Перпендикулярный - Perpendicular

Отрезок AB перпендикулярен отрезку CD, потому что два угла, которые он создает (обозначены оранжевым и синим цветом), составляют каждый по 90 градусов. Отрезок AB можно назвать перпендикуляром от A к отрезку CD , используя слово «перпендикуляр» как существительное. Точка В называется основание перпендикуляра от А до сегмента CD , или просто, то нога А на компакт - диске .

В элементарной геометрии два геометрических объекта перпендикулярны, если они пересекаются под прямым углом (90 градусов или π / 2 радиан).

Линия называется перпендикулярной другой, если две линии пересекаются под прямым углом. Явно первая линия перпендикулярна второй линии, если (1) две линии пересекаются; и (2) в точке пересечения прямой угол на одной стороне первой линии разделен второй линией на два совпадающих угла . Перпендикулярность может быть симметричной , то есть если первая линия перпендикулярна второй линии, то вторая линия также перпендикулярна первой. По этой причине мы можем говорить о двух линиях как о перпендикулярных (друг другу) без указания порядка.

Перпендикулярность легко распространяется на отрезки и лучи . Например, линейный сегмент перпендикулярен линейному сегменту, если, когда каждый продлен в обоих направлениях, чтобы сформировать бесконечную линию, эти две результирующие линии перпендикулярны в указанном выше смысле. В символах означает, что отрезок AB перпендикулярен отрезку CD. Для получения информации о перпендикулярном символе см. Подъемная закрепка . ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {CD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}} \ perp {\ overline {CD}}}$

Линия называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в плоскости, которую она пересекает. Это определение зависит от определения перпендикулярности между линиями.

Две плоскости в пространстве называются перпендикулярными, если двугранный угол, под которым они встречаются, является прямым.

Перпендикулярность - это частный пример более общей математической концепции ортогональности ; перпендикулярность - это ортогональность классических геометрических объектов. Таким образом, в продвинутой математике слово «перпендикулярный» иногда используется для описания гораздо более сложных геометрических условий ортогональности, например, между поверхностью и ее нормалью .

Нога перпендикуляра

Слово стопа часто используется в связи с перпендикулярами. Это использование проиллюстрировано на верхней диаграмме выше и в ее заголовке. Схема может быть в любой ориентации. Стопа не обязательно внизу.

Точнее, пусть $A$ будет точкой, а $m$ - прямой. Если $B$ является точкой пересечения $м$ и уникальной линии , проходящей через $А$ , перпендикулярные $м$ , то $В$ называются ногой этого перпендикуляра через $A$ .

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра (синий) к прямой AB через точку P.

Построение перпендикуляра к полуоси h из точки P (применимо не только в конечной точке A, M выбирается произвольно), анимация в конце с паузой 10 с

Чтобы провести перпендикуляр к линии AB через точку P с помощью построения циркуля и линейки , действуйте следующим образом (см. Рисунок слева):

Шаг 1 (красный): постройте круг с центром в точке P, чтобы создать точки A 'и B' на линии AB, которые равноудалены от P.
Шаг 2 (зеленый): построить круги с центрами A 'и B' равного радиуса. Пусть Q и P - точки пересечения этих двух окружностей.
Шаг 3 (синий): соедините Q и P, чтобы построить желаемый перпендикуляр PQ.

Чтобы доказать, что точка PQ перпендикулярна AB, используйте теорему сравнения SSS для 'и QPB', чтобы заключить, что углы OPA 'и OPB' равны. Затем используйте теорему сравнения SAS для треугольников OPA 'и OPB', чтобы заключить, что углы POA и POB равны.

Чтобы сделать перпендикуляр к линии g в точке P или через нее, используя теорему Фалеса , см. Анимацию справа.

Теорема Пифагора может быть использована как основа методов построения прямых углов. Например, посчитав звенья, можно сделать три отрезка цепи с длинами в соотношении 3: 4: 5. Их можно расположить так, чтобы получился треугольник, у которого будет прямой угол напротив его самой длинной стороны. Этот метод полезен для разбивки садов и полей, где размеры велики и не требуется большой точности. Цепи можно использовать повторно, когда это необходимо.

По отношению к параллельным линиям

Знаки стрелок указывают на то, что линии a и b , пересеченные поперечной линией c , параллельны.

Если две прямые ( a и b ) перпендикулярны третьей линии ( c ), все углы, образованные вдоль третьей линии, являются прямыми углами. Следовательно, в евклидовой геометрии любые две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу из-за постулата параллельности . И наоборот, если одна линия перпендикулярна второй линии, она также перпендикулярна любой линии, параллельной этой второй линии.

На рисунке справа все углы, заштрихованные оранжевым, конгруэнтны друг другу, а все углы, заштрихованные зеленым, конгруэнтны друг другу, потому что вертикальные углы конгруэнтны, а чередующиеся внутренние углы, образованные поперечными параллельными линиями разреза, равны конгруэнтный. Следовательно, если прямые a и b параллельны, любой из следующих выводов приводит ко всем остальным:

Один из углов на схеме - прямой.
Один из углов, заштрихованных оранжевым, соответствует одному из углов, заштрихованных зеленым.
Линия c перпендикулярна линии a .
Линия c перпендикулярна линии b .

В вычислении расстояний

Расстояние от точки до линии расстояние до ближайшей точки на этой линии. Это точка, в которой отрезок от нее до данной точки перпендикулярен прямой.

Точно так же расстояние от точки до кривой измеряется отрезком линии, перпендикулярным касательной к кривой в ближайшей точке кривой.

Перпендикулярная регрессия подгоняет линию к точкам данных за счет минимизации суммы квадратов перпендикулярных расстояний от точек данных до линии.

Расстояние от точки до плоскости измеряются как длина от точки вдоль отрезка, перпендикулярной к плоскости, а это означает , что она перпендикулярна все линии в плоскости , которые проходят через ближайшую точку на плоскости в данной точку .

График функций

В двумерной плоскости, прямые углы могут быть образованы с помощью двух пересеченных линий , если продукт их склонов равен -1. Таким образом, определяя две линейные функции : $y 1 = a 1 x + b 1$ и $y 2 = a 2 x + b 2$ , графики функций будут перпендикулярны и образуют четыре прямых угла в местах пересечения линий, если $a 1 a 2 = -1$ . Однако этот метод нельзя использовать, если наклон равен нулю или не определен (линия параллельна оси).

Для другого метода пусть две линейные функции будут: $a 1 x + b 1 y + c 1 = 0$ и $a 2 x + b 2 y + c 2 = 0$ . Линии будут перпендикулярными тогда и только тогда, когда $a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0$ . Этот метод упрощен от скалярного произведения (или, в более общем смысле, внутреннего произведения ) векторов . В частности, два вектора считаются ортогональными, если их внутренний продукт равен нулю.

В кругах и других кониках

Круги

Каждый диаметр из круга перпендикулярно к касательной к этой окружности в точке , где диаметр пересекает окружность.

Отрезок, проходящий через центр окружности, разделяющий хорду пополам , перпендикулярен хорде.

Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b и делит другую хорду на длины c и d , то a ² + b ² + c ² + d ² равно квадрату диаметра.

Сумма квадратов длин любых двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в данной точке, такая же, как и у любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и задается формулой 8 r ² - 4 p ² (где r - длина окружности радиус, а p - расстояние от центральной точки до точки пересечения).

Теорема Фалеса утверждает, что две прямые, проходящие через одну и ту же точку на окружности, но проходящие через противоположные концы диаметра, перпендикулярны. Это эквивалентно тому, что любой диаметр окружности образует прямой угол в любой точке окружности, кроме двух конечных точек диаметра.

Эллипсы

Большие и малые оси самолета Ан эллипса перпендикулярны друг друг и касательные к эллипсу в точках , где оси пересекаются эллипс.

Большая ось эллипса перпендикулярна направляющей и каждой прямой кишке .

Параболы

В параболе ось симметрии перпендикулярна каждой прямой прямой кишке, директрисе и касательной в точке, где ось пересекает параболу.

От точки на касательной к вершине параболы другая касательная линия к параболе перпендикулярна прямой, идущей от этой точки через фокус параболы .

Ортоптический свойство параболы является то , что если две касательные к параболе перпендикулярны друг к другу, то они пересекаются на директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся на директрисе, перпендикулярны. Это означает, что если смотреть из любой точки на своей директрисе, любая парабола имеет прямой угол.

Гиперболы

Поперечная ось из гиперболы перпендикулярна к сопряженной оси и к каждому директрисы.

Произведение перпендикулярных расстояний от точки P на гиперболе или на ее сопряженной гиперболе до асимптот является константой, не зависящей от местоположения P.

У прямоугольной гиперболы есть асимптоты , перпендикулярные друг другу. Его эксцентриситет равен ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}.}$

В полигонах

Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу.

На высотах от в треугольнике перпендикулярны их соответствующих оснований . В перпендикулярных биссектрисах сторон также играют важную роль в геометрии треугольника.

Эйлер линия из равнобедренного треугольника перпендикулярна к основанию треугольника.

Теорема Дроза-Фарни касается свойства двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в ортоцентре треугольника .

Теорема Харкорта касается отношения отрезков прямых, проходящих через вершину и перпендикулярных любой прямой, касающейся вписанной окружности треугольника .

Четырехугольники

В квадрате или другом прямоугольнике все пары смежных сторон перпендикулярны. Правая трапеция является трапецией , который имеет две пары смежных сторон, которые перпендикулярны.

Каждый из четырех maltitudes одного четырехугольника является перпендикулярным к стороне через середину стороны , противоположной.

Orthodiagonal четырехугольник является четырехугольником , чьи диагонали перпендикулярны. К ним относятся квадрат , ромб и воздушный змей . По теореме Брахмагупты в ортодиагональном четырехугольнике, который также является вписанным , линия, проходящая через середину одной стороны и точку пересечения диагоналей, перпендикулярна противоположной стороне.

По теореме ван Обеля , если квадраты построены снаружи на сторонах четырехугольника, отрезки прямых, соединяющие центры противоположных квадратов, перпендикулярны и равны по длине.

Линии в трех измерениях

До трех линий в трехмерном пространстве могут быть попарно перпендикулярными, как показано на примере осей x, y и z трехмерной декартовой системы координат .

Смотрите также

Тангенциальные и нормальные компоненты

Примечания

использованная литература

Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 52-13504
Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN 69-12075

внешние ссылки

Определение: перпендикуляр с интерактивной анимацией.
Как нарисовать серединный перпендикуляр к прямой с помощью циркуля и линейки (анимированная демонстрация).
Как нарисовать перпендикуляр в конечной точке луча с помощью циркуля и линейки (анимированная демонстрация).

Languages

In other projects