Псевдовыпуклость - Pseudoconvexity

В математике , точнее в теории функций нескольких комплексных переменных , псевдовыпуклое множество - это особый тип открытого множества в n -мерном комплексном пространстве C ⁿ . Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности .

Позволять

${\ Displaystyle G \ подмножество {\ mathbb {C}} ^ {п}}$

быть доменом, то есть открытым связным подмножеством . Говорят, что это псевдовыпукло (или псевдовыпукло по Гартогсу ), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на такой, что множество ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ {z \ in G \ mid \ varphi (z) <x \}}$

является относительно компактным подмножеством для всех действительных чисел. Другими словами, область является псевдовыпуклой, если имеет непрерывную плюрисубгармоническую функцию исчерпания . Каждое (геометрически) выпуклое множество псевдовыпукло. Однако существуют псевдовыпуклые области, которые не являются геометрически выпуклыми. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle G}$

Когда имеется (дважды непрерывно дифференцируемая ) граница , это понятие совпадает с понятием псевдовыпуклости Леви, с которым легче работать. Более конкретно, с помощью границы можно показать, что она имеет определяющую функцию; то есть, что существует что такое , и . Теперь псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, то есть ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ rho: \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ Displaystyle G = \ {\ rho <0 \}}$${\ displaystyle \ partial G = \ {\ rho = 0 \}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ in \ partial G}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle \ nabla \ rho (p) w = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ rho (p)} {\ partial z_ {j}}} w_ {j} = 0}$, у нас есть

${\ displaystyle \ sum _ {я, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho (p)} {\ partial z_ {i} \ partial {\ bar {z_ {j} }}}} w_ {i} {\ bar {w_ {j}}} \ geq 0.}$

Если не имеет границы, может быть полезен следующий результат аппроксимации. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

Предложение 1 Если псевдовыпукло, то существуют ограниченные сильно псевдовыпуклые области Леви с ( гладкой ) границей, относительно компактные в , такие, что${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {k} \ subset G}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle G = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} G_ {k}.}$

Это связано с тем, что, имея as в определении, мы фактически можем найти функцию исчерпания C ^∞ . ${\ displaystyle \ varphi}$

Случай n = 1

В одном комплексном измерении каждая открытая область псевдовыпукла. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна для измерений больше единицы.

Смотрите также

• Голоморфно выпуклая оболочка
• Коллектор Штейна
• Аналитический многогранник
• Эухенио Элиа Леви

Рекомендации

• Ларс Хёрмандер , Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Северная Голландия, 1990 г. ( ISBN  0-444-88446-7 ).
• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

Эта статья включает материал из Pseudoconvex на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Внешние ссылки

• Рейндж, Р. Майкл (февраль 2012 г.), «ЧТО ТАКОЕ ... псевдовыпуклый домен?» (PDF) , Уведомление о Американских математическом обществе , 59 (2): 301-303, DOI : 10,1090 / noti798
• "Псевдовыпуклые и псевдовогнутые" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]