Матрицы, важные для квантовой механики и изучения спина
В математической физике и математике , то матрицы Паули представляют собой набор из трех 2 × 2 комплексных матриц , которые являются эрмитова и унитарная . Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( σ ), иногда они обозначаются тау ( τ ), когда используются в связи с изоспиновой симметрией.
Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули, которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Они также представляют состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной / вертикальной поляризации, 45-градусной поляризации (правая / левая) и круговая поляризация (правая / левая).
Каждая матрица Паули эрмитова , а вместе с единичной матрицей I (иногда рассматривается как нулевая матрица Паули σ 0 ), то матрицы Паули образуют основу для реального векторного пространства от 2 × 2 эрмитовых матриц. Это означает, что любую эрмитову матрицу 2 × 2 можно уникальным образом записать как линейную комбинацию матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.
Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного 2- мерного гильбертова пространства . В контексте работы Паули σ k представляет собой наблюдаемую, соответствующую вращению вдоль k- й координатной оси в трехмерном евклидовом пространстве.
Матрицы Паули (после умножения на i, чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 образуют базис для действительной алгебры Ли , которая возводится в степень до специального унитарного группа SU (2) . Алгебра порождается трех матриц сг 1 , σ 2 , σ 3 является изоморфна к алгебре Клиффорда из , и (унитальная ассоциативная) алгебра , порожденная iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 эффективно идентичны (изоморфны), что и кватернионов ( ).
Алгебраические свойства
Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:
где i = √ −1 - « мнимая единица », а δ jk - символ Кронекера , который равен +1, если j = k, и 0 в противном случае. Это выражение полезно для "выбора" любой из матриц численно путем замены значений j = 1, 2, 3 , что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но никакая конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.
Матрицы инволютивны :
где I - единичная матрица .
В определители и следы от матрицы Паули являются:
Отсюда мы можем вывести, что каждая матрица σ jk имеет собственные значения +1 и −1.
С включением единичной матрицы, I (иногда обозначаемого σ 0 ), то матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта-Шмидта ) в гильбертовом пространстве из действительных 2 × 2 эрмитовых матриц, и гильбертово пространство все сложные 2 × 2 матрицы, .
Собственные векторы и собственные значения
Каждый из ( эрмитовых матриц) Паулей имеет два собственные значения , +1 и -1 . Соответствующие нормированные собственные векторы :
Вектор Паули
Вектор Паули определяется формулой
где - эквивалентные обозначения для более привычных обозначений с нижним индексом, которые более компактны, чем старые формы.
Вектор Паули обеспечивает механизм отображения от базиса вектора к базису матрицы Паули следующим образом:
используя соглашение Эйнштейна о суммировании . Дальше,
его собственные значения , и более того (см. § отношение полноты ниже)
Его нормированные собственные векторы равны
Коммутационные отношения
Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:
и антикоммутационные отношения:
где структурная постоянная ε abc - символ Леви-Чивиты , используется обозначение суммирования Эйнштейна, δ jk - символ Кронекера , а I - единичная матрица 2 × 2 .
Например,
коммутаторы |
антикоммутаторы
|
|
|
Отношение к точечному и перекрестному произведению
Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает
так что,
Договаривающиеся каждой стороны уравнения с компонентами двух 3 -векторов р и б д (которые коммутируют с матрицами Паули, т.е. р σ д = σ д р ) для каждой матрицы сг д и компонента вектора р (и аналогично с b q ) дает
Наконец, перевод обозначения индекса для скалярного произведения и перекрестного произведения приводит к
|
|
( 1 )
|
Если i отождествляется с псевдоскаляром σ x σ y σ z, тогда правая часть становится, что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре.
Некоторые следы отношений
Следующие следы могут быть получены с использованием коммутационных и антикоммутационных соотношений.
Если также рассматривать матрицу σ 0 = I , эти соотношения принимают вид
где греческие индексы α , β , γ и μ принимают значения из {0, x , y , z }, а запись используется для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов.
Экспонента вектора Паули
Для
для четных степеней есть 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...
что сначала можно показать для случая p = 1 с помощью антикоммутационных соотношений. Для удобства случай p = 0 условно
принят равным I.
Для нечетных степеней 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...
Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса ,
-
.
В последней строке первая сумма - это косинус, а вторая сумма - синус; Итак, наконец,
|
|
( 2 )
|
который аналогичен по формуле Эйлера , продлен до кватернионов .
Обратите внимание, что
-
,
в то время как определитель самой экспоненты равен 1 , что делает ее типичным групповым элементом SU (2) .
Более абстрактную версию формулы (2) для общей матрицы 2 × 2 можно найти в статье о матричных экспонентах . Общая версия (2) для аналитической (в a и - a ) функции обеспечивается применением формулы Сильвестра ,
Закон группового состава SU (2)
Непосредственное применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона состава группы SU (2) . Можно напрямую решить для c в
который определяет типовое групповое умножение, где, очевидно,
сферическая закон косинусов . Учитывая c , тогда
Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе ( в данном случае замкнутая форма соответствующего расширения BCH ) просто равны
(Конечно, когда параллельно , так есть , и c = a + b .)
Сопутствующее действие
Также несложно вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно эффективное вращение на удвоенный угол a ,
Отношение полноты
Альтернативой обозначения, которое обычно используется для матриц Паули, чтобы написать вектор индекса K в индексе, и матричные индексы как индексы, так что элемент в строке альфа и столбца р из к -го Паули матрица σ к αβ .
