Проблема Аполлония - Problem of Apollonius

Рисунок 1: Решение (выделено фиолетовым цветом) проблемы Аполлония. Данные кружки показаны черным цветом.

Рисунок 2: Четыре дополнительные пары решений проблемы Аполлония; данные кружки черные.

В евклидовой геометрии плоскости , задача Аполлония в состоит в построении окружностей, касательная к трем данным окружностей на плоскости (рисунок 1). Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н . Э. - ок. 190 до н . Э.) Поставил и решил эту знаменитую проблему в своем труде Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Касания»); эта работа была утеряна , но сохранился отчет Паппа Александрийского о его результатах в 4 веке нашей эры . Три заданных круга обычно имеют восемь различных окружностей, которые касаются их (рисунок 2), пара решений для каждого способа разделить три заданных круга на два подмножества (есть 4 способа разделить набор мощности 3 на 2 части) .

В 16 веке Адриан ван Румен решил проблему, используя пересекающиеся гиперболы , но это решение не использует только линейку и конструкции компаса . Франсуа Виет нашел такое решение, используя предельные случаи : любую из трех заданных окружностей можно уменьшить до нулевого радиуса (точка) или расширить до бесконечного радиуса (линия). Подход Виэта, который использует более простые предельные случаи для решения более сложных, считается правдоподобной реконструкцией метода Аполлония. Метод ван Румена был упрощен Исааком Ньютоном , который показал, что проблема Аполлония эквивалентна нахождению позиции по разностям ее расстояний до трех известных точек. Это имеет приложения в системах навигации и позиционирования, таких как LORAN .

Позже математики ввели алгебраические методы, которые преобразовывают геометрическую задачу в алгебраические уравнения . Эти методы были упрощены за счет использования симметрии, присущей проблеме Аполлония: например, круги решений обычно встречаются парами, причем одно решение охватывает данные круги, а другое исключает (рис. 2). Джозеф Диас Гергонн использовал эту симметрию, чтобы создать элегантную линейку и компас, в то время как другие математики использовали геометрические преобразования, такие как отражение в круге, чтобы упростить конфигурацию данных кругов. Эти разработки обеспечивают геометрическую основу для алгебраических методов (с использованием геометрии сферы Ли ) и классификацию решений согласно 33 существенно различным конфигурациям данных окружностей.

Проблема Аполлония стимулировала дальнейшую работу. Были изучены обобщения на три измерения - построение сферы, касательной к четырем данным сферам, - и далее . Особое внимание привлекла конфигурация трех касательных друг к другу окружностей. Рене Декарт дал формулу, связывающую радиусы окружностей решения и данных окружностей, теперь известную как теорема Декарта . Итеративное решение проблемы Аполлония в этом случае приводит к аполлоновской прокладке , которая является одним из самых ранних фракталов, описанных в печати, и важна в теории чисел с помощью кругов Форда и метода кругов Харди – Литтлвуда .

Постановка задачи

Общая постановка проблемы Аполлония состоит в том, чтобы построить одну или несколько окружностей, которые касаются трех заданных объектов на плоскости, где объект может быть линией, точкой или кругом любого размера. Эти объекты могут располагаться как угодно и пересекаться друг с другом; тем не менее, они обычно считаются различными, что означает, что они не совпадают. Решения проблемы Аполлония иногда называют кругами Аполлония , хотя этот термин также используется для других типов кругов, связанных с Аполлонием.

Свойство касания определяется следующим образом. Во-первых, предполагается, что точка, линия или окружность касаются самой себя; следовательно, если данный круг уже касается двух других данных объектов, он считается решением проблемы Аполлония. Говорят, что два различных геометрических объекта пересекаются, если у них есть общая точка. По определению точка касается окружности или линии, если она их пересекает, то есть лежит на них; таким образом, две различные точки не могут касаться друг друга. Если угол между прямыми или окружностями в точке пересечения равен нулю, они называются касательными ; точка пересечения называется касательной точкой или точкой касания . (Слово «касательная» происходит от латинского причастия настоящего , tangens , означающего «касание».) На практике две различные окружности касаются друг друга, если они пересекаются только в одной точке; если они пересекаются в нуле или двух точках, они не касаются друг друга. То же самое верно для линии и круга. Две различные прямые не могут касаться плоскости, хотя две параллельные прямые можно рассматривать как касательные в бесконечно удаленной точке в инверсивной геометрии (см. Ниже ).

Окружность решения может касаться либо внутренней, либо внешней касательной к каждой из данных окружностей. Внешнее касание одна , где две окружности сгибать на расстоянии друг от друга в их точке контакта; они лежат по разные стороны касательной в этой точке и исключают друг друга. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Напротив, внутреннее касание - это такое касание, при котором две окружности изгибаются одинаково в точке их соприкосновения; две окружности лежат по одну сторону от касательной, и одна окружность охватывает другую. В этом случае расстояние между их центрами равно разнице их радиусов. В качестве иллюстрации на Рисунке 1 розовый круг решения касается внутренней стороны к заданному черному кругу среднего размера справа, тогда как он внешне касается самого маленького и самого большого заданных кругов слева.

Проблема Аполлония также может быть сформулирована как проблема нахождения одной или нескольких точек таким образом, чтобы разности расстояний до трех заданных точек равнялись трем известным значениям. Рассмотрим круг решения радиуса r _s и три заданные окружности радиусов r ₁ , r ₂ и r ₃ . Если окружность решения внешне касается всех трех заданных окружностей, расстояния между центром окружности решения и центрами данных окружностей равны d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s и d ₃ = r ₃ + r _s соответственно. Следовательно, различия в этих расстояниях являются постоянными, например d ₁ - d ₂ = r ₁ - r ₂ ; они зависят только от известных радиусов данных окружностей, а не от радиуса r _s окружности решения, которая сокращается. Эту вторую формулировку задачи Аполлония можно обобщить на внутренне касательные окружности решений (для которых расстояние между центрами равно разности радиусов), изменив соответствующие разности расстояний на суммы расстояний, так что радиус окружности решения r _s снова отменяется. Переформулировка в терминах центрально-центр расстояний полезно в растворах ниже по Ромнам, Адриан ван и Исаак Ньютона , а также в гиперболическом позиционировании или трилатерации, что задача определения местоположения позиции от разницы в расстояниях до трех известных точек. Например, такие навигационные системы, как LORAN, идентифицируют положение приемника по разнице во времени прихода сигналов из трех фиксированных позиций, что соответствует разнице расстояний до этих передатчиков.

История

Был разработан богатый репертуар геометрических и алгебраических методов для решения проблемы Аполлония, которую назвали «самой известной из всех» задач геометрии. Первоначальный подход Аполлония Пергского был утерян, но Франсуа Виет и другие предложили реконструкцию , основанную на подсказках в описании Паппа Александрийского . Первый новый метод решения был опубликован в 1596 году Адрианом ван Руменом , который определил центры окружностей решения как точки пересечения двух гипербол . Метод Ван Румена был усовершенствован в 1687 году Исааком Ньютоном в его « Началах» и Джоном Кейси в 1881 году.

Несмотря на успех в решении проблемы Аполлония, метод ван Румена имеет недостаток. Ценным свойством классической евклидовой геометрии является способность решать задачи, используя только циркуль и линейку . Многие конструкции невозможны с использованием только этих инструментов, например, разделение угла на три равные части . Однако многие такие «невозможные» проблемы могут быть решены путем пересечения кривых, таких как гиперболы, эллипсы и параболы ( конические сечения ). Например, удвоение куба (задача построения куба, в два раза превышающего объем данного куба) не может быть выполнено с использованием только линейки и циркуля, но Менахм показал, что проблема может быть решена с помощью пересечения двух парабол . Следовательно, решение ван Румена, использующее пересечение двух гипербол, не определяло, удовлетворяет ли задача свойству линейки и компаса.

