Полярное разложение - Polar decomposition

В математике , то полярное разложение квадратной вещественной или комплексной матрицы является разложение вида , где является унитарной матрицей и является положительным полуопределенная эрмитовой матрицей , как квадратные и одного и того же размера. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A = UP}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle P}$

Интуитивно, если реальная матрица интерпретируются как линейное преобразование в n - мерного пространства , полярное разложение отделяет его в поворот или отражение от , и масштабирования пространства вдоль множества ортогональных осей. ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle n}$

Полярное разложение квадратной матрицы существует всегда. Если это обратимое , то разложение единственно, и фактор будет положительно определен . В этом случае можно однозначно записать в виде , где - унитарно, а - единственный самосопряженный логарифм матрицы . Это разложение полезно при вычислении фундаментальной группы (матричных) групп Ли . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A = Ue ^ {X}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$

Полярное разложение также может быть определено как где - симметричная положительно определенная, но в общем случае это другая матрица, в то время как это та же матрица, что и выше. ${\ displaystyle A = PU}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle U}$

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матрицы аналога полярной формы в виде комплексного числа , как , где есть его абсолютное значение (неотрицательное действительное число ), и представляет собой комплексное число с единичной нормой (элементом из круговая группа ). ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle z = ur}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle u}$

Определение может быть расширено до прямоугольных матриц , требуя быть полуунитарной матрицей и положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей. Разложение всегда существует и всегда уникально. Матрица уникальна тогда и только тогда, когда имеет полный ранг. ${\ displaystyle A = UP}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m \ times n}}$ ${\ Displaystyle U \ in \ mathbb {C} ^ {m \ times n}}$ ${\ Displaystyle P \ in \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle A}$

Характеристики

Полярное разложение комплексно сопряженного к дается Заметим, что ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {U}} {\ overline {P}}.}$

{\ Displaystyle \ Det A = \ Det U \ Det P = е ^ {я \ тета} \ CDOT R}

дает соответствующее полярное разложение определителя из А , так и . В частности, если имеет определитель 1, то оба и имеют определитель 1. ${\ Displaystyle \ Det U = е ^ {я \ тета}}$ ${\ Displaystyle \ Det P = r = | \ Det A |}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle P}$

Положительная полуопределенной матрица P всегда уникален, даже если является сингулярным , и обозначается как

{\ displaystyle P = \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {\ frac {1} {2}},}

где обозначает сопряженное транспонирование о . Уникальность P гарантирует, что это выражение четко определено. Уникальность гарантируется тем, что матрица является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей и, следовательно, имеет единственный положительно-полуопределенный эрмитов квадратный корень . Если A обратима, то P положительно определена, следовательно, также обратима, а матрица U однозначно определяется формулой ${\ displaystyle A ^ {*}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$

{\ displaystyle U = AP ^ {- 1}.}

Интуитивная интерпретация

Реальная квадратная матрица может быть интерпретирована как линейное преобразование из , которая принимает вектор - столбца с . Тогда в полярном разложении множителем является вещественная ортонормированная матрица. Полярное разложение тогда можно рассматривать как выражающее линейное преобразование , определенный в масштабировании пространства вдоль каждого собственного вектора из на масштабный коэффициент (действие ), за которым следует один оборот или отражение (действие ). ${\ displaystyle m \ times m}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle Ax}$ ${\ displaystyle A = RP}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle m \ times m}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle R}$

В качестве альтернативы, разложение выражает преобразование, определяемое как вращение ( ) с последующим масштабированием ( ) вдоль определенных ортогональных направлений. Коэффициенты масштабирования такие же, но направления разные. ${\ displaystyle A = PR}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle P}$

Отношение к СВД

В терминах сингулярного разложения (SVD) из , один имеет ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A = W \ Sigma V ^ {*}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} P & = V \ Sigma V ^ {*} \\ U & = WV ^ {*} \ end {align}}}

где , и - унитарные матрицы (называемые ортогональными матрицами, если поле является вещественным ). Это подтверждает, что это положительно определенное и унитарное. Таким образом, существование SVD эквивалентно существованию полярного разложения. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle U}$

Также можно разложить в виде ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = P'U}

Здесь то же самое, что и раньше, и дается выражением ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle P '}$

{\ displaystyle P '= UPU ^ {- 1} = \ left (AA ^ {*} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = W \ Sigma W ^ {*}.}

Это называется левым полярным разложением, тогда как предыдущее разложение известно как правое полярное разложение. Левополярное разложение также известно как обратное полярное разложение.

Матрица является нормальным , если и только если . Тогда , и можно диагонализовать с унитарной матрицей подобия, которая коммутирует с , давая , где - диагональная унитарная матрица фаз . Положив , тогда можно переписать полярное разложение в виде ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle P '= P}$ ${\ Displaystyle U \ Sigma = \ Sigma U}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle SUS ^ {*} = \ Phi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle e ^ {я \ varphi}}$ ${\ displaystyle Q = VS ^ {*}}$

{\ displaystyle A = \ left (Q \ Phi Q ^ {*} \ right) \ left (Q \ Sigma Q ^ {*} \ right), \,}

так что, таким образом, также имеет спектральное разложение ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {*}}

с комплексными собственными значениями, такими что и унитарная матрица комплексных собственных векторов . ${\ Displaystyle \ Lambda \ Lambda ^ {*} = \ Sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle Q}$

Полярное разложение квадратной обратимой вещественной матрицы имеет вида ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle A = | A | R}

где это положительно определенная матрица и является ортогональной матрицей. ${\ displaystyle | A | = \ left (AA ^ {\textf {T}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle R = | A | ^ {- 1} A}$

Построение и доказательства существования

Основная идея построения полярного разложения аналогична той, которая используется для вычисления разложения по сингулярным числам .

Для любого матрица является эрмитовой и положительно полуопределенной и, следовательно, унитарно эквивалентной положительной полуопределенной диагональной матрице. Позвольте тогда быть унитарным таким, что , с диагональю и положительной полуопределенной. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A = VDV ^ {*}}$ ${\ displaystyle D}$

Случай нормального ${\ displaystyle A}$

Если нормальный, то он унитарно эквивалентен диагональной матрице: для некоторой унитарной и некоторой диагональной матрицы . Затем мы можем написать ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A = V \ Lambda V ^ {*}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$

{\ Displaystyle A = V \ Phi _ {\ Lambda} | \ Lambda | V ^ {*} = \ underbrace {\ left (V \ Phi _ {\ Lambda} V ^ {*} \ right)} _ {\ Equiv U} \ underbrace {\ left (V | \ Lambda | V ^ {*} \ right)} _ {\ Equiv P},}

где - диагональная матрица, содержащая фазы элементов , то есть, или произвольное комплексное число с единицей величины, когда . ${\ displaystyle \ Phi _ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle (\ Phi _ {\ Lambda}) _ {ii} \ Equiv \ Lambda _ {ii} / | \ Lambda _ {ii} |}$ ${\ displaystyle (\ Phi _ {\ Lambda}) _ {ii}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {ii} = 0}$

Таким образом , полярное разложение имеет диагональный и диагональный характер на основе собственных значений и с собственными значениями, равными фазам и абсолютным значениям собственных значений соответственно. ${\ displaystyle A = UP}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

Случай обратимого ${\ displaystyle A}$

Из разложения по сингулярным числам можно показать, что a обратимо тогда и только тогда, когда (эквивалентно ) есть. Более того, это верно тогда и только тогда, когда все собственные значения не равны нулю. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle AA ^ {*}}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$

В этом случае полярное разложение непосредственно получается записью

{\ displaystyle A = A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {\ frac {1 } {2}},}

и наблюдение за этим унитарно. Чтобы убедиться в этом, мы можем использовать спектральное разложение для записи . ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = AVD ^ {- {\ frac {1} {2}}} V ^ {* }}$

В этом выражении унитарно, потому что есть. Чтобы показать, что это тоже унитарно, мы можем использовать SVD для записи , так что ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle AVD ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ Displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*}}$

{\ displaystyle AVD ^ {- {\ frac {1} {2}}} = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} VD ^ {- {\ frac {1} {2}} } = W,}

где снова унитарна по построению. ${\ displaystyle W}$

Еще один способ показать непосредственно унитарности , следует отметить , что, записывая СВД из в терминах ранга 1 матриц , как , где есть особые значения , мы имеем ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A = \ sum _ {k} s_ {k} v_ {k} w_ {k} ^ {*}}$ ${\ displaystyle s_ {k}}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ left (\ sum _ {j} \ lambda _ {j} v_ {j} w_ {j} ^ {*} \ right) \ left (\ sum _ {k} | \ lambda _ {k} | ^ {- 1} w_ {k} w_ {k} ^ {*} \ right) = \ сумма _ {k} {\ frac {\ lambda _ {k}} {| \ lambda _ {k} |}} v_ {k} w_ {k} ^ {*},}

что прямо подразумевает унитарность, потому что матрица унитарна тогда и только тогда, когда ее сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение. ${\ displaystyle A \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

Обратите внимание, как из приведенной выше конструкции следует, что унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определена однозначно .

Общий случай

SVD чтений с унитарными матрицами и диагональной положительно полуопределенной матрицей. Просто вставив дополнительную пару s или s, мы получим две формы полярного разложения : ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*}}$ ${\ displaystyle W, V}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} = \ underbrace {\ left (WD ^ {\ frac {1} {2}} W ^ {*} \ right)} _ {P} \ underbrace {\ left (WV ^ {*} \ right)} _ {U} = \ underbrace {\ left (WV ^ {*} \ right)} _ {U} \ underbrace {\ left (VD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} \ right)} _ {P '}.}

Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве

Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора А между комплексными гильбертовыми пространствами является каноническим разложением как произведение частичной изометрии и неотрицательным оператор.

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если A - ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведение A = UP, где U - частичная изометрия, P - неотрицательный самосопряженный оператор и начальный пространство U является замыканием диапазона P .

Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не унитарной, из-за следующих проблем. Если A - односторонний сдвиг на l ² ( N ), то | А | = { ^* } ^½ = I . Итак, если A = U | A |, U должно быть A , которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма. Если A , B - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и A ^* A ≤ B ^* B , то существует сжатие C такое, что A = CB . Кроме того, C уникально, если Ker ( B ^* ) ⊂ Ker ( C ).

Операторы С может быть определенно с помощью C (Bh) : = Ah для всех ч в H , продолжается по непрерывности до закрытия Ran ( B ), и нуль на ортогональном дополнение ко всему Н . Лемма следует из того, что из A ^* A ≤ B ^* B следует Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ).

Особенно. Если A ^* A = B ^* B , то C - частичная изометрия, которая единственна, если Ker ( B ^* ) ⊂ Ker ( C ). В общем, для любого ограниченного оператора А ,

{\ Displaystyle A ^ {*} A = \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {\ frac { 1} {2}},}

где ( A ^* A ) ^½ - единственный положительный квадратный корень из A ^* A, полученный с помощью обычного функционального исчисления . Итак, по лемме имеем

{\ displaystyle A = U \ left (A ^ {*} A \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

для некоторой частичной изометрии U , которая единственна, если Ker ( A ^* ) ⊂ Ker ( U ). Возьмем P равным ( A ^* A ) ^½, и получим полярное разложение A = UP . Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U ' , где P' положительно, а U ' - частичная изометрия.

Когда H конечномерно, U можно продолжить до унитарного оператора; в целом это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение можно показать с помощью операторной версии разложения по сингулярным числам .

По свойству непрерывного функционального исчисления , | | находится в C * -алгебры , порожденной A . Аналогичное , но более слабое утверждение справедливо и для частичной изометрии: U находится в алгебре фон Неймана , порожденной A . Если A обратима, полярная часть U также будет в C * -алгебре .

Неограниченные операторы

Если A - замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то он все еще имеет (единственное) полярное разложение

{\ Displaystyle А = U | А | \,}

где | А | является (возможно, неограниченным) неотрицательным самосопряженным оператором с той же областью определения , что и A , а U - частичная изометрия, исчезающая на ортогональном дополнении диапазона Ran (| A |).

Доказательство использует ту же лемму, что и выше, которая в общем случае проходит для неограниченных операторов. Если Dom ( A ^* A ) = Dom ( B ^* B ) и A ^* Ah = B ^* Bh для всех h ∈ Dom ( A ^* A ), то существует частичная изометрия U такая, что A = UB . U единственно, если Ran ( B ) ^⊥ ⊂ Ker ( U ). Оператор закрывается и плотно определенно гарантирует , что оператор ^* самосопряжено (с плотной областью) и , следовательно , позволяет определить ( ^* ) ^½ . Применение леммы дает полярное разложение.

Если неограниченный оператор является филиалом к алгебре фон Неймана M , и = UP является полярное разложение, то U в M и поэтому спектральный проектор Р , 1 _Б ( Р ), для любого множества борелевском B в [ 0, ∞).

Кватернионное полярное разложение

Полярное разложение кватернионов Н зависит от единичной 2-мерной сферы из квадратных корней минус один . При любом г на этой сфере, и угол -π < ≤ π, то versor находится на единичной 3-сферы из H . Для a = 0 и a = π версор равен 1 или -1 независимо от того, какой r выбран. Норма т кватернионов д является евклидово расстояние от начала координат до д . Когда кватернион - это не просто действительное число, тогда существует уникальное полярное разложение ${\ Displaystyle \ lbrace xi + yj + zk \ in H: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ rbrace}$ ${\ Displaystyle е ^ {ар} = \ соз (а) + г \ \ грех (а)}$ ${\ displaystyle q = te ^ {ar}.}$

Альтернативные плоские разложения

В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают следующим образом:

Если x ≠ 0 , z = x (1 + ε ( y / x )) является полярным разложением двойственного числа z = x + y ε , где ε ² = 0 ; т. е. ε нильпотентна . В этом полярном разложении единичный круг заменен линией x = 1 , полярный угол наклоном y / x , а радиус x отрицателен в левой полуплоскости.
Если x ² ≠ y ² , то единичная гипербола x ² - y ² = 1 и ее сопряженная x ² - y ² = −1 могут быть использованы для формирования полярного разложения на основе ветви единичной гиперболы через (1, 0 ) . Эта ветвь параметризуется гиперболическим углом a и записывается как
${\ Displaystyle \ сш (а) + J \ \ зп (а) = \ ехр (адж) = е ^ {aj}}$

где j ² = +1 и используется арифметика комплексных чисел с разбиением . Ветвь через (−1, 0) отслеживается - e ^aj . Поскольку операция умножения на j отражает точку на линии y = x , вторая гипербола имеет ветви, обозначенные je ^aj или - je ^aj . Следовательно, точка в одном из квадрантов имеет полярное разложение в одной из форм:

${\ displaystyle re ^ {aj}, - re ^ {aj}, rje ^ {aj}, - rje ^ {aj}, \ quad r> 0}$
Множество {1, −1, j, −j} имеет произведения, которые делают его изоморфным четырехгруппе Клейна . Очевидно, в полярном разложении в этом случае участвует элемент из этой группы.

Численное определение полярного разложения матрицы

Чтобы вычислить приближение полярного разложения A = UP , обычно аппроксимируют унитарный множитель U. Итерация основана на методе Герона для квадратного корня из 1 и вычисляет, начиная с , последовательность ${\ displaystyle U_ {0} = A}$

{\ Displaystyle U_ {к + 1} = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ left (U_ {k} + \ left (U_ {k} ^ {*} \ right) ^ {- 1} \ right) , \ qquad k = 0,1,2, \ ldots}

Комбинация инверсии и сопряжения Эрмита выбрана так, чтобы при разложении по сингулярным значениям унитарные множители оставались неизменными, а итерация сводилась к методу Герона по сингулярным значениям.

Эту базовую итерацию можно улучшить, чтобы ускорить процесс:

Каждый шаг или через равные промежутки времени оценивается диапазон сингулярных значений, а затем матрица масштабируется, чтобы центрировать сингулярные значения около 1 . Коэффициент масштабирования вычисляется с использованием норм матрицы и обратной матрицы. Примеры таких масштабных оценок: ${\ displaystyle U_ {k}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {k} U_ {k}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {k}}$
${\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {\ left \ | U_ {k} ^ {- 1} \ right \ | _ {1} \ left \ | U_ {k } ^ {- 1} \ right \ | _ {\ infty}} {\ left \ | U_ {k} \ right \ | _ {1} \ left \ | U_ {k} \ right \ | _ {\ infty} }}}}$

используя нормы матриц суммы строк и столбцов, или

${\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ sqrt {\ frac {\ left \ | U_ {k} ^ {- 1} \ right \ | _ {F}} {\ left \ | U_ {k} \ right \ | _ {F}}}}}$

используя норму Фробениуса . Включая масштабный коэффициент, итерация теперь

${\ displaystyle U_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ gamma _ {k} U_ {k} + {\ frac {1} {\ gamma _ {k}}} \ слева (U_ {k} ^ {*} \ right) ^ {- 1} \ right), \ qquad k = 0,1,2, \ ldots}$
QR - разложение может быть использовано на стадии приготовления , чтобы уменьшить особую матрицу А до меньшей регулярной матрицы, так и внутри каждый шаг , чтобы ускорить вычисление обратного.
Метод Герона для вычисления корней может быть заменен методами более высокого порядка, например, на основе метода Галлея третьего порядка, в результате чего ${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$
${\ displaystyle U_ {k + 1} = U_ {k} \ left (I + 3U_ {k} ^ {*} U_ {k} \ right) ^ {- 1} \ left (3I + U_ {k} ^ { *} U_ {k} \ right), \ qquad k = 0,1,2, \ ldots}$
Эту итерацию снова можно комбинировать с изменением масштаба. Эта конкретная формула имеет то преимущество , что оно также применимо к сингулярной или прямоугольные матрицы A .

Смотрите также

использованная литература

Конвей, JB : курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Springer 1990
Дуглас Р.Г. О мажоризации, факторизации и включении диапазонов операторов в гильбертовом пространстве. Proc. Амер. Математика. Soc. 17 , 413-415 (1966)
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7

Languages

In other projects

Полярное разложение - Polar decomposition

СОДЕРЖАНИЕ