Теорема Паскаля - Pascal's theorem

Линия Паскаля GHK самопересекающегося шестиугольника ABCDEF вписана в эллипс. Противоположные стороны шестиугольника имеют одинаковый цвет.
Пересечения протяженных противоположных сторон простого циклического шестиугольника ABCDEF (справа) лежат на прямой Паскаля MNP (слева).
Самопересекающийся шестиугольник ABCDEF , вписанный в круг. Его стороны вытянуты так, что пары противоположных сторон пересекаются на линии Паскаля. Каждая пара вытянутых противоположных сторон имеет свой цвет: красный, желтый, синий. Линия Паскаля показана белым.

В проективной геометрии , теорема Паскаля (также известная как теорема hexagrammum Mysticum ) утверждает , что если шесть произвольных точки выбираются на коническом (который может представлять собой эллипс , парабола или гипербола в соответствующей аффинной плоскости ) и соединены отрезками в любом порядке чтобы образовать шестиугольник , три пары противоположных сторон шестиугольника ( при необходимости удлиненные ) встречаются в трех точках, лежащих на прямой линии, называемой линией Паскаля шестиугольника. Он назван в честь Блеза Паскаля .

Теорема также верна в евклидовой плоскости , но утверждение необходимо скорректировать, чтобы иметь дело с особыми случаями, когда противоположные стороны параллельны.

Евклидовы варианты

Наиболее естественным образом для теоремы Паскаля является проективная плоскость, поскольку любые две прямые пересекаются, и для параллельных прямых не нужно делать никаких исключений. Однако теорема остается в силе в евклидовой плоскости с правильной интерпретацией того, что происходит, когда некоторые противоположные стороны шестиугольника параллельны.

Если ровно одна пара противоположных сторон шестиугольника параллельна, то вывод теоремы состоит в том, что «линия Паскаля», определяемая двумя точками пересечения, параллельна параллельным сторонам шестиугольника. Если две пары противоположных сторон параллельны, то все три пары противоположных сторон образуют пары параллельных прямых, и в евклидовой плоскости нет линии Паскаля (в этом случае линия на бесконечности расширенной евклидовой плоскости является линией Паскаля шестиугольник).

Связанные результаты

Эта теорема является обобщением теоремы Паппа (шестиугольник) - теорема Паппа является частным случаем вырожденной коники из двух прямых. Теорема Паскаля является полярной обратной и проективной двойственностью теоремы Брианшона . Он был сформулирован Блезом Паскалем в заметке, написанной в 1639 году, когда ему было 16 лет, и опубликованной в следующем году в виде проспекта под названием «Essay pour les coniques. Par BP».

Теорема Паскаля является частным случаем теоремы Кэли – Бахараха .

Интересен вырожденный случай теоремы Паскаля (четыре пункта); для заданных точек ABCD на конике Γ пересечение альтернативных сторон ABCD , BCDA вместе с пересечением касательных в противоположных вершинах ( A , C ) и ( B , D ) лежат на одной прямой в четырех точках; касательные являются вырожденными «сторонами», взятыми в двух возможных положениях на «шестиугольнике» и соответствующей линии Паскаля, разделяющей либо вырожденное пересечение. Это можно доказать независимо, используя свойство полярности полюса . Если коника - круг, то другой вырожденный случай говорит, что для треугольника три точки, которые появляются как пересечение боковой линии с соответствующей боковой линией треугольника Жергонна , коллинеарны.

Шесть - это минимальное количество точек на конике, о котором можно сделать особые утверждения, поскольку пять точек определяют конику .

Обратным является теорема Брейкенриджа-Маклорена , названная в честь британских математиков 18-го века Уильяма Брейкенриджа и Колина Маклорена ( Mills 1984 ), которая утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на прямой , то шесть вершин шестиугольника лежат на конике; коника может быть вырожденной, как в теореме Паппа. Теорема Брейкенриджа – Маклорена может быть применена в конструкции Брейкенриджа – Маклорена , которая является синтетической конструкцией коники, определяемой пятью точками, путем изменения шестой точки.

Теорема была обобщена Августом Фердинандом Мёбиусом в 1847 году следующим образом: предположим, что многоугольник с 4 n + 2 сторонами вписан в коническое сечение, а противоположные пары сторон продолжены до тех пор, пока не встретятся в 2 n + 1 точках. Затем, если 2 n из этих точек лежат на общей линии, последняя точка также будет на этой линии.

Гексаграмм Мистикум

Если на коническом сечении задано шесть неупорядоченных точек, их можно соединить в шестиугольник 60 различными способами, в результате чего получится 60 различных примеров теоремы Паскаля и 60 различных линий Паскаля. Эта конфигурация из 60 линий называется Hexagrammum Mysticum .

Как доказал Томас Киркман в 1849 году, эти 60 линий могут быть связаны с 60 точками таким образом, что каждая точка находится на трех линиях, а каждая линия содержит три точки. Образованные таким образом 60 точек теперь известны как точки Киркмана . Линии Паскаля также проходят по три за раз через 20 точек Штейнера . Есть 20 линий Кэли, которые состоят из точки Штейнера и трех точек Киркмана. Точки Штейнера также лежат, по четыре за раз, на 15 линиях Плюккера . Кроме того, 20 линий Кэли проходят по четыре за один раз через 15 точек, известных как точки Лосося .

Доказательства

Оригинальная заметка Паскаля не имеет доказательства, но есть различные современные доказательства теоремы.