Друг ван Румена Франсуа Виэте , который уговаривал ван Румена в первую очередь работать над проблемой Аполлония, разработал метод, в котором использовались только циркуль и линейка. До решения Виэта Региомонтан сомневался, можно ли решить проблему Аполлония с помощью линейки и циркуля. Виет первым решил несколько простых частных случаев проблемы Аполлония, таких как нахождение круга, проходящего через три заданные точки, который имеет только одно решение, если точки различны; Затем он приступил к решению более сложных частных случаев, в некоторых случаях сжимая или увеличивая данные круги. Согласно отчету Паппа 4-го века, в собственной книге Аполлония по этой проблеме, озаглавленной Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Касания»; лат. De tactionibus , De contactibus ), использовался аналогичный прогрессивный подход. Следовательно, решение Виэта считается правдоподобной реконструкцией решения Аполлония, хотя другие реконструкции были опубликованы независимо тремя разными авторами.

Несколько других геометрических решений проблемы Аполлония были разработаны в 19 веке. Наиболее заметными решениями являются решения Жана-Виктора Понселе (1811 г.) и Жозефа Диаса Жергонна (1814 г.). В то время как доказательство Понселе опирается на гомотетические центры окружностей и силу точечной теоремы, метод Жергонна использует взаимосвязь между прямыми и их полюсами в окружности. Методы, использующие инверсию круга, были впервые предложены Юлиусом Петерсеном в 1879 году; Одним из примеров является метод кольцевого решения HSM Coxeter . Другой подход использует геометрию сферы Ли , которую разработал Софус Ли .

Алгебраические решения проблемы Аполлония были впервые предложены в 17 веке Рене Декартом и принцессой Богемии Елизаветой , хотя их решения были довольно сложными. Практические алгебраические методы были разработаны в конце 18-го и 19-го веков несколькими математиками, включая Леонарда Эйлера , Николаса Фусса , Карла Фридриха Гаусса , Лазара Карно и Огюстена Луи Коши .

Методы решения

Пересекающиеся гиперболы

Рисунок 3: Два заданных круга (черный) и касательный к ним круг (розовый). Межцентровые расстояния d ₁ и d ₂ равны r ₁ + r _s и r ₂ + r _s , соответственно, поэтому их разница не зависит от r _s .

Решение Адриана ван Румена (1596 г.) основано на пересечении двух гипербол . Обозначим данные круги как C ₁ , C ₂ и C ₃ . Ван Румен решил общую проблему, решив более простую задачу - найти окружности, которые касаются двух заданных окружностей, таких как C ₁ и C ₂ . Он отметил, что центр окружности, касающейся обеих данных окружностей, должен лежать на гиперболе , фокусы которой являются центрами данных окружностей. Чтобы понять это, пусть радиусы окружности решения и двух заданных окружностей обозначены как r _s , r ₁ и r ₂ соответственно (рисунок 3). Расстояние d ₁ между центрами окружности решения и C ₁ равно либо r _s + r _1, либо r _s - r ₁ , в зависимости от того, выбраны ли эти окружности внешними или внутренними касательными соответственно. Точно так же расстояние d ₂ между центрами окружности решения и C ₂ равно либо r _s + r _2, либо r _s - r ₂ , снова в зависимости от их выбранного касания. Таким образом, разница d ₁ - d ₂ между этими расстояниями всегда является константой, не зависящей от r _s . Это свойство - наличие фиксированной разницы между расстояниями до фокусов - характеризует гиперболы, поэтому возможные центры окружности решения лежат на гиперболе. Вторую гиперболу можно нарисовать для пары заданных окружностей C ₂ и C ₃ , причем внутреннее или внешнее касание решения и C ₂ должно выбираться согласованно с касанием первой гиперболы. Пересечение этих двух гипербол (если они есть) дает центр круга решения, который имеет выбранные внутреннее и внешнее касания к трем данным окружностям. Полный набор решений проблемы Аполлония можно найти, рассматривая все возможные комбинации внутреннего и внешнего касания окружности решения к трем данным окружностям.

Исаак Ньютон (1687) уточнил решение ван Румена, так что центры окружностей решения располагались на пересечении прямой с окружностью. Ньютон формулирует проблему Аполлония как проблему трилатерации : найти точку Z из трех заданных точек A , B и C так , чтобы разности расстояний от Z до трех заданных точек имели известные значения. Эти четыре точки соответствуют центру круга решения ( Z ) и центрам трех данных окружностей ( A , B и C ).

Набор точек с постоянным отношением расстояний d ₁ / d ₂ к двум фиксированным точкам представляет собой окружность.

Вместо того, чтобы решать две гиперболы, Ньютон строит их направляющие линии . Для любой гиперболы отношение расстояний от точки Z до фокуса A и до директрисы является фиксированной константой, называемой эксцентриситетом . Два директрис пересекаются в точке Т , а из их двух известных соотношений расстояний, Ньютон строит линию , проходящую через Т , на какой Z должны лежать. Однако отношение расстояний TZ / TA также известно; следовательно, Z также лежит на известной окружности, поскольку Аполлоний показал, что окружность может быть определена как множество точек, которые имеют заданное отношение расстояний к двум фиксированным точкам. (Кстати, это определение лежит в основе биполярных координат .) Таким образом, решения проблемы Аполлония - это пересечения прямой с окружностью.

Реконструкция Вьете

Как описано ниже , проблема Аполлония имеет десять особых случаев, в зависимости от природы трех данных объектов, которые могут быть кругом ( C ), линией ( L ) или точкой ( P ). По обычаю, эти десять случаев различаются трехбуквенным кодом, например CCP . Виет решил все десять из этих случаев, используя только конструкции циркуля и линейки, и использовал решения более простых случаев для решения более сложных случаев.

Рисунок 4: Касание между окружностями сохраняется, если их радиусы изменяются на одинаковую величину. Розовый круг раствора должен сжиматься или увеличиваться в размере, образуя касательный изнутри круг (черный круг справа), в то время как внешние касательные круги (два черных круга слева) делают противоположное.

Виэте начал с решения случая PPP (три пункта), следуя методу Евклида в его « Элементах» . Отсюда он вывел лемму, соответствующую теореме о степени точки , которую он использовал для решения случая LPP (прямая и две точки). Во второй раз вслед за Евклидом Виет решил LLL- случай (три линии), используя биссектрисы углов . Затем он вывел лемму для построения прямой, перпендикулярной биссектрисе угла, проходящей через точку, которую он использовал для решения задачи LLP (две прямые и точка). Это составляет первые четыре случая проблемы Аполлония, те, которые не связаны с кругами.

Чтобы решить оставшиеся проблемы, Виет воспользовался тем фактом, что размеры заданных кругов и круга решения можно изменять одновременно, сохраняя при этом их касательные (рис. 4). Если радиус круга решения изменяется на величину Δ r , радиус его внутренних касательных заданных окружностей должен быть аналогичным образом изменен на Δ r , тогда как радиус его внешних касательных заданных окружностей должен быть изменен на -Δ r . Таким образом, по мере того как круг решения набухает, данные окружности, имеющие внутреннюю касательную, должны расширяться в тандеме, в то время как данные окружности, имеющие внешнюю касательную, должны сжиматься, чтобы сохранить свои касательные.

Виэте использовал этот подход, чтобы сжать одну из указанных окружностей до точки, тем самым сведя проблему к более простому, уже решенному случаю. Сначала он решил случай CLL (круг и две линии), сжав круг в точку, превратив его в случай LLP . Затем он решил случай CLP (круг, прямая и точка), используя три леммы. Снова уменьшив один круг до точки, Виет превратил вариант CCL в вариант CLP . Затем он решил случай CPP (круг и две точки) и случай CCP (две окружности и точка), последний случай с помощью двух лемм. Наконец, Виет решил общий случай CCC (три круга), сжав один круг до точки, превратив его в случай CCP .

Алгебраические решения

Задачу Аполлония можно представить в виде системы трех уравнений для центра и радиуса окружности решения. Поскольку три заданных круга и любой круг решения должны лежать в одной плоскости, их положения могут быть указаны в терминах координат ( x , y ) их центров. Например, центральные положения трех данных окружностей могут быть записаны как ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) и ( x ₃ , y ₃ ), тогда как положение окружности решения может быть записано как ( х _с , у _с ). Аналогично, радиусы данных окружностей и окружности решения можно записать как r ₁ , r ₂ , r ₃ и r _s соответственно. Требование, чтобы круг решения точно касался каждой из трех заданных окружностей, можно выразить в виде трех связанных квадратных уравнений для x _s , y _s и r _s :

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {s} -y_ {1} \ right) ^ {2} = \ left (r_ {s} -s_ {1} r_ {1} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {2} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {s} -y_ {2} \ right) ^ {2} = \ left (r_ {s} -s_ {2} r_ {2} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (x_ {s} -x_ {3} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {s} -y_ {3} \ right) ^ {2} = \ left (r_ {s} -s_ {3} r_ {3} \ right) ^ {2}.}

Три числа s ₁ , s ₂ и s ₃ в правой части , называемые знаками, могут равняться ± 1 и указывать, должен ли круг желаемого решения касаться соответствующего данного круга изнутри ( s = 1) или снаружи ( s = −1). Например, на рисунках 1 и 4 розовое решение касается внутренней окружности среднего размера справа и внешней касательной к наименьшей и наибольшей окружности слева; если данные круги упорядочены по радиусу, то это решение будет обозначаться знаком «- + -» . Поскольку три знака могут быть выбраны независимо, существует восемь возможных наборов уравнений (2 × 2 × 2 = 8) , каждый набор соответствует одному из восьми типов кругов решения.

Общая система трех уравнений может быть решена методом результирующих . При перемножении все три уравнения имеют x _s² + y _s² в левой части и r _s² в правой части. Вычитание одного уравнения из другого устраняет эти квадратичные члены; остальные линейные члены могут быть перегруппированы, чтобы получить формулы для координат x _s и y _s

{\ displaystyle x_ {s} = M + Nr_ {s}}

{\ displaystyle y_ {s} = P + Qr_ {s}}

где M , N , P и Q - известные функции данных окружностей и выбора знаков. Подстановка этих формул в одно из трех начальных уравнений дает квадратное уравнение для r _s , которое можно решить с помощью квадратной формулы . Подстановка числового значения r _s в линейные формулы дает соответствующие значения x _s и y _s .

Знаки s ₁ , s ₂ и s ₃ в правых частях уравнений могут быть выбраны восемью возможными способами, и каждый выбор знаков дает до двух решений, поскольку уравнение для r _s является квадратичным . Это может предполагать (ошибочно), что существует до шестнадцати решений проблемы Аполлония. Однако из-за симметрии уравнений, если ( r _s , x _s , y _s ) - решение со знаками s _i , то то же самое и (- r _s , x _s , y _s ) с противоположными знаками - s _i , который представляет тот же круг решения. Следовательно, проблема Аполлония имеет не более восьми независимых решений (рис. 2). Один из способов избежать этого двойного счета - рассматривать только круги решения с неотрицательным радиусом.

Два корня любого квадратного уравнения могут быть трех возможных типов: два разных действительных числа , два идентичных действительных числа (т. Е. Вырожденный двойной корень) или пара комплексно сопряженных корней. Первый случай соответствует обычной ситуации; каждая пара корней соответствует паре решений, связанных инверсией окружностей , как описано ниже (рис. 6). Во втором случае оба корня идентичны, что соответствует окружности решения, которая превращается в себя при инверсии. В этом случае одна из указанных окружностей сама является решением проблемы Аполлония, а количество различных решений сокращается на единицу. Третий случай комплексно сопряженных радиусов не соответствует геометрически возможному решению проблемы Аполлония, поскольку круг решения не может иметь мнимого радиуса; следовательно, количество решений сокращается на два. Проблема Аполлония не может иметь семи решений, хотя может иметь любое другое число решений от нуля до восьми.

Геометрия сферы Ли

Те же алгебраические уравнения могут быть получены в контексте геометрии сферы Ли . Эта геометрия представляет круги, линии и точки единым образом в виде пятимерного вектора X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), где c = ( c _x , c _y ) - центр круг, а r - его (неотрицательный) радиус. Если r не равно нулю, знак s может быть положительным или отрицательным; для визуализации s представляет ориентацию круга, при этом круги против часовой стрелки имеют положительное значение s, а круги по часовой стрелке - отрицательное значение s . Параметр w равен нулю для прямой и единице в противном случае.

В этом пятимерном мире есть билинейное произведение, подобное скалярному произведению :

{\ displaystyle \ left (X_ {1} \ mid X_ {2} \ right): = v_ {1} w_ {2} + v_ {2} w_ {1} + \ mathbf {c} _ {1} \ cdot \ mathbf {c} _ {2} -s_ {1} s_ {2} r_ {1} r_ {2}.}

Квадрика Ли определяется как те векторы, произведение которых с собой (их площадь норма ) равна нулю, ( X | X ) = 0. Пусть X ₁ и X ₂ два вектора , принадлежащие к этому квадрика; норма их разницы равна

{\ displaystyle \ left (X_ {1} -X_ {2} \ mid X_ {1} -X_ {2} \ right) = 2 \ left (v_ {1} -v_ {2} \ right) \ left (w_ {1} -w_ {2} \ right) + \ left (\ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {c} _ {1 } - \ mathbf {c} _ {2} \ right) - \ left (s_ {1} r_ {1} -s_ {2} r_ {2} \ right) ^ {2}.}

Произведение распределяется по сложению и вычитанию (точнее, билинейно ):

{\ displaystyle \ left (X_ {1} -X_ {2} \ mid X_ {1} -X_ {2} \ right) = \ left (X_ {1} \ mid X_ {1} \ right) -2 \ left (X_ {1} \ mid X_ {2} \ right) + \ left (X_ {2} \ mid X_ {2} \ right).}

Поскольку ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (оба принадлежат квадрике Ли) и поскольку w ₁ = w ₂ = 1 для окружностей, произведение любых двух таких векторов на квадрике равно

{\ displaystyle -2 \ left (X_ {1} \ mid X_ {2} \ right) = \ left | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ right | ^ {2 } - \ left (s_ {1} r_ {1} -s_ {2} r_ {2} \ right) ^ {2}.}

где вертикальные полосы между c ₁ - c ₂ представляют длину этого вектора разности, т. е. евклидову норму . Эта формула показывает, что если два квадратичных вектора X ₁ и X ₂ ортогональны (перпендикулярны) друг другу, то есть, если ( X ₁ | X ₂ ) = 0, то их соответствующие окружности касаются друг друга . Ведь если два знака s ₁ и s ₂ одинаковы (т. Е. Круги имеют одинаковую «ориентацию»), круги касаются внутри; расстояние между их центрами равно разнице радиусов

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ right | ^ {2} = \ left (r_ {1} -r_ {2} \ right) ^ { 2}.}

И наоборот, если два знака s ₁ и s ₂ различны (т.е. окружности имеют противоположную «ориентацию»), окружности касаются снаружи; расстояние между их центрами равно сумме радиусов

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ right | ^ {2} = \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) ^ { 2}.}

Следовательно, проблема Аполлония может быть переформулирована в геометрии Ли как проблема нахождения перпендикулярных векторов на квадрике Ли; в частности, цель состоит в том, чтобы идентифицировать векторы решений X _sol, которые принадлежат квадрике Ли, а также ортогональны (перпендикулярны) векторам X ₁ , X ₂ и X _3, соответствующим данным окружностям.

