0,4}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 3,1,0} \ {4 \ choose 2,1,1} \ {4 \ choose 1,1,2} \ {4 \ choose 0,1,3}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 2,2,0} \ {4 \ choose 1,2,1} \ {4 \ choose 0,2,2}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 1,3,0} \ {4 \ choose 0,3,1}}$

${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 0,4,0}}$

Но значение этих выражений по-прежнему равно коэффициентам 4-го слоя Тетраэдра. И их можно обобщить на любой уровень, изменив размер выборки ( n ).

Это обозначение позволяет легко выразить сумму всех коэффициентов слоя n :

{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {x, y, z} {n \ выберите x, y, z}}

= 3 ^п .

Сложение коэффициентов между слоями

Числа на каждом слое ( n ) тетраэдра - это сумма трех соседних чисел в слое ( n −1) «над» ним. Эту взаимосвязь довольно сложно увидеть без смешения слоев. Ниже курсивом выделены номера уровня 3, чередующиеся с жирными номерами уровня 4 :

1		4		6		4		1
	1		3		3		1
	4		12		12		4
		3		6		3
		6		12		6
			3		3
			4		4
				1
				1

Взаимосвязь иллюстрируется нижним центральным номером 12 4-го слоя. Он «окружен» тремя числами 3-го слоя: 6 на «север», 3 на «юго-запад», 3 на «юго-восток». (Цифры по краю имеют только два смежных числа в слое «выше», а три угловых номера имеют только одно смежное число в слое выше, поэтому они всегда равны «1». Пропущенные числа могут быть приняты как « 0 ", поэтому нет потери общности.) Эта взаимосвязь между соседними слоями не является волшебным совпадением. Скорее, это происходит в результате двухэтапного процесса трехчленного расширения.

Продолжая этот пример, на этапе 1 каждый член ( A + B + C ) ³ умножается на каждый член ( A + B + C ) ¹ . В этом примере интересны только три из этих умножений:

Срок уровня 3	Умножить на	Срок действия продукта
6 А ¹В ¹С ¹	1 В ¹	6 А ¹В ²С ¹
3 А ¹В ²С ⁰	1 С ¹	3 А ¹В ²С ¹
3 А ⁰В ²С ¹	1 А ¹	3 А ¹В ²С ¹

(Умножение одинаковых переменных вызывает сложение показателей степени; например: D ¹ × D ² = D ^3. )

Затем, на этапе 2, суммирование одинаковых членов (одинаковые переменные и показатели степени) дает: 12 A ¹B ²C ¹ , который является членом ( A + B + C ) ⁴ ; а 12 - коэффициент 4-го слоя тетраэдра.

Символически аддитивное отношение можно выразить как:

C ( x, y, z ) = C ( x −1 , y, z ) + C ( x, y −1 , z ) + C ( x, y, z −1).

где C ( x, y, z ) - коэффициент при члене с показателями x, y, z и - слой тетраэдра. ${\ Displaystyle х + у + Z = п}$

Это соотношение будет работать только в том случае, если трехчленное расширение расположено нелинейным образом, как это изображено в разделе «Связь трехчленного расширения».

Соотношение между коэффициентами одного и того же слоя

На каждом слое Тетраэдра числа представляют собой простые отношения целых чисел соседних чисел. Эта взаимосвязь проиллюстрирована для горизонтально смежных пар на 4-м слое следующим образом:

1 ⟨1: 4⟩ 4 ⟨2: 3⟩ 6 ⟨3: 2⟩ 4 ⟨4: 1⟩ 1
4 ⟨1: 3⟩ 12 ⟨2: 2⟩ 12 ⟨3: 1⟩ 4
6 ⟨1: 2⟩ 12 ⟨2: 1⟩ 6
4 ⟨1: 1⟩ 4
1

Поскольку тетраэдр имеет трехстороннюю симметрию, соотношение отношения также выполняется для диагональных пар (в обоих направлениях), а также для показанных горизонтальных пар.

Отношения контролируются показателями соответствующих смежных членов трехчлена. Например, одно соотношение на иллюстрации выше:

4 ⟨1: 3⟩ 12

Соответствующие члены трехчлена:

4 A ³B ¹C ⁰ и 12 A ²B ¹C ¹

Следующие правила применяются к коэффициентам всех смежных пар членов трехчлена:

Показатель одной из переменных остается неизменным ( в данном случае B ) и может быть проигнорирован.
Для двух других переменных один показатель степени увеличивается на 1, а один показатель степени уменьшается на 1.
- Показатели A равны 3 и 2 (больший в левом члене).
- Показатели C равны 0 и 1 (больший в правом члене).
Коэффициенты и большие показатели связаны:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4/12 = 1/3
Эти уравнения дают соотношение: «1: 3».

Правила одинаковы для всех горизонтальных и диагональных пар. Переменные A, B, C изменятся.

Это соотношение дает еще один (несколько громоздкий) способ вычисления коэффициентов тетраэдра:

Коэффициент при соседнем члене равен коэффициенту текущего члена, умноженному на показатель текущего члена убывающей переменной, деленному на показатель смежного члена возрастающей переменной.

Отношение соседних коэффициентов может быть немного более четким, если выразить его символически. Каждый термин может иметь до шести смежных терминов:

Для x = 0: C ( x, y, z −1) = C ( x, y −1 , z ) × z / y C ( x, y −1 , z ) = C ( x, y, z −1 ) × y / z

Для y = 0: C ( x −1 , y, z ) = C ( x, y, z −1) × x / z C ( x, y, z −1) = C ( x −1 , y, z ) × z / x

Для z = 0: C ( x, y −1 , z ) = C ( x −1 , y, z ) × y / x C ( x −1 , y, z ) = C ( x, y −1 , z ) × х / у

где C ( x, y, z ) - коэффициент, а x, y, z - показатели. Во времена, когда еще не было карманных калькуляторов и персональных компьютеров, этот подход использовался школьниками в качестве кратчайшего пути для написания биномиальных разложений без утомительных алгебраических расширений или неуклюжих факториальных вычислений.

Это соотношение будет работать только в том случае, если трехчленное расширение расположено нелинейным образом, как это изображено в разделе «Связь трехчленного расширения».

Связь с треугольником Паскаля

Хорошо известно, что числа на трех внешних краях n- ^го слоя тетраэдра - те же числа, что и n- ^я линия треугольника Паскаля. Однако на самом деле связь гораздо шире, чем просто один ряд чисел. Это соотношение лучше всего иллюстрируется сравнением треугольника Паскаля до линии 4 со слоем 4 тетраэдра.

Треугольник Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Слой тетраэдра 4
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4
1

Умножение номеров каждой строки треугольника Паскаля до n- ^й строки на числа n- ^й строки генерирует n- ^й слой тетраэдра. В следующем примере линии треугольника Паскаля выделены курсивом, а строки тетраэдра - жирным шрифтом .

1

× 1 =
1

1 1
× 4 =
4 4

1 2 1
× 6 =
6 12 6

1 3 3 1
× 4 =
4 12 12 4

1 4 6 4 1
× 1 =

1 4 6 4 1

Множители (1 4 6 4 1) составляют строку 4 треугольника Паскаля.

Это соотношение демонстрирует самый быстрый и простой способ вычисления чисел для любого слоя тетраэдра без вычисления факториалов, которые быстро становятся огромными числами. (Калькуляторы повышенной точности становятся очень медленными после Tetrahedron Layer 200.)

Если коэффициенты треугольника Паскаля обозначены C ( i, j ), а коэффициенты тетраэдра обозначены C ( n, i, j ), где n - слой тетраэдра, i - строка, а j - столбец , то отношение можно символически выразить как:

C ( i, j ) × C ( n, i ) = C ( n, i, j ) i = от 0 до n, j = от 0 до i

[Важно понимать, что i, j, n здесь не экспоненты, а только последовательные индексы разметки.]

Параллели с треугольником Паскаля и полиномиальные коэффициенты

В этой таблице суммированы свойства трехчленного разложения и трехчленного распределения, и они сравниваются с биномиальным и полиномиальным разложением и распределениями:

Тип полинома	двунименный	трехменный	многокомпонентный
Порядок полинома	2	3	м
Пример полинома	${\ displaystyle A + B}$	${\ displaystyle A + B + C}$	${\ Displaystyle А + В + С + \ cdots + M}$
Геометрическая структура	треугольник	тетраэдр	м -комплекс
Структура элемента	линия	слой	группа
Симметрия элемента	2 пути	3-ходовой	м- путь
Количество терминов на элемент	п +1	( п +1) × ( п +2) / 2	( n +1) × ( n +2) × ... × ( n + m −1) / (( m −1)!) или ( n + m -1)! / ( п ! × ( м -1)!)
Сумма коэффициентов на элемент	2 ^п	3 ^п	m ⁿ
Пример термина	А ^х Б ^у	А ^х Б ^у С ^z	A ^x B ^y C ^z ... М ^м
Сумма показателей, все слагаемые	п	п	п
Уравнение коэффициентов	п ! / ( х ! × у !)	п ! / ( х ! × у ! × z !)	п ! / ( х ₁ ! × х ₂ ! × х ₃ ! × ... × х _м !)
Сумма коэффициентов "выше"	2	3	м
Соотношение смежных коэффициентов	2	6	м × ( м −1)

^ 1 Симплекс - это простейшая линейная геометрическая форма, которая существует в любом измерении. Тетраэдры и треугольники являются примерами в 3-х и 2-х измерениях соответственно.
^ 2 Формула для биномиального коэффициента обычно выражается как:n! / (х! × (п-х)!); гдеn-x=y.

