Парадокс ворона - Raven paradox

Ворон парадокс , известный также как парадокс Гемпеля , воронов Гемпель или редко в парадоксе помещения орнитологии , это парадокс , возникающий от вопроса о том, что представляет собой доказательство для утверждения. Наблюдение за объектами, которые не являются ни черными, ни воронами, может формально увеличить вероятность того, что все вороны черные, хотя интуитивно эти наблюдения не связаны между собой.

Эта проблема была предложена логиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах, чтобы проиллюстрировать противоречие между индуктивной логикой и интуицией .

Парадокс

Хемпель описывает парадокс с точки зрения гипотезы :

(1) Все вороны черные . В виде импликации это можно выразить так: « Если что-то - ворон, значит, оно черное».

В противоположность этому это утверждение эквивалентно :

(2) Если что-то не черное, значит, это не ворон.

Во всех обстоятельствах, когда (2) истинно, (1) также истинно - и аналогично, во всех обстоятельствах, когда (2) ложно (т. Е. Если вообразить мир, в котором что-то не было черным, но было вороном, существовал), (1) также неверно.

Учитывая общее утверждение, такое как все вороны - черные , форма того же утверждения, которая относится к конкретному наблюдаемому экземпляру общего класса, обычно считается доказательством этого общего утверждения. Например,

(3) Мой любимый ворон черный.

- свидетельство, подтверждающее гипотезу о том, что все вороны черные .

Парадокс возникает, когда тот же процесс применяется к утверждению (2). Увидев зеленое яблоко, можно заметить:

(4) Это зеленое яблоко не черное и не ворон.

По тем же соображениям это утверждение свидетельствует о том, что (2) если что-то не черное, то это не ворон. Но поскольку (как указано выше) это утверждение логически эквивалентно (1) все вороны черные , из этого следует, что вид зеленого яблока является доказательством, подтверждающим представление о том, что все вороны черные. Этот вывод кажется парадоксальным, потому что он подразумевает, что информация о воронах была получена, глядя на яблоко.

Предлагаемые резолюции

Критерий Никода гласит, что только наблюдения за воронами должны влиять на мнение о том, все ли вороны черные. Наблюдение за большим количеством черных воронов должно поддержать точку зрения, наблюдение за белыми или цветными воронами должно противоречить ей, а наблюдения за не-воронами не должны иметь никакого влияния.

Условие эквивалентности Хемпеля гласит, что когда предложение X предоставляет свидетельство в пользу другого предложения Y, то X также предоставляет свидетельство в пользу любого предложения, которое логически эквивалентно Y.

Реально набор воронов конечен. Набор не-черных вещей либо бесконечен, либо недоступен человеческому перечислению. Чтобы подтвердить утверждение «Все вороны черные», необходимо понаблюдать за всеми воронами. Это сложно, но возможно. Чтобы подтвердить утверждение «Все не-черные вещи - не вороны», необходимо исследовать все нечерные вещи. Это невозможно. Наблюдение за черным вороном можно рассматривать как ограниченное количество подтверждающих доказательств, но наблюдение за не-черным не-вороном будет бесконечно малым количеством доказательств.

Парадокс показывает, что критерий Никода и условие эквивалентности Гемпеля несовместимы. Разрешение парадокса должно отвергать по крайней мере одно из:

1. отрицательные экземпляры, не имеющие влияния (! ПК),
2. условие эквивалентности (ЕС), или,
3. проверка положительными экземплярами (NC).

Удовлетворительное решение должно также объяснить, почему наивно кажется парадоксом. Решения, которые принимают парадоксальный вывод, могут сделать это, представив предложение, которое мы интуитивно знаем как ложное, но которое легко спутать с (PC), в то время как решения, которые отвергают (EC) или (NC), должны представлять предложение, которое мы интуитивно знаем, быть правдой, но это легко спутать с (EC) или (NC).

Признание не-воронов актуальным

Хотя этот вывод парадокса кажется противоречащим интуиции, некоторые подходы допускают, что наблюдения (цветных) не-воронов на самом деле могут представлять собой веские доказательства в поддержку гипотез о (универсальной черноте) воронов.

Резолюция Гемпеля

Сам Хемпель принял парадоксальный вывод, утверждая, что причина, по которой результат кажется парадоксальным, заключается в том, что мы обладаем предварительной информацией, без которой наблюдение за не-черным не-вороном действительно предоставило бы доказательства того, что все вороны черные.

Он иллюстрирует это на примере обобщения «Все соли натрия горят желтым» и просит нас рассмотреть наблюдение, которое происходит, когда кто-то держит кусок чистого льда в бесцветном пламени, которое не желтеет:

Этот результат подтвердит утверждение: «Все, что не горит желтым, не является натриевой солью», и, следовательно, в силу условия эквивалентности подтвердит исходную формулировку. Почему это кажется нам парадоксальным? Причина становится ясной, если мы сравним предыдущую ситуацию со случаем эксперимента, в котором объект, химический состав которого нам еще неизвестен, помещается в пламя и не может пожелтеть, и где последующий анализ показывает, что он не содержит натрия. соль. Несомненно, мы должны согласиться с тем, что этот результат является тем, чего можно было ожидать на основе гипотезы ... таким образом, полученные здесь данные представляют собой подтверждающее свидетельство в пользу гипотезы. ... В кажущихся парадоксальными случаях подтверждения мы часто фактически не судим об отношении данного свидетельства, только E к гипотезе H ... мы неявно вводим сравнение H с совокупностью свидетельств, состоящих из E в в сочетании с дополнительным объемом информации, которым мы располагаем; на нашей иллюстрации эта информация включает информацию (1) о том, что в эксперименте используется лед, и (2) о том, что лед не содержит натриевой соли. Если мы примем эту дополнительную информацию как данность, то, конечно, результат эксперимента не может добавить силы рассматриваемой гипотезе. Но если мы будем осторожны, чтобы избежать этой молчаливой ссылки на дополнительные знания ... парадоксы исчезнут.

Стандартное байесовское решение

Одно из самых популярных предложенных решений - принять вывод о том, что наблюдение за зеленым яблоком свидетельствует о том, что все вороны черные, но утверждать, что количество предоставленных подтверждений очень мало из-за большого несоответствия между количеством воронов и количество не-черных предметов. Согласно этой резолюции вывод кажется парадоксальным, потому что мы интуитивно оцениваем количество свидетельств, полученных при наблюдении за зеленым яблоком, равным нулю, хотя на самом деле оно не равно нулю, но чрезвычайно мало.

Изложение этого аргумента И. Дж. Гудом в 1960 году, пожалуй, наиболее известно, и с тех пор его вариации популярны, хотя он был представлен в 1958 году, а ранние формы аргументации появились еще в 1940 году.

Аргумент Гуда включает расчет веса свидетельств, полученных при наблюдении за черным вороном или белым ботинком, в пользу гипотезы о том, что все вороны в коллекции объектов черные. Вес доказательств - это логарифм байесовского фактора , который в данном случае является просто коэффициентом, с помощью которого вероятность гипотезы изменяется при проведении наблюдения. Аргумент следующий:

... предположим, что есть объекты, которые можно увидеть в любой момент, в том числе вороны и черные, и что каждый объект имеет вероятность быть увиденным. Пусть будет гипотеза, что существуют не черные вороны, и предположим, что гипотезы изначально равновероятны. Тогда, если случится увидеть черный ворон, фактор Байеса в пользу IS${\ displaystyle N}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {N}}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}, ..., H_ {r}}$${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {r} {N}} {\ Big /} {\ text {average}} \ left ({\ tfrac {r-1} {N}}, {\ tfrac {r-2} { N}}, ... \, {\ tfrac {1} {N}} \ right) \ = \ {\ tfrac {2r} {r-1}}}$

то есть около 2, если известно, что количество существующих воронов велико. Но если мы увидим белую туфлю, фактор только

${\ displaystyle {\ tfrac {Nb} {N}} {\ Big /} {\ text {average}} \ left ({\ tfrac {Nb-1} {N}}, {\ tfrac {Nb-2} { N}}, ... \, \ max (0, {\ tfrac {Nbr} {N}}) \ right)}$

${\ displaystyle \ = \ {\ frac {Nb} {\ max \ left (Nb - {\ tfrac {r} {2}} - {\ tfrac {1} {2}} \, \ {\ tfrac {1}) {2}} (Nb-1) \ right)}}}$

и это превышает единицу только примерно на, если велико по сравнению с . Таким образом, весомость свидетельства, получаемого при виде белого башмака, положительна, но она мала, если известно, что количество воронов невелико по сравнению с количеством не-черных объектов.${\ displaystyle r / (2N-2b)}$${\ displaystyle Nb}$${\ displaystyle r}$

Многие из сторонников этой резолюции и варианты ее были сторонниками вероятности байесовской, и теперь обычно называют Байес решения, хотя, как Chihara замечает, «нет такой вещи , как в байесовском решении. Есть много различных" решения, предложенные байесовцами с использованием байесовских методов ". Заслуживающие внимания подходы, использующие байесовские методы (некоторые из которых принимают! PC и вместо этого отвергают NC), включают Эрмана, Иллса, Гибсона, Хозиассона-Линденбаума , Хаусона и Урбаха, Маки и Хинтикка, который утверждает, что его подход «более байесовский, чем таковой». называется «байесовским решением» того же парадокса ». Байесовские подходы, использующие теорию индуктивного вывода Карнапа, включают Humburg, Maher и Fitelson & Hawthorne. Чтобы избежать путаницы, Вранас ввел термин «стандартное байесовское решение».

Карнап подход

Махер принимает парадоксальный вывод и уточняет его:

Не-ворон (любого цвета) подтверждает, что все вороны черные, потому что

(i) информация о том, что этот объект не ворон, исключает возможность того, что этот объект является контрпримером к обобщению, и

(ii) это уменьшает вероятность того, что ненаблюдаемые объекты являются воронами, тем самым уменьшая вероятность того, что они являются контрпримерами к обобщению.

Чтобы достичь (ii), он обращается к теории индуктивной вероятности Карнапа, которая (с байесовской точки зрения) является способом приписывания априорных вероятностей, который естественным образом реализует индукцию. Согласно теории Карнапа, апостериорная вероятность того, что объект будет иметь предикат , после того, как свидетельство будет обнаружено, равна: ${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$

${\ Displaystyle P (Fa | E) \ = \ {\ frac {n_ {F} + \ lambda P (Fa)} {n + \ lambda}}}$

где - начальная вероятность, имеющая предикат ; - количество обследованных объектов (по имеющимся данным ); - количество исследованных объектов, у которых оказался предикат , и является константой, измеряющей сопротивление обобщению. ${\ Displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle n_ {F}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$

Если близко к нулю, будет очень близко к единице после однократного наблюдения объекта, который, как оказалось, имеет предикат , в то время как, если он намного больше , будет очень близок к независимо от доли наблюдаемых объектов, у которых был предикат . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\ Displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle F}$

Используя этот карнаповский подход, Махер определяет утверждение, которое мы интуитивно (и правильно) знаем, ложно, но легко спутать с парадоксальным выводом. Речь идет о том, что наблюдение за не-воронами говорит нам о цвете воронов. Хотя это интуитивно неверно и также неверно в соответствии с теорией индукции Карнапа, наблюдение за не-воронами (согласно той же теории) заставляет нас уменьшить нашу оценку общего числа воронов и, таким образом, уменьшает предполагаемое количество возможных контрпримеров до правило, что все вороны черные.

Следовательно, с байесовско-карнапской точки зрения наблюдение за не-вороном ничего не говорит нам о цвете воронов, но говорит нам о преобладании воронов и подтверждает, что «все вороны черные», уменьшая наш оценка количества воронов, которые могут не быть черными.

Роль базовых знаний

Большая часть обсуждения парадокса в целом и байесовского подхода в частности сосредоточена на актуальности базовых знаний. Удивительно, но Махер показывает, что для большого класса возможных конфигураций фоновых знаний наблюдение за не-черным не-вороном дает точно такое же количество подтверждений, как и наблюдение за черным вороном. Конфигурации фоновых знаний, которые он рассматривает, - это те, которые обеспечиваются типовым предложением , а именно утверждением, которое представляет собой соединение атомарных пропозиций, каждое из которых приписывает один предикат одному индивиду, без двух атомарных пропозиций, включающих одного и того же индивида. . Таким образом, предложение формы «A - черный ворон, а B - белая туфля» можно рассматривать как примерное предложение, взяв за предикаты «черный ворон» и «белый ботинок».

Доказательство Махера, похоже, противоречит результату байесовского аргумента, который заключался в том, что наблюдение за не-черным не-вороном дает гораздо меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Причина в том, что фоновые знания, которые используют Гуд и другие, не могут быть выражены в форме типового предложения - в частности, варианты стандартного байесовского подхода часто предполагают (как это сделал Гуд в приведенном выше аргументе), что общее количество вороны, не-черные объекты и / или общее количество объектов являются известными величинами. Махер комментирует: «Причина, по которой мы думаем, что существует больше не-черных вещей, чем воронов, состоит в том, что это верно в отношении вещей, которые мы наблюдали до настоящего времени. Свидетельства такого рода могут быть представлены в виде типового утверждения. Но ... любое примерное предложение в качестве фонового доказательства, не-черный не-ворон подтверждает А так же сильно, как и черный ворон ... Таким образом, мой анализ показывает, что этот ответ на парадокс [то есть стандартный байесовский] не может быть правильным ».

Фителсон и Хоторн исследовали условия, при которых наблюдение за не-черным не-вороном дает меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Они показывают, что если объект выбран наугад, то есть предположение, что объект черный, и утверждение, что объект - ворон, то условие: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle Ba}$${\ displaystyle Ra}$

${\ displaystyle {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | {\ overline {H}})} {P (Ra | {\ overline {H}})}} \ - \ P ({\ overline { Ba}} | Ra {\ overline {H}}) \ \ geq \ P (Ba | Ra {\ overline {H}}) {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | H)} {P ( Ra | H)}}}$

Достаточно для наблюдения за не-черным, не за вороном, чтобы предоставить меньше доказательств, чем за черным вороном. Здесь черта над предложением указывает на логическое отрицание этого предложения.

Это условие не говорит нам, насколько велика разница в предоставленных доказательствах, но более поздние вычисления в той же статье показывают, что вес доказательств, предоставленных черным вороном, превышает вес доказательств, предоставленных не-черным не-вороном, примерно на . Это равно количеству дополнительной информации (в битах, если основание логарифма равно 2), которая предоставляется, когда ворон неизвестного цвета оказывается черным, учитывая гипотезу о том, что не все вороны черные. ${\ displaystyle - \ log P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$

Фителсон и Хоторн объясняют, что:

В нормальных условиях может быть где-то около 0,9 или 0,95; так что где-то около 1,11 или 1,05. Таким образом, может показаться, что один-единственный экземпляр черного ворона не принесет гораздо большей поддержки, чем не-черный не-ворон. Однако при вероятных условиях можно показать, что последовательность примеров (например, n черных воронов по сравнению с n не-черными не-воронами) дает отношение отношений правдоподобия порядка , которое значительно возрастает для больших .${\ displaystyle p = P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$${\ displaystyle 1 / p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (1 / p) ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Авторы отмечают, что их анализ полностью согласуется с предположением о том, что не-черный не-ворон дает очень мало свидетельств, хотя они и не пытаются это доказать; они просто вычисляют разницу между количеством доказательств, которые предоставляет черный ворон, и количеством доказательств, которые предоставляет не черный, не ворон.

Опровержение индукции положительных примеров

Некоторые подходы к разрешению парадокса сосредоточены на индуктивном шаге. Они оспаривают, является ли наблюдение конкретного экземпляра (например, одного черного ворона) свидетельством, которое обязательно увеличивает уверенность в общей гипотезе (например, что вороны всегда черные).

Отвлекающий маневр

Гуд приводит пример фоновых знаний, в отношении которых наблюдение за черным вороном снижает вероятность того, что все вороны черные:

Предположим, что мы знаем, что находимся в том или ином из двух миров, и рассматриваемая гипотеза H состоит в том, что все вороны в нашем мире черные. Мы заранее знаем, что в одном мире есть сотня черных воронов, не черных воронов и миллион других птиц; и что в другом мире есть тысяча черных воронов, один белый ворон и миллион других птиц. Птица выбирается равновероятно случайным образом из всех птиц в нашем мире. Оказывается, черный ворон. Это веское доказательство ... что мы находимся во втором мире, где не все вороны черные.

Гуд заключает, что белый ботинок - это « отвлекающий маневр »: иногда даже черный ворон может служить доказательством против гипотезы о том, что все вороны черные, поэтому тот факт, что наблюдение за белым ботинком может подтвердить это, неудивителен и не заслуживает внимания. . Согласно Гуду критерий Никода ложен, и поэтому парадоксального вывода не следует.

Хемпель отверг это как решение парадокса, настаивая на том, что предложение «c - ворон и черный» должно рассматриваться «само по себе и без ссылки на какую-либо другую информацию», и отмечая, что оно «... было подчеркнуто в раздел 5.2 (b) моей статьи в Mind ... что само появление парадоксальности в случаях, подобных случаю с белым ботинком, частично является результатом несоблюдения этой максимы ".

Тогда возникает вопрос, следует ли понимать парадокс в контексте абсолютно никакой справочной информации (как предлагает Хемпель), или в контексте исходной информации, которой мы действительно располагаем относительно воронов и черных предметов, или в отношении всех остальных. возможные конфигурации справочной информации.

Гуд показал, что для некоторых конфигураций фоновых знаний критерий Никода неверен (при условии, что мы готовы приравнять «индуктивную поддержку» к «увеличению вероятности» - см. Ниже). Оставалась возможность, что в отношении нашей действительной конфигурации знания, которая сильно отличается от примера Гуда, критерий Никода все еще может быть верным, и поэтому мы все еще можем прийти к парадоксальному выводу. Хемпель, с другой стороны, настаивает на том, что наше базовое знание само по себе является отвлекающим маневром, и что мы должны рассматривать индукцию как условие полного невежества.

Детка Гуда

В предложенной им резолюции Махер неявно использовал тот факт, что утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет. Гуд использовал этот факт раньше, чтобы ответить на настойчивые требования Хемпеля о том, что критерий Никода следует понимать как выполняющийся при отсутствии исходной информации:

... представьте себе бесконечно умного новорожденного ребенка со встроенными нейронными цепями, позволяющими ему иметь дело с формальной логикой, английским синтаксисом и субъективной вероятностью. После детального определения ворона он мог бы теперь возразить, что крайне маловероятно, что вороны существуют, и поэтому весьма вероятно, что все вороны черные, то есть это правда. «С другой стороны, - продолжает он, - если есть вороны, то есть большая вероятность, что они бывают разных цветов. Поэтому, если бы я обнаружил, что существует даже черный ворон, я бы счел его менее вероятным, чем это было изначально ».${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Это, согласно Гуду, настолько близко, насколько можно разумно ожидать, чтобы попасть в состояние полного невежества, и похоже, что условие Никода все еще ложно. Махер уточнил аргумент Гуда, используя теорию индукции Карнапа, чтобы формализовать представление о том, что если есть один ворон, то, вероятно, их много.

Аргумент Махера рассматривает вселенную ровно из двух объектов, каждый из которых вряд ли будет вороном (шанс один из тысячи) и с разумной вероятностью будет черным (шанс один из десяти). Используя формулу индукции Карнапа, он обнаруживает, что вероятность того, что все вороны черные, уменьшается с 0,9985 до 0,8995, когда обнаруживается, что один из двух объектов - черный ворон.

Махер приходит к выводу, что не только парадоксальный вывод верен, но и что критерий Никода ложен при отсутствии фоновых знаний (за исключением знания о том, что количество объектов во вселенной равно двум и что вороны менее вероятны, чем черные существа).

Отличительные предикаты

Куайн утверждал, что решение парадокса заключается в признании того факта, что определенные предикаты , которые он назвал естественными видами , обладают особым статусом по отношению к индукции. Это можно проиллюстрировать на примере предиката grue Нельсона Гудмана . Объект считается черным, если он синий до (скажем) 2021 года и зеленый после него. Очевидно, что мы ожидаем, что объекты, которые были синими до 2021 года, впоследствии останутся синими, но мы не ожидаем, что объекты, которые были признаны синими до 2021 года, станут синими после 2021 года, поскольку после 2021 года они будут зелеными. Куайн объясняет это тем, что «синий» - это естественный вид; привилегированный предикат, который мы можем использовать для индукции, в то время как "grue" не является естественным видом, и использование с ним индукции приводит к ошибке.

Это предлагает разрешение парадокса - критерий Никода верен для естественных видов, таких как «синий» и «черный», но неверен для искусственно придуманных предикатов, таких как «grue» или «non-raven». Согласно этой резолюции, парадокс возникает потому, что мы неявно интерпретируем критерий Никода как применимый ко всем предикатам, тогда как на самом деле он применим только к естественным видам.

Другой подход, который предпочитает одни предикаты другим, был использован Hintikka. Хинтикка был мотивирован найти байесовский подход к парадоксу, который не использовал знания об относительных частотах воронов и черных существ. Он утверждает, что аргументы относительно относительных частот не всегда могут объяснить воспринимаемую неуместность свидетельств, состоящих из наблюдений за объектами типа A, для целей изучения объектов типа не-A.

Его аргумент можно проиллюстрировать, перефразируя парадокс с использованием предикатов, отличных от «ворон» и «черный». Например, выражение «Все мужчины высокие» эквивалентно «Все люди низкого роста - женщины», поэтому наблюдение за тем, что случайно выбранный человек является невысокой женщиной, должно служить доказательством того, что все мужчины высокие. Несмотря на то, что нам не хватает базовых знаний, чтобы указать, что мужчин значительно меньше, чем невысоких людей, мы все же склонны отвергать этот вывод. Пример Хинтикки: «... такое обобщение, как« никакие материальные тела не могут быть бесконечно делимы », кажется, совершенно не затрагивается вопросами, касающимися нематериальных сущностей, независимо от того, что мы думаем об относительных частотах материальных и нематериальных сущностей в своей вселенной дискурса. "

Его решение состоит в том, чтобы ввести порядок в набор предикатов. Когда логическая система оснащена этим порядком, можно ограничить объем обобщения, такого как «Все вороны черные», чтобы оно применялось только к воронам, а не к не-черным вещам, поскольку порядок привилегий воронов над не-черными. -черные вещи. Как он выразился:

«Если мы вправе предположить, что сфера действия обобщения« Все вороны черные »может быть ограничена воронами, то это означает, что у нас есть некоторая внешняя информация, на которую мы можем положиться относительно фактической ситуации. Парадокс возникает из того факта, что что эта информация, которая окрашивает наш спонтанный взгляд на ситуацию, не включается в обычные трактовки индуктивной ситуации ".

Отклонения от условия эквивалентности Хемпеля

Некоторые подходы к разрешению парадокса отвергают условие эквивалентности Гемпеля. То есть они могут не рассматривать доказательства, подтверждающие утверждение, что все не-черные объекты не являются воронами, чтобы обязательно поддержать логически эквивалентные утверждения, такие как все вороны черные .

Выборочное подтверждение

Шеффлер и Гудман применили подход к парадоксу, который включает точку зрения Карла Поппера о том, что научные гипотезы никогда не подтверждаются, а только фальсифицируются.

Подход начинается с того, что наблюдение за черным вороном не доказывает, что «все вороны черные», но опровергает противоположную гипотезу: «Нет воронов черных». С другой стороны, не-черный не-ворон согласуется как с «Все вороны черные», так и с «Никакие вороны не черные». Как выразились авторы:

... утверждение , что все вороны черные не просто удовлетворен доказательствами черного ворона , но выступает за таких доказательств, так как черный ворон disconfirms наоборот утверждение , что все вороны не черный, то есть удовлетворяет его отрицание. Иными словами, черный ворон удовлетворяет гипотезу о том, что все вороны черные, а не нет: таким образом, выборочно подтверждается, что все вороны черные .

Выборочное подтверждение нарушает условие эквивалентности, поскольку черный ворон выборочно подтверждает «Все вороны черные», но не «Все не-черные вещи - не вороны».

Вероятностная или не вероятностная индукция

Концепция выборочного подтверждения Шеффлера и Гудмана является примером интерпретации «предоставляет доказательства в пользу ...», которая не совпадает с «увеличивать вероятность ...». Это должно быть общей чертой всех резолюций, которые отвергают условие эквивалентности, поскольку логически эквивалентные предложения всегда должны иметь одинаковую вероятность.

Наблюдение за черным вороном не может увеличить вероятность утверждения «Все вороны черные», не вызывая точно такого же изменения вероятности, что «Все не-черные существа - не вороны». Если наблюдение индуктивно поддерживает первое, но не второе, тогда «индуктивная поддержка» должна относиться к чему-то другому, кроме изменений в вероятностях предложений. Возможная лазейка состоит в том, чтобы интерпретировать «Все» как «Почти все» - «Почти все вороны черные» не эквивалентны «Почти все не-черные существа - не вороны», и эти утверждения могут иметь очень разные вероятности.

Это поднимает более широкий вопрос об отношении теории вероятностей к индуктивным рассуждениям. Карл Поппер утверждал, что одна теория вероятностей не может объяснить индукцию. Его аргумент включает в себя разделение гипотезы на часть, дедуктивно вытекающую из свидетельства , и другую часть. Это можно сделать двумя способами. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Сначала рассмотрим расщепление:

${\ Displaystyle Н = А \ и \ В \ \ \ \ \ \ Е = В \ и \ С}$

где , и вероятностно независимы: и т. д. Условие, необходимое для того, чтобы такое разделение H и E было возможным , является вероятностным подтверждением . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle P (A \ и \ B) = P (A) P (B)}$${\ Displaystyle P (H | E)> P (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Наблюдение Поппер является то , что часть, , в том , что получает поддержку на самом деле дедуктивно из следует , в то время как часть , что не следует дедуктивна из не получает никакой поддержки от - то есть . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle P (A | E) = P (A)}$

Во-вторых, расщепление:

${\ Displaystyle H = (H \ или \ E) \ и \ (H \ или \ {\ overline {E}})}$

разделяется на , что, как говорит Поппер, «является логически наиболее сильной частью (или содержания ), которая следует [дедуктивно] из », и которая, по его словам, «содержит все, что выходит за рамки ». Он продолжает: ${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle (H \ или \ E)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ или \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Обеспечивает ли в этом случае какую-либо поддержку фактора , который необходимо получить только при наличии ? Ответ: нет. Никогда. В самом деле, контрподдержка, кроме случаев или (которые не представляют интереса). ...${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ или \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ или \ {\ overline {E}})}$${\ Displaystyle P (H | E) = 1}$${\ Displaystyle P (E) = 1}$

Этот результат совершенно разрушителен для индуктивной интерпретации исчисления вероятностей. Всякая вероятностная поддержка является чисто дедуктивной: та часть гипотезы, которая не выводится дедуктивно из свидетельств, всегда строго опровергается свидетельствами ... Существует такая вещь, как вероятностная поддержка; может быть даже такая вещь, как индуктивная поддержка (хотя мы так не думаем). Но расчет вероятности показывает, что вероятностная поддержка не может быть индуктивной.

Православный подход

Ортодоксальная теория проверки гипотез Неймана – Пирсона рассматривает, как решить, принять или отклонить гипотезу, а не то, какую вероятность присвоить этой гипотезе. С этой точки зрения гипотеза о том, что «все вороны черные», не принимается постепенно , поскольку ее вероятность возрастает в сторону единицы, когда делается все больше и больше наблюдений, но принимается за одно действие в результате оценки данных, которые имеют уже собрано. Как выразились Нейман и Пирсон:

Не надеясь узнать, истинна или ложна каждая отдельная гипотеза, мы можем искать правила, управляющие нашим поведением по отношению к ним, следуя которым мы гарантируем, что в долгосрочной перспективе мы не будем слишком часто ошибаться.

В соответствии с этим подходом нет необходимости присваивать какое-либо значение вероятности гипотезы , хотя, безусловно, необходимо принимать во внимание вероятность данных с учетом гипотезы или с учетом конкурирующей гипотезы при принятии решения о принятии или отклонении. . Принятие или отклонение гипотезы сопряжено с риском ошибки .

Это контрастирует с байесовским подходом, который требует, чтобы гипотезе была присвоена априорная вероятность, которая пересматривается в свете наблюдаемых данных для получения окончательной вероятности гипотезы. В рамках байесовской модели риска ошибки нет, поскольку гипотезы не принимаются или не отвергаются; вместо этого им приписываются вероятности.

Был проведен анализ парадокса с ортодоксальной точки зрения, который, среди прочего, приводит к отказу от условия эквивалентности:

Кажется очевидным, что нельзя одновременно принять гипотезу о том, что все P суть Q, а также отвергнуть контрапозитив, т.е. что все не-Q не-P. Тем не менее, легко увидеть, что в соответствии с теорией тестирования Неймана-Пирсона проверка «Все P равны Q» не обязательно является проверкой «Все не-Q не-P» или наоборот. Испытание «Все P являются Q» , требует обращений к некоторой альтернативной статистической гипотезе о форме всех P является Q, , тогда как тест «Все не-Q являются не-Р» требует обращений к некоторой статистической альтернативе формы из все не-Q являются не-P, . Но эти два набора возможных альтернатив различны ... Таким образом, можно было бы пройти проверку без проверки его контрапозитива.${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle 0 <г <1}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle 0 <г <1}$${\ displaystyle H}$

Отказ от материального подтекста

Все следующие утверждения подразумевают друг друга: «Каждый предмет либо черный, либо не ворон», «Каждый ворон черный» и «Каждый не-черный предмет - не ворон». Следовательно, они по определению логически эквивалентны. Однако эти три предложения имеют разные области: первое утверждение что-то говорит о «каждом объекте», а второе говорит что-то о «каждом вороне».

Первое предложение - единственное, область количественной оценки которого неограничена («все объекты»), поэтому это единственное предложение, которое может быть выражено в логике первого порядка . Это логически эквивалентно:

${\ Displaystyle \ forall \ x, Rx \ \ rightarrow \ Bx}$

а также

${\ Displaystyle \ forall \ x, {\ overline {Bx}} \ \ rightarrow \ {\ overline {Rx}}}$

где указывает материальное условие , в соответствии с которым «Если, то » можно понимать как « или ».${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

Некоторые авторы утверждали, что материальная импликация не полностью отражает значение слова «Если, то » (см. Парадоксы материальной импликации ). «Для каждого объекта , либо черный или нет ворон» является истинным , когда нет воронов. Именно поэтому утверждение «Все вороны черные» считается истинным, когда воронов нет. Более того, аргументы, которые Гуд и Махер использовали для критики критерия Никода (см. § Младенец Гуда , выше), основывались на этом факте - что «все вороны черные» весьма вероятны, когда весьма вероятно, что воронов нет. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Сказать, что все вороны черные при отсутствии воронов, - пустое утверждение. Это ни к чему не относится. «Все вороны белые» одинаково уместно и верно, если это утверждение считается имеющим какую-либо истину или уместность.

Некоторые подходы к парадоксу были направлены на поиск других способов интерпретации «Если, то » и «Все есть », что устранило бы воспринимаемую эквивалентность между «Все вороны черные» и «Все не-черные вещи - не вороны». ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Один из таких подходов включает введение многозначной логики, согласно которой «Если, то » имеет значение истинности , означающее «Неопределенный» или «Несоответствующий», когда ложно. В такой системе противопоставление не допускается автоматически: «Если, то » не эквивалентно «Если, то ». Следовательно, «Все вороны черные» не эквивалентны «Все не-черные вещи - не вороны». ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

В этой системе, когда происходит противопоставления, то модальность условных вовлеченных изменений по сравнению с показателем ( «Если эта часть масла была нагрета до 32 ° С , затем она была расплавленным») в гипотетической ситуации ( "Если этот кусок масла было нагрелась до 32 ° C, тогда бы расплавился »). Согласно этому аргументу, это устраняет предполагаемую эквивалентность, необходимую для вывода о том, что желтые коровы могут сообщить нам о воронах:

При правильном грамматическом использовании контрапозитивный аргумент не должен быть полностью изложен в ориентировочном знаке. Таким образом:

Из того, что если эту спичку поцарапать, она загорится, значит, если она не загорится, то не поцарапана.

неудобно. Мы должны сказать:

Из того факта , что , если этот матч поцарапан он будет гореть, то следует , что если это было не свет он бы не был поцарапан. ...

Можно задаться вопросом, какое влияние эта интерпретация Закона Противопоставления оказывает на парадокс подтверждения Гемпеля. «Если ворон, то черный» эквивалентен «Если бы не был черным, то не был бы вороном». Следовательно, все, что подтверждает последнее, должно подтверждать и первое в соответствии с Условием эквивалентности. Верно, но желтые коровы по-прежнему не могут фигурировать в подтверждении утверждения «Все вороны черные», потому что в науке подтверждение достигается путем предсказания, а предсказания правильно формулируются в ориентировочном настроении. Бессмысленно спрашивать, что подтверждает противоречие.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Разные результаты принятия гипотез

Несколько комментаторов заметили, что утверждения «Все вороны черные» и «Все не-черные существа - не вороны» предполагают различные процедуры проверки гипотез. Например, Гуд пишет:

Как предложения, эти два утверждения логически эквивалентны. Но на экспериментатора они оказывают иное психологическое воздействие. Если его попросят проверить, все ли вороны черные, он будет искать ворона и затем решать, черный ли он. Но если его попросят проверить, все ли не-черные существа не вороны, он может поискать не-черный объект, а затем решить, ворон ли это.

Совсем недавно было высказано предположение, что «Все вороны черные» и «Все не-черные твари - не вороны» могут иметь разные эффекты, если их принять . Аргумент рассматривает ситуации, в которых общее количество или преобладание воронов и черных предметов неизвестно, но оценивается. Когда гипотеза «Все вороны черные» принимается, согласно аргументу, оценочное количество черных объектов увеличивается, а оценочное количество воронов не меняется.

Это можно проиллюстрировать, рассмотрев ситуацию с двумя людьми, которые имеют идентичную информацию о воронах и черных объектах и ​​которые имеют идентичные оценки количества воронов и черных объектов. Для конкретности предположим, что всего имеется 100 объектов, и, согласно информации, доступной вовлеченным людям, каждый объект с такой же вероятностью будет не вороном, как и вороном, и с такой же вероятностью будет черным. как это быть не черным:

${\ Displaystyle P (Ra) = {\ frac {1} {2}} \ \ \ \ \ \ \ \ P (Ba) = {\ frac {1} {2}}}$

и предложения независимы для различных объектов , и так далее. Тогда расчетное количество воронов - 50; ориентировочное количество черных вещей - 50; оценочное количество черных воронов - 25, а оценочное количество не-черных воронов (контрпримеры к гипотезе) - 25. ${\ displaystyle Ra, \ Rb}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Один из людей выполняет статистический тест (например, тест Неймана-Пирсона или сравнение накопленного веса свидетельств с пороговым значением) гипотезы о том, что «Все вороны черные», в то время как другой проверяет гипотезу о том, что «Все не- черные предметы - не вороны ". Для простоты предположим, что свидетельство, используемое для теста, не имеет ничего общего с коллекцией из 100 объектов, рассматриваемых здесь. Если первый человек принимает гипотезу о том, что «все вороны черные», то, согласно аргументу, около 50 объектов, цвета которых ранее вызывали сомнения (вороны), теперь считаются черными, в то время как об остальных объектах не думают иначе. (не вороны). Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 50, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных не-воронов в 25. Указывая эти изменения, этот аргумент явно ограничивает область «Все вороны». черны "воронам.

С другой стороны, если второй человек принимает гипотезу о том, что «Все не-черные объекты не являются воронами», то приблизительно 50 не-черных объектов, относительно которых было неясно, был ли каждый из них вороном, будут считаться не-воронами. -вороны. В то же время ничего особенного не будет думать о примерно 50 оставшихся объектах (черных объектах). Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 25, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных воронов в 50. Согласно этому аргументу, поскольку эти два человека расходятся в своих оценках после того, как они приняли различные гипотезы, принятие «Все вороны черные» не эквивалентно признанию «Все не-черные вещи - не вороны»; Принятие первого означает оценку большего количества вещей как черных, в то время как принятие последнего подразумевает оценку большего количества вещей как не воронов. Соответственно, утверждается, что первый требует в качестве доказательства вороны, которые оказываются черными, а второй требует не-черных вещей, которые оказываются не воронами.

Экзистенциальные предпосылки

Ряд авторов утверждали, что предложения в форме «Все есть » предполагают наличие объектов, которые существуют . Этот анализ был применен к парадоксу ворона: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

... : «Все вороны черные» и : «Все не черные существа - не вороны» не являются строго эквивалентными ... из-за их различных экзистенциальных предпосылок. Более того, хотя и описывают одну и ту же закономерность - отсутствие черных воронов - они имеют разные логические формы. Эти две гипотезы имеют разный смысл и включают разные процедуры проверки регулярности, которую они описывают.${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Модифицированная логика может учитывать экзистенциальные предпосылки с помощью оператора пресуппозиций «*». Например,

${\ Displaystyle \ forall \ x, \ * Rx \ rightarrow Bx}$

может обозначать «Все вороны черные», указывая при этом, что в этом примере предполагается, что это вороны, а не не-черные объекты.

... логическая форма каждой гипотезы отличает ее в отношении рекомендуемого типа подтверждающего свидетельства: возможные истинные примеры замещения каждой гипотезы относятся к различным типам объектов. Тот факт, что две гипотезы включают в себя разные виды процедур тестирования, выражается на формальном языке путем добавления оператора «*» к другому предикату. Таким образом, пресуппозиционный оператор также служит оператором релевантности. Он ставится перед предикатом « is a raven», потому что объекты, относящиеся к процедуре тестирования, включенной в «All raven are black», включают только воронов; он имеет префикс перед предикатом « is nonblack», потому что объекты, относящиеся к процедуре тестирования, включенной в «Все не черные вещи не вороны», включают только не черные вещи. ... Используя термины Фреге : всякий раз, когда их предположения верны , две гипотезы имеют один и тот же референт (истинностное значение), но разные значения ; то есть они выражают два разных способа определения этой истинностной ценности.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Смотрите также

• Ошибка ассоциации
• Байесовская эпистемология
• Теория черного лебедя
• Список парадоксов

Заметки

дальнейшее чтение

• Чанг, Хасок ; Фишер, Грант (2011). «Чему на самом деле нас учат вороны: внутренней контекстуальности свидетельств» . В Давиде, Филиппе; Twining, William L .; Василаки, Мими (ред.). Доказательства, выводы и расследование . Труды Британской академии. 171 . Оксфорд; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. DOI : 10.5871 / bacad / 9780197264843.003.0013 . ISBN 9780197264843. OCLC  709682874 .
• Франчески, Пол (2011-02-04). «Аргумент судного дня и проблема Хемпеля» . paulfranceschi.com . Проверено 27 апреля 2020 .Английский перевод статьи, первоначально опубликованной на французском языке как: Franceschi, Paul (март 1999 г.). "Комментарий l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel". Канадский философский журнал . 29 (1): 139–156. DOI : 10.1080 / 00455091.1999.10717508 . JSTOR  40232048 .
• Хемпель, Карл Г. (декабрь 1943 г.). «Чисто синтаксическое определение подтверждения» (PDF) . Журнал символической логики . 8 (4): 122–143. DOI : 10.2307 / 2271053 . JSTOR  2271053 .
• Хемпель, Карл Г. (1966). «Исследования логики подтверждения». В Foster, Marguerite H .; Мартин, Майкл (ред.). Вероятность, подтверждение и простота: чтения по философии индуктивной логики . Нью-Йорк: Odyssey Press. С. 145–183. OCLC  284885 .
• Уайтли, Швейцария (апрель 1945 г.). «Парадоксы подтверждения Хемпеля». Разум . 54 (214): 156–158. DOI : 10,1093 / ум / liv.214.156 . JSTOR  2250951 .