{\ displaystyle \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X _ {\ mathrm {sol}} \ right) = \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X_ {1} \ right) = \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X_ {2} \ right) = \ left (X _ {\ mathrm {sol}} \ mid X_ {3} \ right) = 0}

Преимущество этого переформулирования состоит в том, что можно использовать теоремы линейной алгебры о максимальном количестве линейно независимых , одновременно перпендикулярных векторов. Это дает другой способ вычислить максимальное количество решений и распространить теорему на многомерные пространства.

Инверсивные методы

Рисунок 5: Инверсия по кругу. Точка P 'обратна точке P по отношению к окружности.

Естественной постановкой проблемы Аполлония является инверсивная геометрия . Основная стратегия инверсионных методов состоит в том, чтобы преобразовать данную проблему Аполлония в другую проблему Аполлония, которую проще решить; решения исходной задачи находятся из решений преобразованной задачи путем отмены преобразования. Возможные преобразования должны превратить одну проблему Аполлония в другую; следовательно, они должны преобразовать данные точки, окружности и линии в другие точки, окружности и линии, и никакие другие формы. Инверсия окружности обладает этим свойством и позволяет разумно выбирать центр и радиус инверсной окружности. Другие кандидаты включают изометрии евклидовой плоскости ; однако они не упрощают задачу, поскольку они просто сдвигают , вращают и отражают исходную проблему.

Инверсия в окружности с центром O и радиусом R состоит из следующей операции (рисунок 5): каждая точка P отображается в новую точку P 'так , что O , P и P' лежат на одной прямой, и произведение расстояний P и P ' до центра O равны радиусу R в квадрате

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {OP}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {OP ^ {\ prime}}}} = R ^ {2}.}

Таким образом, если P лежит вне круга, то P ' лежит внутри, и наоборот. Когда P совпадает с O , говорят, что инверсия отправляет P в бесконечность. (В комплексном анализе «бесконечность» определяется в терминах сферы Римана .) Инверсия имеет то полезное свойство, что линии и окружности всегда преобразуются в линии и окружности, а точки всегда преобразуются в точки. Окружности обычно преобразуются в другие окружности при инверсии; однако, если круг проходит через центр инверсионного круга, он превращается в прямую линию, и наоборот. Важно отметить, что если круг пересекает круг инверсии под прямым углом (пересекает перпендикулярно), он остается неизменным при инверсии; он трансформируется в себя.

Инверсия окружностей соответствует подмножеству преобразований Мёбиуса на сфере Римана . Плоская задача Аполлония может быть перенесена на сферу с помощью обратной стереографической проекции ; следовательно, решения плоской задачи Аполлония также относятся к ее аналогу на сфере. Помимо обычных, описанных ниже, возможны и другие обратные решения плоской задачи.

Пары решений инверсией

Рисунок 6: Сопряженная пара решений проблемы Аполлония (розовые кружки) с заданными кружками черного цвета.

Решения проблемы Аполлония обычно возникают попарно; для каждого круга решения есть круг сопряженного решения (рис. 6). Один круг решения исключает данные круги, заключенные в его сопряженное решение, и наоборот. Например, на рисунке 6 один круг решения (розовый, вверху слева) охватывает два заданных круга (черный), но исключает третий; и наоборот, его сопряженное решение (также розовое, внизу справа) охватывает этот третий круг, но исключает два других. Две окружности сопряженных решений связаны инверсией следующим аргументом.

В общем, любые три различных круга имеют уникальный круг - радикальный круг, который пересекает их все перпендикулярно; центр этого круга - радикальный центр трех кругов. Для иллюстрации оранжевый круг на рисунке 6 пересекает заданные черные круги под прямым углом. Инверсия в радикальном круге оставляет данные круги без изменений, но преобразует два сопряженных розовых круга раствора друг в друга. При той же инверсии соответствующие точки касания двух окружностей решений переходят одна в другую; для иллюстрации, на рисунке 6 две синие точки, лежащие на каждой зеленой линии, преобразуются друг в друга. Следовательно, прямые, соединяющие эти сопряженные точки касания, инвариантны относительно инверсии; следовательно, они должны проходить через центр инверсии, который является радикальным центром (зеленые линии, пересекающиеся в оранжевой точке на рисунке 6).

Обращение к затрубному пространству

Если две из трех окружностей не пересекаются, можно выбрать центр инверсии, чтобы эти две окружности стали концентрическими . При этой инверсии круги решения должны попадать в кольцо между двумя концентрическими кругами. Следовательно, они принадлежат к двум однопараметрическим семействам. В первом семействе (рис. 7) решения не ограничивают внутренний концентрический круг, а вращаются в кольцевом пространстве подобно шарикоподшипникам. Во втором семействе (рис. 8) круги решения ограничивают внутренний концентрический круг. Обычно существует четыре решения для каждого семейства, что дает восемь возможных решений, согласующихся с алгебраическим решением .

Рисунок 7: Круг решения (розовый) в первом семействе находится между концентрическими заданными кругами (черный). Дважды радиус решения r _s равен разности r _external - r _inner внутреннего и внешнего радиусов, а удвоенное межцентровое расстояние d _s равно их сумме.

Рис. 8: Кружок решения (розовый) во втором семействе ограничивает данный внутренний круг (черный). Дважды радиус решения r _s равен сумме r _{внешний} + r _{внутренний} внутренних и внешних радиусов, а удвоенное расстояние от центра d _s равно их разности.

Когда две из данных окружностей концентрические, проблема Аполлония может быть легко решена методом Гаусса . Радиусы трех данных окружностей известны, как и расстояние d _non от общего концентрического центра до неконцентрической окружности (рис. 7). Круг решения может быть определен по его радиусу r _s , углу θ и расстояниям d _s и d _T от его центра до общего концентрического центра и центра неконцентрической окружности соответственно. Радиус и расстояние d _s известны (рисунок 7), а расстояние d _T = r _s ± r _non , в зависимости от того, является ли окружность решения внутренней или внешней касательной к неконцентрической окружности. Поэтому, по закону косинусов ,

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {d _ {\ mathrm {s}} ^ {2} + d _ {\ mathrm {non}} ^ {2} -d _ {\ mathrm {T}} ^ {2} } {2d _ {\ mathrm {s}} d _ {\ mathrm {non}}}} \ Equiv C _ {\ pm}.}

Здесь для краткости определена новая константа C с нижним индексом, указывающим, является ли решение касательным снаружи или внутри. Простая тригонометрическая перестановка дает четыре решения

{\ displaystyle \ theta = \ pm 2 \ arctan \ left ({\ sqrt {\ frac {1-C} {1 + C}}} \ right).}

Эта формула представляет собой четыре решения, соответствующий два выбора знака & thetas, и два вариантов для C . Остальные четыре решения могут быть получены тем же методом с использованием замен для r _s и d _s, показанных на рисунке 8. Таким образом, все восемь решений общей проблемы Аполлония могут быть найдены этим методом.