Прочие свойства

Экспоненциальное построение

Произвольный слой n можно получить за один шаг по следующей формуле:

{\ displaystyle \ left (b ^ {d \ left (n + 1 \ right)} + b ^ {d} +1 \ right) ^ {n},}

где b - основание системы счисления, а d - количество цифр любого из центральных полиномиальных коэффициентов , то есть

{\ displaystyle \ textstyle d = 1 + \ left \ lfloor \ log _ {b} {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}} \ right \ rfloor, \ \ sum _ {i = 1} ^ {3} {k_ {i}} = n, \ \ left \ lfloor {\ frac {n} {3}} \ right \ rfloor \ leq k_ {i} \ leq \ left \ lceil {\ frac { n} {3}} \ right \ rceil,}

затем обертывание цифр результата на d (n + 1) , интервал на d и удаление ведущих нулей.

Этот метод, обобщенный на произвольную размерность, можно использовать для получения срезов любого симплекса Паскаля .

Примеры

Для системы счисления b = 10, n = 5, d = 2:

{\ displaystyle \ textstyle \ left (10 ^ {12} + 10 ^ {2} +1 \ right) ^ {5}}

= 1000000000101⁵
= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501

              1                     1                     1
   000000000505     00 00 00 00 05 05     .. .. .. .. .5 .5
   000000102010     00 00 00 10 20 10     .. .. .. 10 20 10
~  000010303010  ~  00 00 10 30 30 10  ~  .. .. 10 30 30 10
   000520302005     00 05 20 30 20 05     .. .5 20 30 20 .5
   010510100501     01 05 10 10 05 01     .1 .5 10 10 .5 .1

 wrapped by d(n+1)     spaced by d      leading zeros removed

Для системы счисления b = 10, n = 20, d = 9:

{\ displaystyle \ textstyle \ left (10 ^ {189} + 10 ^ {9} +1 \ right) ^ {20}}

Слой пирамиды Паскаля №20.

Сумма коэффициентов слоя по строкам

Суммирование чисел в каждой строке слоя n пирамиды Паскаля дает

{\ Displaystyle \ влево (Ь ^ {d} +2 \ вправо) ^ {п},}

где b - основание системы счисления, а d - количество цифр суммы "центральной" строки (строки с наибольшей суммой).

Для системы счисления b = 10:

 1 ~ 1    \ 1  ~ 1      \ 1   ~ 1          \ 1    ~  1               \ 1     ~  1
---      1 \ 1 ~ 02  \ 2 \ 2  ~ 04      \ 3 \ 3   ~ 06            \ 4 \ 4    ~ 08
 1       -----      1 \ 2 \ 1 ~ 04   \ 3 \ 6 \ 3  ~ 12         \ 6 \12 \ 6   ~ 24
         1  02      ---------       1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08      \ 4 \12 \12 \ 4  ~ 32
                    1  04  04       -------------          1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16
                                    1  06  12  08         ------------------
                                                           1  08  24  32  16

102⁰      102¹        102²               102³                     102⁴

Сумма коэффициентов слоя по столбцам

Суммирование чисел в каждом столбце слоя n пирамиды Паскаля дает

{\ displaystyle \ left (b ^ {2d} + b ^ {d} +1 \ right) ^ {n},}

где b - основание системы счисления, а d - количество цифр суммы «центрального» столбца (столбца с наибольшей суммой).

Для системы счисления b = 10:

 1     |1|       |1|            |1|                     | 1|                              | 1|
---   1| |1    |2| |2|        |3| |3|                | 4|  | 4|                        | 5|  | 5|
 1    -----   1| |2| |1     |3| |6| |3|           | 6|  |12|  | 6|                  |10|  |20|  |10|
      1 1 1   ---------    1| |3| |3| |1       | 4|  |12|  |12|  | 4|            |10|  |30|  |30|  |10|
              1 2 3 2 1    -------------      1|  | 4|  | 6|  | 4|  | 1       | 5|  |20|  |30|  |20|  | 5|
                           1 3 6 7 6 3 1     --------------------------      1|  | 5|  |10|  |10|  | 5|  | 1
                                              1 04 10 16 19 16 10 04 01     --------------------------------
                                                                             1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01

111⁰   111¹      111²           111³                    10101⁴                             10101⁵

использование

В генетике принято использовать пирамиду Паскаля для определения соотношения между разными генотипами при одном и том же скрещивании. Это делается путем проверки строки, которая соответствует количеству фенотипов (генотипы + 1). Эта линия будет пропорцией.

Languages

In other projects