Приближение случайной фазы - Random phase approximation

Кольцевые диаграммы, суммируемые для получения приближения RPA. Жирные линии выше обозначают взаимодействующие функции Грина, не жирные линии обозначают функцию Грина без взаимодействия, а пунктирные линии обозначают взаимодействия двух тел.

Приближение случайных фаз ( РПА ) является метод приближения в физике конденсированных сред и в ядерной физике . Впервые он был представлен Дэвидом Бомом и Дэвидом Пайнсом как важный результат в серии основополагающих статей 1952 и 1953 годов. На протяжении десятилетий физики пытались включить эффект микроскопических квантово-механических взаимодействий между электронами в теорию материи. RPA Бома и Пайнса объясняет слабое экранированное кулоновское взаимодействие и обычно используется для описания динамического линейного электронного отклика электронных систем.

В RPA предполагается, что электроны реагируют только на полный электрический потенциал V ( r ), который является суммой внешнего возмущающего потенциала V _ext ( r ) и экранирующего потенциала V _sc ( r ). Предполагается, что внешний возмущающий потенциал колеблется с одной частотой ω , так что модель дает с помощью метода самосогласованного поля (SCF) динамическую диэлектрическую функцию, обозначаемую ε _RPA ( k , ω ).

Вклад в диэлектрическую функцию от общего электрического потенциала , как предполагается, усредняется , так что только потенциал на волновом вектор K вносит свой вклад. Это и есть приближение случайных фаз. Полученная диэлектрическая функция, также называемая диэлектрической функцией Линдхарда , правильно предсказывает ряд свойств электронного газа, включая плазмоны .

В конце 1950-х годов РПА критиковали за чрезмерный учет степеней свободы, и призыв к обоснованию привел к интенсивной работе среди физиков-теоретиков. В основополагающей статье Мюррей Гелл-Манн и Кейт Брюкнер показали, что RPA может быть получена путем суммирования цепных диаграмм Фейнмана первого порядка в плотном электронном газе.

Последовательность этих результатов стала важным обоснованием и мотивировала очень сильный рост теоретической физики в конце 50-х и 60-х годов.

Приложение: основное состояние RPA взаимодействующей бозонной системы.

Вакуум RPA для бозонной системы может быть выражен через некоррелированный бозонный вакуум и исходные бозонные возбуждения${\ displaystyle \ left | \ mathbf {RPA} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ mathbf {MFT} \ right \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {я} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {RPA} \ right \ rangle = {\ mathcal {N}} \ mathbf {e} ^ {Z_ {ij} \ mathbf {a} _ {i} ^ {\ dagger} \ mathbf {а} _ {j} ^ {\ dagger} / 2} \ left | \ mathrm {MFT} \ right \ rangle}$

где Z - симметричная матрица с и ${\ Displaystyle | Z | \ leq 1}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = {\ frac {\ left \ langle \ mathrm {MFT} \ right | \ left. \ mathrm {RPA} \ right \ rangle} {\ left \ langle \ mathrm {MFT} \ right | \ left. \ mathrm {MFT} \ right \ rangle}}}$

Нормализация может быть рассчитана как

${\ displaystyle \ langle \ mathrm {RPA} | \ mathrm {RPA} \ rangle = {\ mathcal {N}} ^ {2} \ langle \ mathrm {MFT} | \ mathbf {e} ^ {z_ {i} ( {\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {i}) ^ {2} / 2} \ mathbf {e} ^ {z_ {j} ({\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {j} ^ {\ dagger}) ^ {2} / 2} | \ mathrm {MFT} \ rangle = 1}$

где это сингулярное разложение из . ${\ displaystyle Z_ {ij} = (X ^ {\ mathrm {t}}) _ {i} ^ {k} z_ {k} X_ {j} ^ {k}}$${\ displaystyle Z_ {ij}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {q}}} ^ {i} = (X ^ {\ dagger}) _ {j} ^ {i} \ mathbf {a} ^ {j}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {- 2} = \ sum _ {m_ {i}} \ sum _ {n_ {j}} {\ frac {(z_ {i} / 2) ^ {m_ { i}} (z_ {j} / 2) ^ {n_ {j}}} {m! n!}} \ langle \ mathrm {MFT} | \ prod _ {i \, j} ({\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {i}) ^ {2m_ {i}} ({\ tilde {\ mathbf {q}}} _ {j} ^ {\ dagger}) ^ {2n_ {j}} | \ mathrm { MFT} \ rangle}$

${\ displaystyle = \ prod _ {i} \ sum _ {m_ {i}} (z_ {i} / 2) ^ {2m_ {i}} {\ frac {(2m_ {i})!} {m_ {i} }! ^ {2}}} =}$

${\ displaystyle \ prod _ {i} \ sum _ {m_ {i}} (z_ {i}) ^ {2m_ {i}} {1/2 \ select m_ {i}} = {\ sqrt {\ det ( 1- | Z | ^ {2})}}}$

связь между новым и старым возбуждением дается

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {a}}} _ {i} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-Z ^ {2}}}} \ right) _ {ij} \ mathbf {a} _ {j} + \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-Z ^ {2}}}} Z \ right) _ {ij} \ mathbf {a} _ {j} ^ {\ dagger}}$.

Ссылки