Любые начальные две непересекающиеся заданные окружности можно сделать концентрическими следующим образом. Радикальная ось двух данных окружностей строится; Выбрав две произвольные точки P и Q на этой радикальной оси, можно построить две окружности с центрами на P и Q, которые пересекают две заданные окружности ортогонально. Эти два построенных круга пересекают друг друга в двух точках. Инверсия в одной такой точке пересечения F преобразует построенные окружности в прямые линии, исходящие из F, а две заданные окружности - в концентрические окружности, при этом третья заданная окружность становится другой окружностью (в общем случае). Это следует потому, что система кругов эквивалентна набору аполлонических кругов , образуя биполярную систему координат .

Изменение размера и инверсия

Полезность инверсии может быть значительно увеличена путем изменения размера. Как отмечалось в реконструкции Виэта , три заданных круга и круг решения можно изменять в тандеме, сохраняя при этом их касательные. Таким образом, исходная проблема Аполлония трансформируется в другую проблему, которую, возможно, будет легче решить. Например, четыре круга можно изменить размер так, чтобы один заданный круг уменьшился до точки; в качестве альтернативы, размеры двух заданных окружностей часто можно изменить так, чтобы они касались друг друга. В-третьих, размеры заданных пересекающихся кругов можно изменить так, чтобы они стали непересекающимися, после чего можно применить метод обращения к кольцу . Во всех таких случаях решение исходной задачи Аполлония получается из решения преобразованной задачи путем отмены изменения размера и инверсии.

Уменьшение одного заданного круга до точки

В первом подходе, данные круги сократились или не увеличились (соответственно до их касания) до тех пор , один данный круг сократились до точки P . В этом случае, Аполлоний проблема вырождается в КПК предельного случая , который является задачей нахождения решения окружности , касательной к двум оставшимся данным окружностей , которая проходит через точку P . Инверсия круга с центром в P преобразует два заданных круга в новые круги, а круг решения в линию. Следовательно, преобразованное решение - это прямая, касательная к двум преобразованным данным окружностям. Есть четыре таких решения, которые могут быть построены из внешнего и внутреннего центров гомотетики двух окружностей. Повторное обращение в P и отмена изменения размера преобразует такую строку решения в круг желаемого решения исходной задачи Аполлония. Все восемь общих решений могут быть получены путем сжатия и расширения кругов в соответствии с различными внутренними и внешними касаниями каждого раствора; однако разные заданные круги могут быть сжаты до точки для разных решений.

Изменение размера двух заданных окружностей по касательной

Во втором подходе радиусы данных окружностей соответствующим образом изменяются на величину Δ r, так что две из них являются касательными (касающимися). Их точка касания выбирается как центр инверсии в окружности, которая пересекает каждую из двух соприкасающихся окружностей в двух местах. После инверсии соприкасающиеся круги становятся двумя параллельными линиями: их единственная точка пересечения отправляется в бесконечность при инверсии, поэтому они не могут встретиться. Та же инверсия преобразует третий круг в другой круг. Решение перевернутой задачи должно быть либо (1) прямой линией, параллельной двум заданным параллельным прямым и касательной к преобразованной третьей заданной окружности; или (2) окружность постоянного радиуса, которая касается двух данных параллельных прямых и преобразованной данной окружности. Повторная инверсия и корректировка радиусов всех окружностей на Δ r дает круг решения, касательный к исходным трем окружностям.

Решение Жергонна

Рис. 9: Две касательные линии двух точек касания данной окружности пересекаются на радикальной оси R (красная линия) двух окружностей решения (розовая). Три точки пересечения на R - это полюса линий, соединяющих синие точки касания в каждом заданном круге (черный).

Подход Жергонна заключается в рассмотрении кругов решений попарно. Пусть пара окружностей решений обозначена как C _A и C _B (розовые кружки на рисунке 6), а их точки касания с тремя заданными окружностями обозначены как A ₁ , A ₂ , A ₃ и B ₁ , B. ₂ , Б ₃ соответственно. Решение Жергонна направлено на определение местоположения этих шести точек и, таким образом, на решение двух кругов решений.

Понимание Жергонна заключалось в том, что если бы линию L ₁ можно было построить так, чтобы A ₁ и B ₁ гарантированно падали на нее, эти две точки можно было бы идентифицировать как точки пересечения L ₁ с данной окружностью C ₁ (рис. 6). Остальные четыре точки касания можно найти аналогичным образом, найдя прямые L ₂ и L _3, которые содержат A ₂ и B ₂ , а также A ₃ и B ₃ , соответственно. Чтобы построить линию, такую как L ₁ , необходимо определить две точки, лежащие на ней; но эти точки не обязательно должны быть касательными. Жергонн смог определить две другие точки для каждой из трех линий. Одна из двух точек уже идентифицирована: радикальный центр G лежит на всех трех прямых (рис. 6).

Чтобы найти вторую точку на линии L ₁ , L ₂ и L ₃ , Gergonne отметили взаимную связь между этими линиями и радикальной осью R окружностей раствора, C _A и C _B . Чтобы понять это взаимное отношение, рассмотрим две касательные линии к окружности C _1, проведенные в точках касания A ₁ и B ₁ с окружностями решения; пересечение этих касательных является точкой полюса L ₁ в C ₁ . Поскольку расстояния от этой полюсной точки до точек касания A ₁ и B ₁ равны, эта полюсная точка также должна лежать на радикальной оси R окружностей решения по определению (рис. 9). Отношения между полюсными точками и их полярными линиями взаимны; если полюс L ₁ в C ₁ лежит на R , полюс R в C _1, наоборот, должен лежать на L ₁ . Таким образом, если мы можем построить R , мы сможем найти его полюс P ₁ в C ₁ , что даст необходимую вторую точку на L ₁ (рисунок 10).

Рисунок 10: Полюса (красные точки) радикальной оси R в трех данных кружках (черные) лежат на зеленых линиях, соединяющих точки касания. Эти линии могут быть построены из полюсов и радикального центра (оранжевый).

Жергонн нашел радикальную ось R окружностей неизвестного решения следующим образом. Любая пара кругов имеет два центра подобия ; эти две точки являются двумя возможными пересечениями двух касательных к двум окружностям. Следовательно, у трех данных кругов есть шесть центров подобия, по два для каждой отдельной пары данных кругов. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, по три точки на каждой линии; более того, каждая линия соответствует радикальной оси потенциальной пары окружностей решения. Чтобы показать это, Жергонн рассмотрел прямые, проходящие через соответствующие точки касания на двух из данных окружностей, например прямую, определенную A ₁ / A _2, и прямую, определенную B ₁ / B ₂ . Пусть X ₃ - центр подобия двух окружностей C ₁ и C ₂ ; тогда A ₁ / A ₂ и B ₁ / B ₂ являются парами антигомологических точек , и их прямые пересекаются в X ₃ . Отсюда следует, что произведения расстояний равны

{\ Displaystyle {\ overline {X_ {3} A_ {1}}} \ cdot {\ overline {X_ {3} A_ {2}}} = {\ overline {X_ {3} B_ {1}}} \ cdot {\ overline {X_ {3} B_ {2}}}}

откуда следует, что X ₃ лежит на радикальной оси двух окружностей решения. Тот же аргумент может быть применен к другим парам окружностей, так что три центра подобия для данных трех окружностей должны лежать на радикальных осях пар окружностей решений.

Таким образом, желаемая линия L ₁ определяется двумя точками: радикальным центром G трех данных окружностей и полюсом в C ₁ одной из четырех линий, соединяющих гомотетические центры. Обнаружение того же полюса в C ₂ и C ₃ дает L ₂ и L ₃ соответственно; таким образом, могут быть расположены все шесть точек, из которых может быть найдена одна пара окружностей решения. Повторение этой процедуры для оставшихся трех линий гомотетического центра дает еще шесть решений, всего восемь решений. Однако, если прямая L _k не пересекает свою окружность C _k для некоторого k , для этой гомотетической центральной линии не существует пары решений.

