Идеальное число - Perfect number
В теории чисел , совершенное число является положительным целым числом , которое равно сумме своих положительных делителей , за исключением самого числа. Например, 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 - идеальное число.
Сумма делителей числа, исключая само число, называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число - это число, равное его аликвотной сумме. Точно так же совершенное число - это число, равное половине суммы всех его положительных делителей, включая само себя; в символах σ 1 ( n ) = 2 n, где σ 1 - функция суммы делителей . Например, 28 идеально как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.
Это древнее определение появилось еще в « Элементах » Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило формирования (IX.36), согласно которому является четным совершенным числом всякий раз, когда является простым числом формы положительного целого числа - то, что теперь называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все четные числа имеют именно такую форму. Это известно как теорема Евклида – Эйлера .
Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел - 6 , 28 , 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS ).
История
Примерно за 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2 p - 1 простое, то 2 p −1 (2 p - 1) совершенно. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах отметил 8128 примерно в 100 году нашей эры. На современном языке Никомах без доказательств утверждает, что каждое совершенное число имеет форму, где есть простое число. Похоже, он не подозревает, что n должно быть простым числом. Он также говорит (ошибочно), что идеальные числа поочередно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также заканчивается цифрами 6.) Филон Александрийский в своей книге «О сотворении мира» первого века упоминает совершенные числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна вращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 - идеальные. За Филоном следует Ориген и Дидим Слепой , который добавляет наблюдение, что есть только четыре совершенных числа, которые меньше 10 000. (Комментарий к Бытию 1. 14-19). Святой Августин определяет совершенные числа в Граде Бога (Книга XI, Глава 30) в начале 5 века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336, 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны. Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8,589,869,056) и седьмое (137,438,691,328) совершенных чисел, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, заканчивается на 6 или 8.
Даже идеальные числа
Бесконечно много совершенных чисел?
Евклид доказал, что 2 p −1 (2 p - 1) - четное совершенное число, если 2 p - 1 простое число (Elements, Prop. IX.36).
Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле 2 p −1 (2 p - 1), где p - простое число , следующим образом:
- для p = 2: 2 1 (2 2 - 1) = 2 × 3 = 6
- для p = 3: 2 2 (2 3 - 1) = 4 × 7 = 28
- для p = 5: 2 4 (2 5 - 1) = 16 × 31 = 496
- для p = 7: 2 6 (2 7 - 1) = 64 × 127 = 8128.
Простые числа в форме 2 p - 1 известны как простые числа Мерсенна в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , изучавшего теорию чисел и совершенные числа. Чтобы число 2 p - 1 было простым, необходимо, чтобы само число p было простым. Однако не все числа вида 2 p - 1 с простым p простые; например, 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. На самом деле простые числа Мерсенна очень редки - из 2 610 944 простых чисел p до 43 112 609 , 2 p - 1 являются простыми только для 47 из них.
Хотя Никомах утверждал (без доказательства), что все совершенные числа имеют форму, где есть простое число (хотя он сформулировал это несколько иначе), Ибн аль-Хайтам (Альхазен) около 1000 г. н.э. предположил только, что каждое четное совершенное число имеет такую форму. Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула 2 p −1 (2 p - 1) дает все четные совершенные числа. Таким образом, между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна существует взаимно однозначное соответствие ; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида – Эйлера .
Исчерпывающий поиск в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS показал, что первые 48 четных совершенных чисел равны 2 p −1 (2 p - 1) для
- р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 3040241, 32582657, 37156010000 и, последовательность, 43168010000, 43402457, 32582657, 37168010000 в OEIS ).
Также были обнаружены три высших совершенных числа, а именно те, для которых p = 74207281, 77232917 и 82589933, хотя в этом диапазоне могут быть и другие. По состоянию на декабрь 2018 года известно 51 простое число Мерсенна и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых - 2 82589932 × (2 82589933 - 1) с 49 724 095 цифрами). Это не известно , есть ли бесконечно много чисел совершенные, не существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.
Помимо формы 2 p −1 (2 p - 1), каждое четное совершенное число является (2 p - 1) -м треугольным числом (и, следовательно, равно сумме целых чисел от 1 до 2 p - 1 ). и 2 p −1- е гексагональное число . Кроме того, каждое четное совершенное число, за исключением 6, является ((2 p + 1) / 3) -м центрированным неугольным числом и равно сумме первых 2 ( p −1) / 2 нечетных кубов:
Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид
с каждым получившимся треугольным числом T 7 = 28 , T 31 = 496 , T 127 = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающегося на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с T 2 = 3 , T 10 = 55 , T 42 = 903, T 2730 = 3727815, ... Это можно переформулировать следующим образом: сложение цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса. до тех пор, пока не будет получена одна цифра (называемая цифровым корнем ), всегда получается число 1. Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1. Это работает со всеми совершенными числами 2 p −1 (2 p - 1) с нечетным простым p и, фактически, со всеми числами вида 2 m −1 (2 m - 1) для нечетных целых (не обязательно простое) м .
Благодаря своей форме 2 p −1 (2 p - 1) каждое четное совершенное число представляется в двоичной форме как p единиц, за которыми следуют p - 1 нули; Например,
- 6 10 = 2 2 + 2 1 = 110 2 ,
- 28 10 = 2 4 + 2 3 + 2 2 = 11100 2 ,
- 496 10 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 = 111110000 2 , и
- 8128 10 = 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 = 1111111000000 2 .
Таким образом, каждое четное совершенное число - пагубное число .
Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Связанные понятия ).
Нечетные идеальные числа
Есть ли идеальные нечетные числа?
Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа, таким образом подразумевая, что не существует нечетных совершенных чисел. Эйлер заявил: «Существуют ли какие-нибудь нечетные совершенные числа - это самый сложный вопрос». Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент, предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетного совершенного числа. Все совершенные числа также являются гармоническими числами Оре , и было высказано предположение, что не существует нечетных гармонических чисел Оре, кроме 1.
Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:
- N > 10 1500 .
- N не делится на 105.
- N имеет форму N ≡ 1 (мод. 12), N 117 (мод. 468) или N 81 (мод. 324).
- N имеет вид
- куда:
- q , p 1 , ..., p k - различные нечетные простые числа (Эйлера).
- q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
- Наименьший первичный фактор N самое большее
- Либо q α > 10 62 , либо p j 2 e j > 10 62 для некоторого j .
- .
- .
- Наибольший простой множитель N больше 10 8 и меньше
- Второй по величине простой множитель больше 10 4 и меньше .
- Третий по величине простой фактор больше 100.
- N имеет не менее 101 простого множителя и не менее 10 различных простых множителей. Если 3 не является одним из делителей N , то N имеет не менее 12 различных простых делителей.
Кроме того, известно несколько второстепенных результатов об экспонентах e 1 , ..., e k .
- Не все e i ≡ 1 ( mod 3).
- Не все e i ≡ 2 ( mod 5).
- Если все e i ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой множитель N должен находиться в диапазоне от 10 8 до 10 1000 .
- В более общем плане , если все 2 е я + 1 имеют простой множитель в заданном конечном множестве S , то наименьшее простое фактор N должно быть меньше , чем эффективно вычислимой константой , зависящей только от S .
- Если ( e 1 , ..., e k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то .
- ( е 1 , ..., е k ) ≠ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
- Если e 1 = ... = e k = e , то
- e не может быть 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 или 18.
- и .
В 1888 году Сильвестр заявил:
... длительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной паутины условий, окружающих его со всех сторон, - было бы немного недолгим. чуда.
Многие из свойств, доказанных о нечетных совершенных числах, также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует.
Незначительные результаты
Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов об идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, внешне они впечатляют; некоторые из них попадают под Ричард Гай «s сильный закон малых чисел :
- Единственное четное совершенное число в форме x 3 + 1 - 28 ( Маковски, 1962 ).
- 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел ( Gallardo 2010 ).
- Сумма обратных делителей совершенного числа N должна составлять 2 (чтобы получить это, возьмите определение совершенного числа и разделите обе части на n ):
- Для 6 у нас есть ;
- Для 28 у нас есть и т. Д.
- Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, потому что N не может быть полным квадратом.
- Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
- Четные совершенные числа не являются числами трапециевидной формы ; то есть они не могут быть представлены как разность двух положительных непоследовательных треугольных чисел . Существует всего три типа нетрапецеидальных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа в форме, образованные как произведение простого числа Ферма и степени двойки, аналогично построению четных совершенных чисел из Простые числа Мерсенна.
- Количество совершенных чисел меньше n меньше чем , где c > 0 - константа. На самом деле это так , если использовать краткие обозначения .
- Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 с основанием десять; и, за исключением 6, оканчивается на 1, основание 9. Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, кроме 6, равен 1.
- Единственное совершенное число без квадратов - 6.
Связанные понятия
Сумма собственных делителей дает различные другие типы чисел. Числа, у которых сумма меньше самого числа, называются неполными , а где больше числа - избыточными . Эти термины, вместе с самим совершенным , пришли из греческой нумерологии . Пара чисел, которые являются суммой собственных делителей друг друга, называются дружественными , а более крупные циклы чисел называются общительными . Положительное целое число, такое, что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных делителей, является практическим числом .
По определению, совершенное число является фиксированной точкой из ограничен делителя функции , сек ( п ) = σ ( п ) - п , а последовательность Аликвоты , связанная с совершенным числом является последовательностью постоянной. Все совершенные числа также являются совершенными числами или числами Гранвиля .
Полусовершенный номер представляет собой натуральное число, равное сумме всех или некоторых из его делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех собственных делителей, является совершенным числом. Самые распространенные числа также полусовершенны; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .
Смотрите также
- Сверхсовершенное число
- Leinster group
- Список простых чисел Мерсенна и совершенных чисел
- Умножить идеальное число
- Суперсовершенные числа
- Унитарное совершенное число
Примечания
использованная литература
- Евклид, Элементы , Книга IX, Предложение 36. См . Веб-сайт Д. Е. Джойса для перевода и обсуждения этого предложения и его доказательства.
- Канольд, Х.-Дж. (1941). "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 183 : 98–109.
- Steuerwald, R. "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl". С.-Б. Байер. Акад. Wiss . 1937 : 69–72.
дальнейшее чтение
- Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
- Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для набора нечетных совершенных простых чисел» . Математика вычислений . 27 (124): 951–953. DOI : 10.2307 / 2005530 . JSTOR 2005530 .
- Риле, HJJ "Совершенные числа и кратные последовательности" в HW Lenstra и R. Tijdeman (ред.): Computational Methods in Number Theory , Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
- Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер , 1985.
- Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Kluwer Academic. стр. 15 -98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
внешние ссылки
- «Совершенное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Дэвид Моус: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
- Совершенные числа - история и теория
- Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число» . MathWorld .
- Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
- OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
- Большой поиск в Интернете Мерсенн Прайм (GIMPS)
- Perfect Numbers , математический форум в Drexel.
- Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2013-05-31 . Проверено 2 апреля 2013 .