Рациональная функция - Rational function
В математике , A рациональная функции является любой функцией , которая может быть определена с помощью рациональной дроби , которая является алгебраической фракцией , такой , что как числитель и знаменатель являются полиномы . В коэффициенты полиномов не должны быть рациональными числами ; они могут быть приняты в любом поле К . В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над К . Значения переменных могут быть приняты в любом поле L , содержащего K . Затем домен функции является множество значений переменных , для которых знаменатель не равен нулю, а кообласть является л .
Множество рациональных функций над полем K является полем, то поле дробей в кольце из полиномиальных функций над K .
Определения
Функция называется рациональной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде
где и являются полиномиальными функциями от и не нулевой функции . Домен в это совокупность всех значений , для которых знаменатель не равен нулю.
Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и производит рациональную функцию
который может иметь большую область, чем , и равен в области. Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения "по непрерывности" области до области Действительно, можно определить рациональную дробь как эквивалентность класс дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно .
Правильная рациональная функция является рациональной функцией , в которой степень в меньше степени , и оба вещественные многочлены , названные по аналогии с правильной дроби в .
Степень
Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.
Чаще всего степень рациональной функции является максимальной из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сокращается до наименьших членов . Если степень f равна d , то уравнение
имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или когда какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).
В случае комплексных коэффициентов рациональная функция со степенью один является преобразованием Мёбиуса .
Степень графика рациональной функции не степени , как определено выше: это максимум степени числителя и один плюс степень знаменателя.
В некоторых контекстах, например в асимптотическом анализе , степень рациональной функции - это разница между степенями числителя и знаменателя.
В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называют биквадратная функция .
Примеры
Рациональная функция
не определен в
Асимптотика при
Рациональная функция
определен для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку если бы x был квадратным корнем из (то есть мнимой единицей или ее отрицательной величиной), то формальная оценка привела бы к делению на ноль:
который не определен.
Функция постоянная , такие как ф ( х ) = π является рациональной функцией , так как константы являются полиномами. Сама функция является рациональной, даже если значение из ф ( х ) является иррациональным для всех х .
Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с функцией A, которая не может быть записана в этой форме, например, не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.
Рациональная функция равна 1 для всех x, кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сами по себе являются рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не будут приняты меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1.
Серия Тейлора
Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравняв рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собрав подобные члены после очистки знаменателя.
Например,
Умножая на знаменатель и распределяя,
После корректировки индексов сумм, чтобы получить те же степени x , мы получаем
Объединение похожих терминов дает
Поскольку это верно для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, отсюда следует, что
Тогда, поскольку слева нет степеней x , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, из чего следует, что
И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию при использовании в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких повторений, поскольку, используя разложение на частичную дробь, мы можем записать любую правильную рациональную функцию в виде суммы множителей вида 1 / ( ax + b ) и разложить их в виде геометрических рядов , давая явную формулу для уравнения Тейлора. коэффициенты; это метод производящих функций .
Абстрактная алгебра и геометрические понятия
В абстрактной алгебре понятие многочлена расширено, чтобы включить формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля . В этой установке данного поля F , а некоторые неопределенные Х , А рациональное выражение является любым элементом поля частных в кольце многочленов F [ X ]. Любое рациональное выражение может быть записано как отношение двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не единственно. P / Q эквивалентно R / S для многочленов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q низшей степени и Q, выбранным как монический . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда может быть записана однозначно в наименьших числах, исключая общие множители.
Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Это поле называется генерируются (как поле) над F пути (а трансцендентное элемента ) X , потому что F ( X ) не содержит какой - либо надлежащий подполе , содержащий как F и элемент X .
Сложные рациональные функции
В комплексном анализе рациональная функция
- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать неопределенного значения 0/0 для f ).
Область определения f - это набор комплексных чисел, таких что, а его диапазон - это набор комплексных чисел w, таких что
Каждая рациональная функция может быть естественным образом расширена до функции, область определения и область значений которой - вся сфера Римана ( комплексная проективная прямая ).
Рациональные функции являются репрезентативными примерами мероморфных функций .
Итерация рациональных функций (отображений) на сфере Римана создает дискретные динамические системы .
Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии
Как и многочлены , рациональные выражения можно обобщить на n неопределенных X 1 , ..., X n , взяв поле дробей F [ X 1 , ..., X n ], которое обозначается F ( X 1 , ..., X n ).
Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там поле функций алгебраического многообразия V образуются как поле фракций координатного кольца из V (более точно сказал о Зариском плотном аффинном открытом множестве V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы проективной прямой .
Приложения
Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и приближения функций, например, аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Приближения в терминах рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и полиномы, их можно вычислить напрямую, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем полиномы.
Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику и фотография для улучшения разрешения изображения, а также акустики и звука.
В обработке сигналов , то преобразование Лапласа (для непрерывных систем) или г-преобразование (для дискретного времени систем) от импульсного отклика обычно используемых линейных стационарных систем (фильтры) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами .
Смотрите также
- Поле дробей
- Разложение на частичную дробь
- Частичные доли в интеграции
- Функциональное поле алгебраического многообразия
- Алгебраические дроби - обобщение рациональных функций, позволяющее извлекать целые корни
использованная литература
- "Рациональная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8