Теория пересечения

Для решения проблемы Аполлония можно использовать методы современной алгебраической геометрии и, в частности, теории пересечений . В этом подходе проблема интерпретируется как утверждение об окружностях на комплексной проективной плоскости . Разрешены решения с комплексными числами, а вырожденные ситуации учитываются по множеству. Когда это сделано, всегда есть восемь решений проблемы.

Каждое квадратное уравнение в $X$ , $Y$ и $Z$ определяет единственную конику, ее геометрическое место обращения в нуль. И наоборот, каждая коника в комплексной проективной плоскости имеет уравнение, и это уравнение уникально с точностью до общего коэффициента масштабирования (поскольку изменение масштаба уравнения не меняет его геометрическое место исчезновения). Следовательно, множество всех коник можно параметризовать пятимерным проективным пространством $P 5$ , где соответствие имеет вид

{\ displaystyle \ {[X: Y: Z] \ in \ mathbf {P} ^ {2} \ двоеточие AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DXZ + EYZ + FZ ^ {2} = 0 \} \ leftrightarrow [A: B: C: D: E: F] \ in \ mathbf {P} ^ {5}.}

Круг в комплексной проективной плоскости определяются как конические , который проходит через две точки $O + = [1: I : 0]$ и $О - = [1: - я : 0]$ , где $я$ обозначает квадратный корень из $- 1$ . Точки $O +$ и $O -$ называются точками окружности . Проективное многообразие всех окружностей подмногообразие $P 5$ , состоящее из тех точек , которые соответствуют конику , проходящему через круговые точки. Подставляя круговые точки в уравнение для общей коники, получаем два уравнения

{\ displaystyle A + Bi-C = 0,}

{\ displaystyle A-Bi-C = 0.}

Суммирование суммы и разности этих уравнений показывает, что это равносильно наложению условий

{\ displaystyle A = C}

и .

{\ displaystyle B = 0}

Следовательно, многообразие всех окружностей является трехмерным линейным подпространством в $P 5$ . После изменения масштаба и завершения квадрата эти уравнения также демонстрируют, что каждая коника, проходящая через круговые точки, имеет уравнение вида

{\ displaystyle (X-aZ) ^ {2} + (Y-bZ) ^ {2} = r ^ {2} Z ^ {2},}

которое является усреднением обычного уравнения окружности в аффинной плоскости. Следовательно, изучение кружков в указанном выше смысле почти эквивалентно изучению кружков в общепринятом смысле. Единственное отличие состоит в том, что в приведенном выше смысле допускаются вырожденные окружности, которые представляют собой объединение двух прямых. Невырожденные окружности называются гладкими , а вырожденные - особыми . Есть два типа особых кругов. Один представляет собой объединение бесконечно удаленной прямой $Z = 0$ с другой линией в проективной плоскости (возможно, снова бесконечно удаленной прямой), а другой представляет собой объединение двух прямых в проективной плоскости, по одной через каждую из двух круговых точек. Это пределы гладких окружностей, поскольку радиус $r$ стремится к $+ \infty$ и $0$ соответственно. В последнем случае ни одна точка ни на одной из двух линий не имеет реальных координат, кроме начала координат $[0: 0: 1]$ .

Пусть $D$ - неподвижная гладкая окружность. Если $C$ - любая другая окружность, то по определению круга $C$ и $D$ пересекаются в точках окружности $O +$ и $O -$ . Поскольку $C$ и $D$ являются кониками, теорема Безу подразумевает, что $C$ и $D$ пересекаются всего по четырем точкам, если эти точки считаются с правильной кратностью пересечения . То есть есть четыре точки пересечения $O +$ , $O -$ , $P$ и $Q$ , но некоторые из этих точек могут столкнуться. Проблема Аполлония связана с ситуацией, когда $P = Q$ , что означает, что кратность пересечения в этой точке равна $2$ ; если $P$ также равно круговой точке, это следует интерпретировать как кратность пересечения, равную $3$ .

Пусть $Z D$ многообразие окружностей , касательных к $D$ . Это многообразие является квадратичным конусом в $P 3$ всех окружностей. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим соответствие инцидентности

{\ displaystyle \ Phi = \ {(r, C) \ in D \ times \ mathbf {P} ^ {3} \ двоеточие C {\ text {касается}} D {\ text {at}} r \} .}

Для кривой, которая является местом исчезновения единственного уравнения $f = 0$ , условие, что кривая пересекает $D в$ точке $r$ с кратностью $m,$ означает, что разложение $f в$ ряд Тейлора $|$ $D$ обращается в нуль порядка $m в$ точке $r$ ; следовательно, это $m$ линейных условий на коэффициенты $f$ . Это показывает, что для каждого $r$ слой $Φ$ над $r$ является $P$ $1,$ вырезанным двумя линейными уравнениями в пространстве окружностей. Следовательно, $Φ$ неприводима размерности $2$ . Поскольку можно показать окружность, касающуюся $D$ только в одной точке, общий элемент $Z$ $D$ должен касаться только в одной точке. Следовательно, проекция $Φ \to$ $P$ $2,$ переводящая $($ $r$ $,$ $C$ $)$ в $C,$ является бирациональным морфизмом . Отсюда следует, что образ $Φ$ , который есть $Z$ $D$ , также неприводим и двумерен.

Для того, чтобы определить форму $Z D$ , фиксируют две различные окружности $C 0$ и $C \infty$ , не обязательно касательные к $D$ . Эти два круга определяют карандаш , означающий линию $L$ в $P 3$ кругов. Если уравнениями $C 0$ и $C \infty$ являются $f$ и $g$ , соответственно, то точки на $L$ соответствуют окружностям, уравнения которых равны $Sf + Tg$ , где $[S : T]$ - точка $P 1$ . Точки , где $L$ встречается $Z D$ именно те круги в пучке, которые касаются $D$ .

Есть два варианта количества точек пересечения. Одним из них является , что либо $е$ или $г$ , скажем $е$ , является уравнение для $D$ . В этом случае, $L$ представляет собой линию через $D$ . Если $С \infty$ является касательной к $D$ , то и каждый круг в пучке, и , следовательно , $L$ содержится в $Z D$ . Другая возможность состоит в том , что ни $е$ , ни $г$ есть уравнение для $D$ . В этом случае функция $(f / g) | D$ - фактор квадратичных, ни одна из которых не обращается в нуль тождественно. Следовательно, он обращается в нуль в двух точках и имеет полюсы в двух точках. Это точки в $C 0 \cap D$ и $C \infty \cap D$ , соответственно, подсчитанные с кратностью и с вычтенными круговыми точками. Рациональная функция определяет морфизм $D \to P 1$ степени два. Слой над $[S : T] \in P 1$ представляет собой множество точек $Р$ , для которых $F (Р) Т = г (Р) S$ . Это именно те точки , в которых окружность которого уравнение $Tf - Sg$ встречает $D$ . В точках ветвления этого морфизма являются окружности , касающиеся $D$ . По формуле Римана – Гурвица существует ровно две точки ветвления, поэтому $L$ пересекает $Z D$ в двух точках. Вместе эти две возможности пересечения $L$ и $Z D$ демонстрируют, что $Z D$ является квадратичным конусом. Все такие конусы в $P 3$ являются одинаковыми с точностью до замены координат, так что это полностью определяет форму $Z D$ .

Чтобы завершить рассуждение, пусть $D 1$ , $D 2$ и $D 3$ будут тремя кружками. Если пересечение $Z D 1 \cap Z D 2 \cap Z D 3$ конечна, то она имеет степень $23 = 8$ , и , следовательно , существует восемь решений проблемы Аполлония, с учетом кратности. Чтобы доказать, что пересечение в общем случае конечно, рассмотрим соответствие инцидентности

{\ Displaystyle \ Psi = \ {(D_ {1}, D_ {2}, D_ {3}, C) \ in (\ mathbf {P} ^ {3}) ^ {4} \ двоеточие C {\ text { касается всех}} D_ {i} \}.}

Существует морфизм, проецирующий $Ψ$ на последний фактор $P 3$ . Слой над $C$ - это $Z C 3$ . Он имеет размерность $6$ , поэтому $Ψ$ имеет размерность $9$ . Поскольку $(P 3) 3$ также имеет размерность $9$ , общий слой проекции $Ψ$ на первые три фактора не может иметь положительной размерности. Это доказывает, что в общем случае существует восемь решений, учитываемых с кратностью. Поскольку можно продемонстрировать конфигурацию, в которой восемь решений различны, общая конфигурация должна иметь все восемь различных решений.

Радиусы

В общей задаче с восемью кругами решения обратные радиусы четырех кругов решения суммируются с тем же значением, что и обратные радиусы других четырех кругов решения.

Особые случаи

Десять комбинаций точек, кругов и линий

Задача Аполлония состоит в том, чтобы построить одну или несколько окружностей, касающихся трех заданных объектов на плоскости, которые могут быть окружностями, точками или линиями. Это порождает десять типов проблемы Аполлония, по одному соответствующему каждой комбинации кругов, линий и точек, которые могут быть помечены тремя буквами, C , L или P , чтобы обозначить, являются ли данные элементы кругом, линией. или точка соответственно ( таблица 1 ). Например, тип задачи Аполлония с данной окружностью, линией и точкой обозначается как CLP .

Некоторые из этих частных случаев решить гораздо проще, чем общий случай трех заданных окружностей. Двумя простейшими случаями являются задачи рисования окружности через три заданные точки ( PPP ) или касательной к трем линиям ( LLL ), которые были впервые решены Евклидом в его « Элементах» . Например, проблему ГЧП можно решить следующим образом. Центр круга решения одинаково удален от всех трех точек и, следовательно, должен лежать на перпендикулярной биссектрисе любых двух. Следовательно, центр - это точка пересечения любых двух серединных перпендикуляров. Точно так же в случае LLL центр должен лежать на линии, делающей пополам угол в трех точках пересечения между тремя заданными линиями; следовательно, центр лежит в точке пересечения двух биссектрис таких углов. Поскольку есть две такие биссектрисы в каждой точке пересечения трех данных прямых, есть четыре решения общей проблемы LLL .

Точки и линии можно рассматривать как частные случаи окружностей; точку можно рассматривать как круг бесконечно малого радиуса, а линию можно представить как бесконечно большой круг, центр которого также находится в бесконечности. С этой точки зрения общая проблема Аполлония состоит в построении окружностей, касающихся трех данных окружностей. Девять других случаев, связанных с точками и линиями, можно рассматривать как предельные случаи общей проблемы. Эти предельные случаи часто имеют меньше решений, чем общая проблема; например, замена данной окружности данной точкой уменьшает вдвое количество решений, поскольку точку можно рассматривать как бесконечно малую окружность, которая касается либо внутренней, либо внешней стороны.

Таблица 1: Десять типов проблемы Аполлония
Показатель	Код	Данные элементы	Количество решений (в целом)
1	ГЧП	три очка	1
2	LPP	одна линия и две точки	2
3	ТОО	две линии и точка	2
4	CPP	один круг и две точки	2
5	LLL	три строки	4
6	CLP	один круг, одна линия и точка	4
7	КПК	два круга и точка	4
8	CLL	один круг и две линии	8
9	CCL	два круга и линия	8
10	CCC	три круга (классическая задача)	8

Количество решений

Рисунок 11: Проблема Аполлония без решения. Круг решения (розовый) должен пересекать данный пунктирный круг (черный), чтобы коснуться обоих других заданных кругов (также черного).

Проблема подсчета числа решений различных типов задачи Аполлония относится к области перечислительной геометрии . Общее количество решений для каждого из десяти типов проблемы Аполлония приведено в таблице 1 выше. Однако особое расположение данных элементов может изменить количество решений. Например, проблема Аполлония не имеет решения, если два круга разделяет один круг (рис. 11); чтобы коснуться обоих сплошных заданных кругов, круг решения должен пересечь заштрихованный заданный круг; но он не может этого сделать, если он должен касаться пунктирного круга по касательной. И наоборот, если три заданные окружности касаются в одной и той же точке, то любая окружность, касающаяся одной и той же точки, является решением; такие задачи Аполлония имеют бесконечное число решений. Если какие-либо из данных кружков идентичны, существует также бесконечное множество решений. Если только два заданных круга идентичны, есть только два различных заданных круга; центры кругов решений образуют гиперболу , которая используется в одном решении проблемы Аполлония.

Исчерпывающее перечисление числа решений для всех возможных конфигураций трех данных окружностей, точек или линий было впервые предпринято Мюрхедом в 1896 году, хотя более ранние работы были выполнены Штоллом и Штючем. Однако работа Мюрхеда была незавершенной; он был расширен в 1974 году, а окончательное перечисление с 33 отдельными случаями было опубликовано в 1983 году. Хотя решения проблемы Аполлония обычно встречаются парами, связанными инверсией , в некоторых случаях возможно нечетное количество решений, например, единственное решение. для PPP , или когда один или три из данных кружков сами по себе являются решениями. (Пример последнего приведен в разделе, посвященном теореме Декарта .) Однако проблем Аполлония с семью решениями не существует. Альтернативные решения, основанные на геометрии кругов и сфер , были разработаны и используются в более высоких измерениях.

Взаимно касательные данные окружности: окружности Содди и теорема Декарта

Если три данных окружности касаются друг друга, проблема Аполлония имеет пять решений. Три решения сами по себе являются заданными окружностями, поскольку каждое касается себя и двух других заданных окружностей. Остальные два решения (показаны красным на рисунке 12) соответствуют вписанным и описанным кругам и называются кругами Содди . Этот частный случай проблемы Аполлония также известен как проблема четырех монет . Три заданные окружности этой проблемы Аполлониуса образуют цепь Штейнера, касательную к двум окружностям Содди.

Рисунок 12: Два решения (красные) проблемы Аполлония с касательными друг к другу заданными кругами (черные), помеченные их кривизной.

Любой круг Содди, взятый вместе с тремя заданными кругами, дает набор из четырех кругов, которые касаются друг друга в шести точках. Радиусы этих четырех кругов связаны уравнением, известным как теорема Декарта . В 1643 письме к принцессе Элизабет Богемии , Рене Декарт показал , что

{\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {s}) ^ {2} = 2 (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {s} ^ {2})}

где k _s = 1 / r _s и r _s - кривизна и радиус окружности решения, соответственно, и аналогично для кривизны k ₁ , k ₂ и k ₃ и радиусов r ₁ , r ₂ и r ₃ трех указанных круги. Для каждого набора из четырех касательных друг к другу окружностей существует второй набор из четырех касательных друг к другу окружностей, которые касаются в одних и тех же шести точках.

Теорема Декарта была независимо открыта заново в 1826 году Якобом Штайнером , в 1842 году Филипом Бикрофтом и снова в 1936 году Фредериком Содди . Содди опубликовал свои открытия в научном журнале Nature в виде стихотворения The Kiss Precise , первые две строфы которого воспроизводятся ниже. Первая строфа описывает круги Содди, тогда как вторая строфа дает теорему Декарта. В стихотворении Содди говорится, что два круга «целуются», если они касаются друг друга, тогда как термин «изгиб» относится к кривизне k круга.

Для пар губ, чтобы поцеловать, может быть

Не требует тригонометрии.

' Tis не так , когда четыре круга целуются

Каждый другой трое.

Чтобы добиться этого, четверка должна быть

Как три в одном или один из трех.

Если каждый третий, вне всяких сомнений

Каждый получает три поцелуя извне.

Если три в одном, то это один

Трижды поцеловал внутренне.

Четыре круга до поцелуев.

Чем меньше изгиб.

Изгиб - это просто обратное

Расстояние от центра.

Хотя их интрига оставила Евклида немым

Теперь нет необходимости в практических правилах.

Поскольку нулевой изгиб - мертвая прямая линия

А вогнутые изгибы имеют знак минус,

Сумма квадратов всех четырех изгибов

Это половина квадрата их суммы.

Различные расширения теоремы Декарта были получены Даниэлем Педоу .

Обобщения

Задачу Аполлония можно расширить, чтобы построить все окружности, которые пересекают три заданные окружности под точным углом θ или с тремя заданными углами пересечения θ ₁ , θ ₂ и θ ₃ ; обычная задача Аполлония соответствует частному случаю, когда угол пересечения равен нулю для всех трех данных окружностей. Другое обобщение - двойственное к первому расширению, а именно, построение окружностей с тремя заданными касательными расстояниями от трех заданных окружностей.

Рисунок 13: Симметричная аполлоническая прокладка, также называемая набивкой Лейбница, в честь ее изобретателя Готфрида Лейбница .

Задачу Аполлония можно распространить с плоскости на сферу и другие квадратичные поверхности . Для сферы задача состоит в том, чтобы построить все окружности (границы сферических крышек ), которые касаются трех заданных окружностей на сфере. Эту сферическую задачу можно преобразовать в соответствующую плоскую задачу с помощью стереографической проекции . Как только решения плоской задачи построены, соответствующие решения сферической задачи могут быть определены путем инвертирования стереографической проекции. В более общем плане можно рассмотреть проблему четырех касательных кривых, которые возникают в результате пересечения произвольной квадратичной поверхности и четырех плоскостей, проблему, впервые рассмотренную Шарлем Дюпеном .

Путем многократного решения проблемы Аполлония для нахождения вписанной окружности промежутки между касательными друг к другу окружностями могут быть заполнены произвольно тонко, образуя аполлоническую прокладку , также известную как упаковка Лейбница или аполлоническая упаковка . Эта прокладка является фракталом , самоподобна и имеет размерность d, которая точно не известна, но составляет примерно 1,3, что выше, чем у регулярной (или спрямляемой ) кривой ( d = 1), но меньше, чем у плоскости. ( d = 2). Аполлоническая прокладка была впервые описана Готфридом Лейбницем в 17 веке и является искривленным предшественником треугольника Серпинского 20 века . Прокладка Аполлона также имеет глубокие связи с другими областями математики; например, это предельное множество клейновых групп .

Конфигурация окружности, касающейся четырех окружностей на плоскости, обладает особыми свойствами, которые были выяснены Лармором (1891) и Лахланом (1893). Такая конфигурация также является основой теоремы Кейси , которая сама является обобщением теоремы Птолемея .

Распространение проблемы Аполлония на три измерения, а именно проблему нахождения пятой сферы, касательной к четырем данным сферам, может быть решено аналогичными методами. Например, данная сфера и сфера решения могут быть изменены таким образом, чтобы одна данная сфера уменьшалась до точки, сохраняя при этом касание. Инверсия в этой точке сводит проблему Аполлония к нахождению плоскости, касающейся трех заданных сфер. Как правило, существует восемь таких плоскостей, которые становятся решениями исходной проблемы путем обращения инверсии и изменения размера. Эта проблема была впервые рассмотрена Пьером де Ферма , и многие альтернативные методы решения были разработаны на протяжении веков.

Проблема Аполлония может быть расширена даже до d измерений, чтобы построить гиперсферы, касательные к заданному набору из d + 1 гиперсфер. После публикации повторного вывода теоремы Декарта Фредериком Содди в 1936 году несколько человек решили (независимо) случай взаимного касания, соответствующий кругам Содди в d- измерениях.

Приложения

Основное приложение проблемы Аполлония, сформулированной Исааком Ньютоном, - это гиперболическая трилатерация , которая пытается определить положение по разнице расстояний по крайней мере до трех точек. Например, судно может стремиться определить свое местоположение по разнице во времени прибытия сигналов от трех синхронизированных передатчиков. Решения проблемы Аполлония использовались во время Первой мировой войны для определения местоположения артиллерийского орудия с момента, когда был слышен выстрел в трех разных позициях, а гиперболическая трилатерация - это принцип, используемый системой Decca Navigator и LORAN . Точно так же местоположение воздушного судна может быть определено по разнице времен прихода его сигнала ретранслятора на четырех приемных станциях. Эта проблема мультилатерации эквивалентна трехмерному обобщению проблемы Аполлония и применяется к глобальным навигационным спутниковым системам (см. GPS # Геометрическая интерпретация ). Он также используется для определения положения вызывающих животных (таких как птицы и киты), хотя проблема Аполлония не имеет отношения, если скорость звука изменяется в зависимости от направления (т. Е. Среда передачи не изотропна ).

У проблемы Аполлония есть и другие приложения. В книге 1, предложение 21 в его Principia , Исаак Ньютон использовал свое решение задачи Аполлония , чтобы построить орбиту в небесной механике от центра притяжения и наблюдений касательных к орбите , соответствующей мгновенной скорости . Особый случай задачи Аполлония , когда все три окружностей касаются используются в круговом методе Харди-Литтлвуде из аналитической теории чисел построить Ганс Радемахер контур «s для комплексного интегрирования, задаются границами в бесконечном множестве из кругов Форда каждых из которых касается нескольких других. Наконец, проблема Аполлония была применена к некоторым типам проблем упаковки , которые возникают в разных областях, таких как коды исправления ошибок, используемые на DVD-дисках, и разработка фармацевтических препаратов, которые связываются с определенным ферментом патогенной бактерии .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Бойд, DW (1973). «Окуляционная упаковка трехмерного шара». Канадский математический журнал . 25 (2): 303–322. DOI : 10,4153 / CJM-1973-030-5 .
Калландро, Эдуард (1949). Célèbres problèmes mathématiques (на французском языке). Париж: Альбин Мишель. С. 219–226. OCLC 61042170 .
Камерер, JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis monitoringibus, computationibus, ac problematis Apolloniani Historia (на латыни). Гота: Эттингер.
Гиш Д., Рибандо Дж. М. (2004). «Проблема Аполлония: исследование решений и их связей» (PDF) . Американский журнал исследований бакалавриата . 3 : 15–25. DOI : 10,33697 / ajur.2004.010 .
Папп Александрийский (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (на французском языке). Париж. OCLC 67245614 . Пер., Вступ. И примечания Поля Вер Экке.
Саймон, М. (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Ярхундерт (на немецком языке). Берлин: Тойбнер. С. 97–105.
Уэллс, Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвинов. С. 3–5 . ISBN 0-14-011813-6.

внешние ссылки

«Спросите решение у доктора математики» . Mathforum . Проверено 5 мая 2008 .
Вайсштейн, Эрик В. "Проблема Аполлония" . MathWorld .
«Проблема Аполлония» . Разрежьте узел . Проверено 5 мая 2008 .
Кункель, Пол. «Касательные круги» . Уистлер-аллея . Проверено 5 мая 2008 .
Остин, Дэвид (март 2006 г.). «При поцелуях задействована тригонометрия» . Рубрика с характеристиками на веб-сайте Американского математического общества . Проверено 5 мая 2008 .

Languages

In other projects