Матрицы Паули - Pauli matrices

В математической физике и математике , то матрицы Паули представляют собой набор из трех 2 × 2 комплексных матриц , которые являются эрмитова и унитарная . Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( σ ), иногда они обозначаются тау ( τ ), когда используются в связи с изоспиновой симметрией.

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули, которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Они также представляют состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной / вертикальной поляризации, 45-градусной поляризации (правая / левая) и круговая поляризация (правая / левая).

Каждая матрица Паули эрмитова , а вместе с единичной матрицей I (иногда рассматривается как нулевая матрица Паули σ 0 ), то матрицы Паули образуют основу для реального векторного пространства от 2 × 2 эрмитовых матриц. Это означает, что любую эрмитову матрицу 2 × 2 можно уникальным образом записать как линейную комбинацию матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного 2- мерного гильбертова пространства . В контексте работы Паули σ k представляет собой наблюдаемую, соответствующую вращению вдоль k- й координатной оси в трехмерном евклидовом пространстве.

Матрицы Паули (после умножения на i, чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы 1 , 2 , 3 образуют базис для действительной алгебры Ли , которая возводится в степень до специального унитарного группа SU (2) . Алгебра порождается трех матриц сг 1 , σ 2 , σ 3 является изоморфна к алгебре Клиффорда из , и (унитальная ассоциативная) алгебра , порожденная 1 , 2 , 3 эффективно идентичны (изоморфны), что и кватернионов ( ).

Алгебраические свойства

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

где i = −1   - « мнимая единица », а δ jk - символ Кронекера , который равен +1, если j = k, и 0 в противном случае. Это выражение полезно для "выбора" любой из матриц численно путем замены значений j = 1, 2, 3 , что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но никакая конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивны :

где I - единичная матрица .

В определители и следы от матрицы Паули являются:

Отсюда мы можем вывести, что каждая матрица   σ jk   имеет собственные значения   +1 и −1.

С включением единичной матрицы, I (иногда обозначаемого σ 0 ), то матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта-Шмидта ) в гильбертовом пространстве из действительных 2 × 2 эрмитовых матриц, и гильбертово пространство все сложные 2 × 2 матрицы, .

Собственные векторы и собственные значения

Каждый из ( эрмитовых матриц) Паулей имеет два собственные значения , +1 и -1 . Соответствующие нормированные собственные векторы :

Вектор Паули

Вектор Паули определяется формулой

где - эквивалентные обозначения для более привычных обозначений с нижним индексом, которые более компактны, чем старые формы.

Вектор Паули обеспечивает механизм отображения от базиса вектора к базису матрицы Паули следующим образом:


используя соглашение Эйнштейна о суммировании . Дальше,

его собственные значения , и более того (см. § отношение полноты ниже)

Его нормированные собственные векторы равны


Коммутационные отношения

Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

и антикоммутационные отношения:

где структурная постоянная ε abc - символ Леви-Чивиты , используется обозначение суммирования Эйнштейна, δ jk - символ Кронекера , а I - единичная матрица 2 × 2 .

Например,

коммутаторы антикоммутаторы
         

Отношение к точечному и перекрестному произведению

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

так что,

Договаривающиеся каждой стороны уравнения с компонентами двух 3 -векторов р и б д (которые коммутируют с матрицами Паули, т.е. р σ д = σ д р ) для каждой матрицы сг д и компонента вектора р (и аналогично с b q ) дает

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярного произведения и перекрестного произведения приводит к

 

 

 

 

( 1 )

Если i отождествляется с псевдоскаляром σ x σ y σ z, тогда правая часть становится, что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре.

Некоторые следы отношений

Следующие следы могут быть получены с использованием коммутационных и антикоммутационных соотношений.

Если также рассматривать матрицу σ 0 = I , эти соотношения принимают вид

где греческие индексы α , β , γ и μ принимают значения из {0, x , y , z }, а запись используется для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов.

Экспонента вектора Паули

Для

для четных степеней есть 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

что сначала можно показать для случая p = 1 с помощью антикоммутационных соотношений. Для удобства случай p = 0 условно принят равным I.

Для нечетных степеней 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса ,

.

В последней строке первая сумма - это косинус, а вторая сумма - синус; Итак, наконец,

 

 

 

 

( 2 )

который аналогичен по формуле Эйлера , продлен до кватернионов .

Обратите внимание, что

,

в то время как определитель самой экспоненты равен 1 , что делает ее типичным групповым элементом SU (2) .

Более абстрактную версию формулы (2) для общей матрицы 2 × 2 можно найти в статье о матричных экспонентах . Общая версия (2) для аналитической (в a и - a ) функции обеспечивается применением формулы Сильвестра ,

Закон группового состава SU (2)

Непосредственное применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона состава группы SU (2) . Можно напрямую решить для c в

который определяет типовое групповое умножение, где, очевидно,

сферическая закон косинусов . Учитывая c , тогда

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе ( в данном случае замкнутая форма соответствующего расширения BCH ) просто равны

(Конечно, когда параллельно , так есть , и c = a + b .)

Сопутствующее действие

Также несложно вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно эффективное вращение на удвоенный угол a ,

Отношение полноты

Альтернативой обозначения, которое обычно используется для матриц Паули, чтобы написать вектор индекса K в индексе, и матричные индексы как индексы, так что элемент в строке альфа и столбца р из к -го Паули матрица σ к αβ  .

В этих обозначениях соотношение полноты для матриц Паули можно записать

Доказательство : тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей I образуют ортогональный базис для гильбертова пространства всех комплексных матриц 2 × 2, означает, что мы можем выразить любую матрицу M как
где c - комплексное число, а a - трехкомпонентный комплексный вектор. С помощью перечисленных выше свойств легко показать, что
где " tr " обозначает след , и, следовательно,
который можно переписать в терминах матричных индексов как
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует из изложенного выше.

Как отмечалось выше, единичную матрицу 2 × 2 принято обозначать σ 0 , поэтому σ 0 αβ = δ αβ  . В качестве альтернативы отношение полноты можно выразить как

Тот факт, что любые эрмитовы комплексные матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к представлению сфер Блоха матрицы плотности смешанных состояний 2 × 2 ( положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию   σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3  },   как указано выше, а затем наложив условия положительно-полуопределенного и следа 1 .

Для чистого состояния в полярных координатах

, идемпотентная матрица плотности

действует на собственный вектор состояния с собственным значением +1, следовательно, действует как оператор проекции .

Связь с оператором перестановки

Пусть P jk будет транспонированием (также известным как перестановка) между двумя спинами σ j и σ k, живущими в пространстве тензорного произведения ,

Этот оператор также можно записать более явно как биржевой оператор спина Дирака ,

Следовательно, его собственные значения равны 1 или -1. Таким образом, его можно использовать в качестве члена взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

SU (2)

Группа SU (2) является группой Ли из унитарных 2 × 2 матриц с единичным детерминантом; ее алгебра Ли - это набор всех антиэрмитовых матриц 2 × 2 со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что алгебра Ли - это трехмерная вещественная алгебра, натянутая на множество { k } . В компактных обозначениях

В результате каждый i σ j можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU (2). Элементы SU (2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех образующих и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU (2), это неправильное представление su (2) , поскольку собственные значения Паули масштабируются нестандартным образом. Обычная нормализация λ = 1/2, так что

Поскольку SU (2) компактная группа, ее картановское разложение тривиально.

ТАК (3)

Алгебра су (2) является изоморфна алгебре Ли так (3) , что соответствует группе Ли SO (3) , в группе из вращений в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что i σ j являются реализацией (и, фактически, реализацией наименьшего измерения) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя su (2) и so (3) изоморфны как алгебры Ли, SU (2) и SO (3) не изоморфны как группы Ли. SU (2) на самом деле является двойная крышка из SO (3) , а это означает , что существует два-к-одному гомоморфизм групп из SU (2) к SO (3) , см зависимость между SO (3) и SU (2) .

Кватернионы

Вещественная линейная оболочка I ,   i σ 1 , i σ 2 ,   i σ 3  } изоморфна вещественной алгебре кватернионов , представленной оболочкой базисных векторов Изоморфизм из этого множества задается следующим отображением ( обратите внимание на перевернутые знаки для матриц Паули):

В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью карты с использованием матриц Паули в обратном порядке,

Поскольку множество версоров U образует группу, изоморфную SU (2) , U дает еще один способ описания SU (2) . Гомоморфизм два к одному от SU (2) к SO (3) может быть задан в терминах матриц Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. Матрица P, соответствующая положению точки в пространстве, определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули:

Следовательно, матрица преобразования Q θ для поворотов вокруг оси x на угол θ может быть записана в терминах матриц Паули и единичной матрицы как

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как подробно описано выше.

Квантовая механика

В квантовой механике , каждая матрица Паулей связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемому , описывающему вращению в виде спина 1 / 2 частицы, в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, j являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращений SO (3), действующей на нерелятивистские частицы со спином 12 . В состоянии частиц представлены в виде двухкомпонентных спиноров . Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .

Интересное свойство спины 1 / 2 частиц является то , что они должны быть повернуты под углом 4 П для того , чтобы вернуться к своей первоначальной конфигурации. Это происходит из-за соответствия два к одному между SU (2) и SO (3), упомянутого выше, и того факта, что, хотя один визуализирует вращение вверх / вниз как северный / южный полюс на 2-сфере S 2 , они фактически представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .

Для спина 1 / 2 частицы, оператор спина задается J =час/2σ , тофундаментальное представлениеоSU (2). Повторноберя с собой произведенияКронекераэтого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующиеоператоры спинадля систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях для произвольно большогоjмогут быть вычислены с использованием этогооператора спинаилестничных операторов. Их можно найти вгруппе вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли. Формула-аналог вышеприведенного обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.

Общая группа Паули G n, также полезная в квантовой механике многочастичных систем, определяется как состоящая из всех n- кратных тензорных произведений матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, работающие на этих спинорах, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

Из этого определения следует, что матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и матрицы σ k .

Однако релятивистский угловой момент - это не трехвектор, а четырех-тензор второго порядка . Следовательно, его необходимо заменить на Σ μν , генератор преобразований Лоренца на спинорах . Из-за антисимметрии углового момента Σ μν также антисимметричны. Следовательно, есть только шесть независимых матриц.

Первые три - это остальные три, где α k- матрицы Дирака определяются как

Релятивистские спиновые матрицы Σ μν в компактном виде записываются в терминах коммутатора гамма-матриц как

Квантовая информация

В квантовой информации , одно- кубитов квантовые ворота 2 × 2 унитарные матрицы. Матрицы Паули - одни из самых важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется «Z – Y-разложением однокубитового вентильного элемента». Выбор другой пары Картана дает аналогичное «X – Y разложение однокубитового вентильного элемента».

Смотрите также

Замечания

Примечания

использованная литература