Периодическая функция - Periodic function

Периодическая функция является функцией , которая повторяет свои значения через регулярные промежутки времени, например, тригонометрические функции , которые повторяются с интервалом 2я радиан . Периодические функции используются повсюду в науке для описания колебаний , волн и других явлений, которые проявляют периодичность . Любая непериодическая функция называется апериодической .

Иллюстрация периодической функции с периодом

{\ displaystyle P.}

Определение

Функция $f$ называется периодической, если для некоторой ненулевой константы $P верно$ , что

{\ Displaystyle е (х + п) = е (х)}

для всех значений $x$ в домене. Ненулевая константа $P,$ для которой это так, называется периодом функции. Если существует наименьшая положительная константа $P$ с этим свойством, она называется основным периодом (также примитивным периодом , основным периодом или простым периодом ). Часто «период» функции используется для обозначения ее основного периода. Функция с периодом $P$ будет повторяться на интервалах длины $P$ , и эти интервалы иногда также называют периодами функции.

Геометрически периодическая функция может быть определена как функция, график демонстрирует трансляционной симметрии , т.е. функция $F$ является периодическим с периодом $Р$ , если график $F$ является инвариантным при переводе в $х$ -направлении на расстояние $Р$ . Это определение периодичности можно распространить на другие геометрические формы и узоры, а также на более высокие измерения, такие как периодические мозаики плоскости. Последовательность также можно рассматривать как функцию , определенную на натуральных числах , так и для периодической последовательности этих понятия определены соответствующим образом .

Примеры

График синусоидальной функции, показывающий два полных периода

Примеры реальных чисел

Синусоидальная функция является периодической с периодом , так ${\ displaystyle 2 \ pi}$

{\ Displaystyle \ грех (х + 2 \ пи) = \ грех х}

для всех значений . Эта функция повторяется с интервалами длины (см. График справа). ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Когда переменная - время, можно увидеть повседневные примеры ; например, стрелки часов или фазы луны показывают периодическое поведение. Периодическое движение - это движение, при котором положение (я) системы выражается в виде периодических функций с одним и тем же периодом.

Для функции от действительных чисел или от целых чисел это означает, что весь граф может быть сформирован из копий одной конкретной части, повторяющихся через равные промежутки времени.

Простым примером периодической функции является функция, которая дает « дробную часть » своего аргумента. Его период равен 1. В частности, ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (0,5) = f (1,5) = f (2,5) = \ cdots = 0,5}

График функции - это пилообразная волна . ${\ displaystyle f}$

Сюжет и ; обе функции периодичны с периодом 2π.

{\ Displaystyle е (х) = \ грех (х)}

{\ Displaystyle г (х) = \ соз (х)}

Тригонометрические функции синус и косинус являются общими периодическими функциями с периодом 2л (см рисунок справа). Предмет ряда Фурье исследует идею о том, что «произвольная» периодическая функция является суммой тригонометрических функций с совпадающими периодами.

Согласно приведенному выше определению, некоторые экзотические функции, например, функция Дирихле , также являются периодическими; в случае функции Дирихле любое ненулевое рациональное число является периодом.

Примеры комплексных чисел

Используя комплексные переменные, мы получаем функцию общего периода:

{\ displaystyle e ^ {ikx} = \ cos kx + i \, \ sin kx.}

Поскольку обе функции косинуса и синуса являются периодическими с периодом 2π, комплексная экспонента состоит из косинусных и синусоидальных волн. Это означает, что формула Эйлера (см. Выше) обладает таким свойством, что если L - период функции, то

{\ displaystyle L = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}

Двойные периодические функции

Функция, областью определения которой являются комплексные числа, может иметь два несоизмеримых периода, не будучи постоянной. В эллиптических функциях такие функции. («Несоизмеримые» в этом контексте означает, что они не могут быть кратными друг другу.)

Характеристики

Периодические функции могут принимать значения много раз. Более конкретно, если функция является периодическим с периодом , то для всех в области и всех положительных целых чисел , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle f (x + nP) = f (x)}

Если - функция с периодом , то , где - ненулевое действительное число, такое, что находится в пределах области , является периодическим с периодом . Например, имеет период, следовательно, будет иметь период . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle f (топор)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle ax}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ textstyle {\ frac {P} {a}}}$ ${\ Displaystyle е (х) = \ грех (х)}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ ${\ Displaystyle \ грех (5x)}$ ${\ textstyle {\ frac {2 \ pi} {5}}}$

Некоторые периодические функции можно описать рядами Фурье . Например, для L ² функций , теорема Карлесон утверждает , что у них есть точечно ( лебегова ) почти всюду сходится ряд Фурье . Ряды Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале. Если - периодическая функция с периодом, которая может быть описана рядом Фурье, коэффициенты ряда могут быть описаны интегралом по интервалу длины . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$

Любая функция, состоящая только из периодических функций с тем же периодом, также является периодической (с периодом равным или меньшим), включая:

сложение, вычитание, умножение и деление периодических функций, а также
взятие степени или корня периодической функции (при условии, что она определена для всех x ).

Обобщения

Антипериодические функции

Одно общее подмножество периодических функций - это антипериодические функции . Это функция f такая, что f ( x + P ) = - f ( x ) для всех x . (Таким образом, P- антипериодическая функция является 2 P -периодической функцией.) Например, функции синуса и косинуса являются π-антипериодическими и 2π-периодическими. Хотя P- антипериодическая функция является 2 P- периодической функцией, обратное не обязательно верно.

Блоховско-периодические функции

Дальнейшее обобщение появляется в контексте теорем Блоха и теории Флоке , которые управляют решением различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно является функцией формы:

{\ Displaystyle е (х + п) = е ^ {ikP} е (х)}

где k - действительное или комплексное число ( волновой вектор Блоха или показатель Флоке ). В этом контексте функции такого вида иногда называют блоховско-периодическими . Периодическая функция является частным случаем к = 0, а антипериодическая функция является частным случаем к = π / Р .

Факторные пространства как домен

При обработке сигналов вы сталкиваетесь с проблемой, что ряды Фурье представляют периодические функции и что ряды Фурье удовлетворяют теоремам свертки (т. Е. Свертка рядов Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции не могут быть свёрнуты с обычным определением, поскольку задействованные интегралы расходятся. Возможный выход - определить периодическую функцию в ограниченной, но периодической области. С этой целью вы можете использовать понятие факторного пространства :

{\ displaystyle {\ mathbb {R} / \ mathbb {Z}} = \ {x + \ mathbb {Z}: x \ in \ mathbb {R} \} = \ {\ {y: y \ in \ mathbb {R } \ земля yx \ in \ mathbb {Z} \}: x \ in \ mathbb {R} \}}

.

То есть, каждый элемент представляет собой класс эквивалентности из действительных чисел , которые разделяют ту же дробную часть . Таким образом, функция like является представлением 1-периодической функции. ${\ Displaystyle {\ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R} / \ mathbb {Z}} \ to \ mathbb {R}}$

Расчетный период

Рассмотрим реальную форму волны, состоящую из наложенных частот, выраженных в виде отношения к основной частоте, f: F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ], где все ненулевые элементы ≥1 и при по крайней мере один из элементов набора равен 1. Чтобы найти период T, сначала найдите наименьший общий знаменатель всех элементов в наборе. Период можно найти как T = LCD ⁄ f . Учтите, что для простой синусоиды T = 1 / f . Следовательно, ЖК-дисплей можно рассматривать как множитель периодичности.

Для набора, представляющего все ноты мажорной западной шкалы: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] ЖК-дисплей равен 24, поэтому T = 24 ⁄ f .
Для набора, представляющего все ноты мажорного трезвучия: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] ЖК-дисплей равен 4, поэтому T = 4 ⁄ f .
Для набора, представляющего все ноты минорного трезвучия: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] ЖК-дисплей равен 10, следовательно, T = 10 ⁄ f .

Если не существует наименьшего общего знаменателя, например, если один из вышеперечисленных элементов был иррациональным, тогда волна не была бы периодической.

Смотрите также

использованная литература

Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 19 . Берлин: Springer-Verlag. С. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. Руководство по ремонту 1051888 .

Languages

In other projects