В этих обозначениях соотношение полноты для матриц Паули можно записать
-
Доказательство : тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей I образуют ортогональный базис для гильбертова пространства всех комплексных матриц 2 × 2, означает, что мы можем выразить любую матрицу M как
- где c - комплексное число, а a - трехкомпонентный комплексный вектор. С помощью перечисленных выше свойств легко показать, что
- где " tr " обозначает след , и, следовательно,
- который можно переписать в терминах матричных индексов как
- где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует из изложенного выше. ◻
Как отмечалось выше, единичную матрицу 2 × 2 принято обозначать σ 0 , поэтому σ 0 αβ = δ αβ . В качестве альтернативы отношение полноты можно выразить как
Тот факт, что любые эрмитовы комплексные матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к представлению сфер Блоха матрицы плотности смешанных состояний 2 × 2 ( положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию { σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 }, как указано выше, а затем наложив условия положительно-полуопределенного и следа 1 .
Для чистого состояния в полярных координатах
, идемпотентная матрица плотности
действует на собственный вектор состояния с собственным значением +1, следовательно, действует как оператор проекции .
Связь с оператором перестановки
Пусть P jk будет транспонированием (также известным как перестановка) между двумя спинами σ j и σ k, живущими в пространстве тензорного произведения ,
Этот оператор также можно записать более явно как биржевой оператор спина Дирака ,
Следовательно, его собственные значения равны 1 или -1. Таким образом, его можно использовать в качестве члена взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.
SU (2)
Группа SU (2) является группой Ли из унитарных 2 × 2 матриц с единичным детерминантом; ее алгебра Ли - это набор всех антиэрмитовых матриц 2 × 2 со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что алгебра Ли - это трехмерная вещественная алгебра, натянутая на множество { iσ k } . В компактных обозначениях
В результате каждый i σ j можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU (2). Элементы SU (2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех образующих и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU (2), это неправильное представление su (2) , поскольку собственные значения Паули масштабируются нестандартным образом. Обычная нормализация λ =
1/2, так что
Поскольку SU (2) компактная группа, ее картановское разложение тривиально.
ТАК (3)
Алгебра су (2) является изоморфна алгебре Ли так (3) , что соответствует группе Ли SO (3) , в группе из вращений в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что i σ j являются реализацией (и, фактически, реализацией наименьшего измерения) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя su (2) и so (3) изоморфны как алгебры Ли, SU (2) и SO (3) не изоморфны как группы Ли. SU (2) на самом деле является двойная крышка из SO (3) , а это означает , что существует два-к-одному гомоморфизм групп из SU (2) к SO (3) , см зависимость между SO (3) и SU (2) .
Кватернионы
Вещественная линейная оболочка { I , i σ 1 , i σ 2 , i σ 3 } изоморфна вещественной алгебре кватернионов , представленной оболочкой базисных векторов Изоморфизм из этого множества задается следующим отображением ( обратите внимание на перевернутые знаки для матриц Паули):
В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью карты с использованием матриц Паули в обратном порядке,
Поскольку множество версоров U ⊂ образует группу, изоморфную SU (2) , U дает еще один способ описания SU (2) . Гомоморфизм два к одному от SU (2) к SO (3) может быть задан в терминах матриц Паули в этой формулировке.
Физика
Классическая механика
В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. Матрица P, соответствующая положению точки в пространстве, определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули:
Следовательно, матрица преобразования Q θ для поворотов вокруг оси x на угол θ может быть записана в терминах матриц Паули и единичной матрицы как
Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как подробно описано выше.
Квантовая механика
В квантовой механике , каждая матрица Паулей связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемому , описывающему вращению в виде спина
1 / 2 частицы, в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, iσ j являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращений SO (3), действующей на нерелятивистские частицы со спином 1 ⁄ 2 . В состоянии частиц представлены в виде двухкомпонентных спиноров . Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .
Интересное свойство спины 1 / 2 частиц является то , что они должны быть повернуты под углом 4 П для того , чтобы вернуться к своей первоначальной конфигурации. Это происходит из-за соответствия два к одному между SU (2) и SO (3), упомянутого выше, и того факта, что, хотя один визуализирует вращение вверх / вниз как северный / южный полюс на 2-сфере S 2 , они фактически представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .
Для спина 1 / 2 частицы, оператор спина задается J =час/2σ , тофундаментальное представлениеоSU (2). Повторноберя с собой произведенияКронекераэтого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующиеоператоры спинадля систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях для произвольно большогоjмогут быть вычислены с использованием этогооператора спинаилестничных операторов. Их можно найти вгруппе вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли. Формула-аналог вышеприведенного обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.
Общая группа Паули G n, также полезная в квантовой механике многочастичных систем, определяется как состоящая из всех n- кратных тензорных произведений матриц Паули.
Релятивистская квантовая механика
В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, работающие на этих спинорах, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как
Из этого определения следует, что матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и матрицы σ k .
Однако релятивистский угловой момент - это не трехвектор, а четырех-тензор второго порядка . Следовательно, его необходимо заменить на Σ μν , генератор преобразований Лоренца на спинорах . Из-за антисимметрии углового момента Σ μν также антисимметричны. Следовательно, есть только шесть независимых матриц.
Первые три - это остальные три, где α k- матрицы Дирака определяются как
Релятивистские спиновые матрицы Σ μν в компактном виде записываются в терминах коммутатора гамма-матриц как
Квантовая информация
В квантовой информации , одно- кубитов квантовые ворота 2 × 2 унитарные матрицы. Матрицы Паули - одни из самых важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется «Z – Y-разложением однокубитового вентильного элемента». Выбор другой пары Картана дает аналогичное «X – Y разложение однокубитового вентильного элемента».
Смотрите также
Примечания
использованная литература