Достаточно доказать теорему, когда коника является окружностью, потому что любая (невырожденная) коника может быть приведена к окружности с помощью проективного преобразования. Это было реализовано Паскалем, первая лемма которого формулирует теорему для окружности. Его вторая лемма утверждает, что то, что верно в одной плоскости, остается верным при проекции на другую плоскость. Вырожденные коники следуют по непрерывности (теорема верна для невырожденных коник, а значит, верна в пределе вырожденной коники).

Краткое элементарное доказательство теоремы Паскаля в случае круга было найдено ван Изереном (1993) на основе доказательства в ( Гуггенхаймер, 1967 ). Это доказательство доказывает теорему для окружности, а затем обобщает ее на коники.

Краткое элементарное вычислительное доказательство в случае реальной проективной плоскости было найдено Стефановичем (2010).

Мы можем вывести доказательство и из существования изогонально сопряженного . Если мы хотим показать, что X = ABDE , Y = BCEF , Z = CDFA коллинеарны для конциклического ABCDEF , то заметим, что EYB и CYF подобны, и что X и Z будут соответствовать изогональному сопряжены, если мы перекрываем аналогичные треугольники. Это означает, что BYX = ∠ CYZ , что делает XYZ коллинеарным.

Краткое доказательство может быть построено с использованием сохранения перекрестного отношения. Проецируя тетраду ABCE из D на линию AB , мы получаем тетраду ABPX , а проецируя тетраду ABCE из F на линию BC , получаем тетраду QBCY . Следовательно, это означает, что R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , где одна из точек в двух тетрадах перекрывается, следовательно, это означает, что другие линии, соединяющие другие три пары, должны совпадать, чтобы сохранить перекрестное отношение. Следовательно, XYZ коллинеарны.

Другое доказательство теоремы Паскаля для круга неоднократно использует теорему Менелая .

Данделин , геометр, открывший знаменитые сферы Данделина , представил прекрасное доказательство, используя технику «трехмерного подъема», которая аналогична трехмерному доказательству теоремы Дезарга . Доказательство использует то свойство, что для каждого конического сечения можно найти однополостный гиперболоид, проходящий через конику.

Также существует простое доказательство теоремы Паскаля для окружности, использующее закон синусов и подобия .

Доказательство с использованием кубических кривых

У теоремы Паскаля есть краткое доказательство с использованием теоремы Кэли – Бахараха, согласно которой для любых 8 точек общего положения существует единственная девятая точка, такая, что все кубики, проходящие через первые 8, также проходят через девятую точку. В частности, если две общие кубики пересекаются в 8 точках, то любая другая кубика, проходящая через те же 8 точек, встречает девятую точку пересечения первых двух кубиков. Паскаль теорема следует, беря 8 очков в 6 точек на шестиугольнике и два точек (скажем, M и N на рисунке) на потенциальном Pascal линии, и девятый пункт в качестве третьей точки ( Р в фигура). Первые две кубики - это два набора из 3 прямых, проходящих через 6 точек шестиугольника (например, множество AB, CD, EF и множество BC, DE, FA ), а третья кубика представляет собой объединение коники и линия МН . Здесь «девятое пересечение» P не может лежать на конике по общности, а значит, лежит на MN .

Теорема Кэли – Бахараха также используется для доказательства ассоциативности групповой операции на кубических эллиптических кривых. Та же групповая операция может быть применена к конусу, если мы выберем точку E на конусе и прямую MP на плоскости. Сумма A и B получают путем первого нахождения точки пересечения линии АВ с МП , что М . Далее и B добавить до второй точки пересечения конуса с линией EM , который является D . Таким образом, если Q - вторая точка пересечения конуса с прямой EN , то

Таким образом, групповая операция ассоциативна. С другой стороны, теорема Паскаля следует из приведенной выше формулы ассоциативности и, таким образом, из ассоциативности групповой операции эллиптических кривых посредством непрерывности.

Доказательство с использованием теоремы Безу.

Предположим, что f - кубический многочлен, равный нулю на трех прямых, проходящих через AB, CD, EF, а g - кубика, исчезающая на трех других прямых BC, DE, FA . Выберите общую точку P на коники и выбрать λ так , что кубическая ч = е + Хд обращается в нуль на P . Тогда h = 0 - это кубика, у которой есть 7 общих точек A, B, C, D, E, F, P с коникой. Но по теореме Безу кубика и коника имеют не более 3 × 2 = 6 общих точек, если только у них нет общей компоненты. Таким образом, кубика h = 0 имеет общий компонент с коникой, которая должна быть самой коникой, поэтому h = 0 - это объединение коники и прямой. Теперь легко проверить, что эта строка является линией Паскаля.

Свойство шестиугольника Паскаля

Снова учитывая шестиугольник на конике теоремы Паскаля с указанными выше обозначениями для точек (на первом рисунке), мы имеем

Вырождения теоремы Паскаля

Теорема Паскаля: вырождения

Существуют 5-точечные, 4-точечные и 3-точечные вырожденные случаи теоремы Паскаля. В вырожденном случае две ранее соединенные точки фигуры будут формально совпадать, и соединительная линия станет касательной в объединенной точке. См. Вырожденные случаи, приведенные в добавленной схеме и внешней ссылке на геометрии окружности . Если выбрать подходящие линии фигур Паскаля как линии на бесконечности, можно получить много интересных фигур на параболах и гиперболах .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки