Квазигруппа - Quasigroup

В математике , особенно в абстрактной алгебре , квазигруппа - это алгебраическая структура, напоминающая группу в том смысле, что « деление » всегда возможно. Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что они не обязательно ассоциативны .

Квазигруппа с элементом идентичности называется петлей .

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой. Начнем с первого определения.

Алгебра

Квазигруппа ( Q , *) является непустым множеством Q с бинарной операцией * (то есть, магма , указывая , что quasigoup должен удовлетворять замкнутости), повинуясь латинским квадратом собственности . Это означает, что для каждого a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = Ь ,
ya = b

держать. (Другими словами: каждый элемент набора встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечной группа, представляет собой латинский квадрат .) Требование уникальности может быть заменено требованием, чтобы магма была компенсирующей .

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым делением и правым делением .

Пустое множество оснащены порожней бинарной операция удовлетворяет это определение квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее.

Универсальная алгебра

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество - это уравнение, в котором все переменные неявно универсально количественно определены и в котором все операции относятся к примитивным операциям, свойственным структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются многообразиями . Многие стандартные результаты универсальной алгебры верны только для многообразий. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

Квазигруппа ( Q , *, \, /) представляет собой тип (2,2,2) алгебры (т.е. оборудовано три бинарных операций) , удовлетворяющие тождества:

у = х * ( х \ у ),
у = х \ ( х * у ),
у = ( у / х ) * х ,
у = ( у * х ) / х .

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, с одной и той же стороны одним и тем же элементом, не имеют общего эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) - квазигруппа согласно первому определению, то ( Q , ∗, \, /) - та же квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) - квазигруппа в смысле универсальной алгебры, то ( Q , ∗) - квазигруппа в соответствии с первым определением.

Петли

Алгебраические структуры между магмами и группами.

Петля является квазигруппой с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

х * е = х и е * х = х для всех х в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левый и правый обратные (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентным элементом называется пике («точечная идемпотентная квазигруппа»); это является более слабым понятием , чем цикл , но здравый тем не менее , так как , например, дана абелева группа , ( +) , принимая свою операцию вычитания , как квазигруппа умножение дает пике ( , -) с групповой идентичностью (ноль) оказалось в «остроконечного идемпотента». (То есть существует главная изотопия ( x , y , z ) ↦ ( x , - y , z ) .)

Ассоциативный цикл - это группа. Группа может иметь неассоциативный изотоп пике, но не может иметь неассоциативный петлевой изотоп.

Есть более слабые свойства ассоциативности, которым были даны специальные имена.

Например, петля Бола - это петля, удовлетворяющая либо:

x ∗ ( y ∗ ( xz )) = ( x ∗ ( yx )) ∗ z      для любых x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

или иначе

(( zx ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( xy ) ∗ x ) для любых x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Петля, которая является как левой, так и правой петлей Бола, называется петлей Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих единственных тождеств Муфанг, выполняемых для всех x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( xz )) = (( xy ) ∗ x ) ∗ z ,
z ∗ ( x ∗ ( yx )) = (( zx ) ∗ y ) ∗ x ,
( xy ) ∗ ( zx ) = x ∗ (( yz ) ∗ x ), или
( xy ) ∗ ( zx ) = ( x ∗ ( yz )) ∗ x .

Симметрии

Смит (2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа полусимметрична, если выполняются следующие эквивалентные тождества:

х * у = у / х ,
у * х = х \ у ,
х = ( у * х ) * у ,
х = у * ( х * у ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q Δ на кубе прямого произведения Q 3 с помощью следующей операции:

где «//» и «\\» - операции сопряженного деления, задаваемые и .

Триальность

Полная симметрия

Более узкий класс - это полностью симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа ), в которой все сопряженные совпадают как одна операция: xy = x / y = x \ y . Другой способ определения (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы - это полусимметричная квазигруппа, которая также является коммутативной, т. Е. Xy = yx .

Идемпотентные тотальные симметрические квазигруппы - это в точности (т. Е. В биекции с) тройки Штейнера , поэтому такую ​​квазигруппу также называют квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают как сквог ; термин sloop определяется аналогично для квазигруппы Штейнера, которая также является петлей. Без идемпотентности полные симметрические квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера , также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа ( Q , ∗) называется вполне антисимметричной, если для всех c , x , yQ выполняются обе следующие импликации:

  1. ( cx ) ∗ y = ( cy ) ∗ x влечет x = y
  2. xy = yx влечет x = y .

Он называется слабо тотально антисимметричным, если выполняется только первая импликация.

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры

  • Каждая группа является петлей, потому что ax = b тогда и только тогда, когда x = a −1b , и ya = b тогда и только тогда, когда y = ba −1 .
  • Целые числа Z (или рациональные Q или действительные числа R ) с вычитанием (-) образует квазигруппа. Эти quasiqroups не являются петли , так как не существует единичный элемент (0 является правой единицей , так как - 0 = , но не потому , что левая единица, в общем, 0 - ).
  • Ненулевые рациональные числа Q × (или ненулевые действительные числа R × ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
  • Любое векторное пространство над полем из характеристики не равно 2 образует идемпотент , коммутативную квазигруппу при операции х * Y = ( х + у ) / 2 .
  • Каждая тройная система Штейнера определяет идемпотент , коммутативное квазигруппу: * Ь является третьим элементом тройного содержащим и б . Эти квазигруппы также удовлетворяют ( xy ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера .
  • Множество {± 1, ± i, ± j, ± k}, где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими продуктами, такими как в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. Применение гиперболических кватернионов . (Сами по себе гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
  • Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы - это особый тип петель, известный как петля Муфанг .
  • Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если существует хотя бы один элемент, обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование элемента идентичности, который затем подразумевает существование обратных элементов, таким образом удовлетворяя всем трем параметрам. требования группы.
  • Следующая конструкция принадлежит Гансу Цассенхаусу . На нижележащем множестве четырехмерного векторного пространства F 4 над 3-элементным полем Галуа F = Z / 3 Z определим
( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∗ ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) + ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) + (0, 0, 0, ( x 3 - y 3 ) ( x 1 y 2 - x 2 y 1 )).
Тогда ( F 4 , ∗) - коммутативная лупа Муфанг , не являющаяся группой.

Характеристики

В оставшейся части статьи мы будем обозначать квазигрупповое умножение просто сопоставлением .

Квазигруппы обладают свойством отмены : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Свойство латинского квадрата квазигрупп означает, что для любых двух из трех переменных в xy = z третья переменная определяется однозначно.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L x , R x : QQ , определенные формулой

Определение говорит , что оба отображения биекциями от Q к себе. Магма Q является квазигруппой в точности тогда, когда все эти операторы для любого x из Q взаимно однозначны. Обратные отображения - это левое и правое деление, то есть

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (указанные в разделе об универсальной алгебре ) следующие:

где 1 обозначает тождественное отображение Q .

Латинские квадраты

Латинский квадрат, таблица умножения без границ для квазигруппы, 10 элементов которой представляют собой цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы - это латинский квадрат : таблица размера n × n, заполненная n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат может быть взят как таблица умножения квазигруппы многими способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничный столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любой перестановкой элементов. См. Маленькие латинские квадраты и квазигруппы .

Бесконечные квазигруппы

Для счетно бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствует некоторому элементу q из Q , и где элемент a * b находится в строке, соответствующей a, а столбец отвечает на b . В этой ситуации свойство Latin Square также говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будет содержать все возможные значения ровно один раз.

Для несчетно бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата все еще сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, для которого бесконечный массив расширяется, поскольку действительные числа не могут быть записаны последовательно . (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа могут быть записаны в виде последовательности длины , предполагая теорему о правильном упорядочивании.)

Обратные свойства

Бинарная операция квазигруппы обратима в том смысле, что оба и , левый и правый операторы умножения биективны и, следовательно, обратимы .

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

Говорят, что цикл имеет ( двусторонний ) обратный, если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается .

Есть несколько более сильных понятий инверсии в циклах, которые часто бывают полезны:

  • Цикл имеет левое обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или .
  • Цикл имеет право обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или .
  • Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством if или, что то же самое, if .
  • Цикл имеет слабое обратное свойство , когда тогда и только тогда . Это может быть указано в обратном порядке или эквивалентно .

Цикл имеет обратное свойство, если он имеет как левое, так и правое обратное свойство. Петли с обратными свойствами также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любая петля, удовлетворяющая любым двум из четырех приведенных выше тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет левым, правым или антиавтоморфным обратным свойствам, автоматически имеет двусторонние обратные.

Морфизмы

Квазигруппа или гомоморфизм петель - это отображение f  : QP между двумя квазигруппами такое, что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также элементы идентичности (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Пусть Q и P - квазигруппы. Квазигруппой Гомотопический из Q в Р есть тройка (α, β, γ) отображений из Q в Р такой , что

для всех х , у в Q . Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия гомотопия , для которой каждая из трех карт (α, β, у) является взаимно однозначное соответствие . Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия (α, β, γ) задается перестановкой строк α, перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ.

Autotopy изотопия от квазигруппы к себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, таким образом, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на R с умножением ( x + y ) / 2 изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама не является группой. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брука – Тойоды .

Спряжение (парастроф)

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т. Е. Xy = z ) мы можем сформировать пять новых операций: x o y  : = yx ( противоположная операция), / и \ и их противоположности. Всего получается шесть квазигрупповых операций, которые называются сопряженными или парастрофами ∗. Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия)

Если в множестве Q есть две квазигрупповые операции, ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой, операции называются изострофическими друг другу. Есть также много других названий этого отношения «изострофа», например, паратопия .

Обобщения

Полиадические или многомерные квазигруппы

П - ичная квазигруппа представляет собой набор с п -ичными операциями , ( Q , е ) с ф : Q пQ , таким , что уравнение F ( х 1 , ..., х п ) = у имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадический или множественный означает n -аричный для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арна или нульарная , квазигруппа просто постоянный элемент Q . 1-арная или унарная квазигруппа - это биекция Q самой себе. Бинарная , или 2-ичный, квазигруппа является обычной квазигруппой.

Примером множественной квазигруппы является итерационная групповая операция y = x 1 · x 2 · ··· · x n ; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Можно также сформировать многоарную квазигруппу, выполнив любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют многомерные квазигруппы, которые нельзя представить ни одним из этих способов. П -ичный квазигруппа неприводимым , если его работа не может быть учтены в составе двух операций следующим образом:

где 1 ≤ i < jn и ( i, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; см. подробности в Akivis and Goldberg (2001).

П -ичная квазигруппа с п -ичной версией ассоциативности называется п -ичной группы .

Правые и левые квазигруппы

Правая квазигруппа ( Q , *, /) представляет собой тип (2,2) алгебра , удовлетворяющие оба тождество: у = ( у / х ) * х ; у = ( у * х ) / х .

Аналогично, левая квазигруппа ( Q , ∗, \) - это алгебра типа (2,2), удовлетворяющая обоим тождествам: y = x ∗ ( x \ y ); у = х \ ( х * у ).

Количество малых квазигрупп и петель

Здесь указано количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ):

порядок Количество квазигрупп Количество петель
0 1 0
1 1 1
2 1 1
3 5 1
4 35 год 2
5 1,411 6
6 1 130 531 109
7 12 198 455 835 23 746
8 2 697 818 331 680 661 106 228 849
9 15 224 734 061 438 247 321 497 9 365 022 303 540
10 2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513 20 890 436 195 945 769 617
11 19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025 1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки