Остаток - Remainder

В математике , то остальное это сумма «остались» после выполнения некоторых вычислений. В арифметике остаток - это целое число, оставшееся после деления одного целого числа на другое для получения целого частного ( целочисленное деление ). В алгебре многочленов остаток - это многочлен, оставшийся после деления одного многочлена на другой. Операция по модулю - это операция, которая производит такой остаток при задании делимого и делителя.

В качестве альтернативы, остаток - это также то, что остается после вычитания одного числа из другого, хотя это более точно называется разницей . Это употребление можно найти в некоторых начальных учебниках; в просторечии его заменяют выражением «остальное», как в «Верни мне два доллара, а остальное оставь себе». Однако термин «остаток» все еще используется в этом смысле, когда функция аппроксимируется разложением в ряд , где выражение ошибки («остальное») упоминается как остаточный член .

Целочисленное деление

Для целого числа a и целого числа d , отличного от нуля , можно показать, что существуют уникальные целые числа q и r , такие что a = qd  +  r и 0 ≤  r  <| d | . Число q называется частным , а r - остатком .

(Для доказательства этого результата см. Евклидово деление . Алгоритмы, описывающие, как вычислить остаток, см. В разделе Алгоритм деления .)

Остаток, как определено выше, называется наименьшим положительным остатком или просто остатком . Целое число a либо кратно d , либо лежит в интервале между последовательными кратными d , а именно q⋅d и ( q + 1) d (для положительного q ).

В некоторых случаях удобно проводить деление так, чтобы a было как можно ближе к целому кратному d , то есть мы можем написать

a = k⋅d + s , причем | s | ≤ | д / 2 | для некоторого целого k .

В этом случае s называется наименьшим абсолютным остатком . Как и в случае с частным и остатком, k и s определяются однозначно, за исключением случая, когда d = 2 n и s = ± n . Для этого исключения у нас есть:

а = k⋅d + n = ( k + 1) d - n .

В этом случае можно получить уникальный остаток по некоторому соглашению, например, всегда принимая положительное значение s .

Примеры

При делении 43 на 5 получаем:

43 = 8 × 5 + 3,

так что 3 - наименьший положительный остаток. У нас также есть это:

43 = 9 × 5 - 2,

и −2 - наименьший абсолютный остаток. При делении 82 на 5 получаем:

82 = 16 × 5 + 2

Эти определения также действительны, если d отрицательно, например, при делении 43 на −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

а 3 - наименьший положительный остаток, а

43 = (−9) × (−5) + (−2)

и −2 - наименьший абсолютный остаток.

При делении 42 на 5 получаем:

42 = 8 × 5 + 2,

и поскольку 2 <5/2, 2 является как наименьшим положительным остатком, так и наименьшим абсолютным остатком.

В этих примерах (отрицательный) наименьший абсолютный остаток получается из наименьшего положительного остатка вычитанием 5, что равно d . В целом это так. При делении на d оба остатка либо положительны и, следовательно, равны, либо имеют противоположные знаки. Если положительный остаток равен r 1 , а отрицательный - r 2 , то

г 1 = г 2 + д .

Для чисел с плавающей запятой

Когда a и d являются числами с плавающей запятой , а d не равно нулю, a можно разделить на d без остатка, при этом частное будет другим числом с плавающей запятой. Однако, если частное ограничено целым числом, концепция остатка по-прежнему необходима. Можно доказать, что существует единственное целое частное q и единственный остаток r с плавающей запятой такие, что a  =  qd  +  r с 0 ≤  r  <| d |,

Расширение определения остатка для чисел с плавающей запятой, как описано выше, не имеет теоретического значения в математике; однако многие языки программирования реализуют это определение, см. операцию по модулю .

В языках программирования

Хотя в определениях нет никаких трудностей, возникают проблемы с реализацией, когда при вычислении остатков участвуют отрицательные числа. В разных языках программирования приняты разные соглашения. Например:

  • Паскаль выбирает положительный результат операции mod , но не позволяет d быть отрицательным или нулем (поэтому a = ( a div d ) × d + a mod d не всегда верно).
  • C99 выбирает остаток с тем же знаком, что и делимое a . (До C99 язык C допускал другие варианты.)
  • Perl , Python (только современные версии) выбирают остаток с тем же знаком, что и делитель d .
  • Haskell и Scheme предлагают две функции, остаток и модуль - Common Lisp и PL / У меня есть mod и rem , а в Fortran есть mod и modulo ; в каждом случае первое согласуется по знаку с делимым, а второе - с делителем.

Полиномиальное деление

Евклидово деление многочленов очень похоже на евклидово деление целых чисел и приводит к полиномиальным остаткам. Его существование основано на следующей теореме: даны два одномерных многочлена a ( x ) и b ( x ) (где b ( x ) - ненулевой многочлен), определенных над полем (в частности, действительными или комплексными числами ), существуют два полинома q ( x ) ( частное ) и r ( x ) ( остаток ), которые удовлетворяют:

куда

где "deg (...)" обозначает степень многочлена (степень постоянного многочлена, значение которого всегда равно 0, может быть определена как отрицательная, так что это условие степени всегда будет выполняться, когда это остаток). Более того, q ( x ) и r ( x ) однозначно определяются этими соотношениями.

Это отличается от евклидова деления целых чисел тем, что для целых чисел условие степени заменяется границами остатка r (неотрицательным и меньшим, чем делитель, что гарантирует уникальность r ). Сходство между евклидовым делением для целых чисел и для многочленов мотивирует поиск наиболее общих алгебраических условий, в которых справедливо евклидово деление. Кольца, для которых существует такая теорема, называются евклидовыми областями , но в этой общности единственность фактора и остатка не гарантируется.

Деление полиномов приводит к результату, известному как теорема полиномиального остатка : если полином f ( x ) делится на x - k , остаток является константой r = f ( k ).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Смит 1958 , стр. 97
  2. ^ "Окончательное руководство по высшей математике по делению в длину и его вариантам для целых чисел (Евклидово деление - терминология)" . Математическое хранилище . 2019-02-24 . Проверено 27 августа 2020 .
  3. Перейти ↑ Ore 1988 , p. 30. Но если остаток равен 0, он не является положительным, даже если он называется «положительным остатком».
  4. Перейти ↑ Ore 1988 , p. 32
  5. ^ Паскаль ISO 7185: 1990 6.7.2.2
  6. ^ «Спецификация C99 (ISO / IEC 9899: TC2)» (PDF) . 6.5.5 Мультипликативные операторы. 2005-05-06 . Проверено 16 августа 2018 .CS1 maint: location ( ссылка )
  7. ^
  8. ^ Larson & Хостетлер 2007 , стр. 154
  9. ^ Ротман 2006 , стр. 267
  10. ^ Larson & Хостетлер 2007 , стр. 157
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Полиномиальная теорема об остатке" . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 августа 2020 .

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Давенпорт, Гарольд (1999). Высшая арифметика: введение в теорию чисел . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 25. ISBN 0-521-63446-6.
  • Кац, Виктор, изд. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691114859.
  • Шварцман, Стивен (1994). "остаток (существительное)" . Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883855119.
  • Цукерман, Мартин М. Арифметика: прямой подход . Лэнхэм, Мэриленд: ISBN Rowman & Littlefield Publishers, Inc. 0-912675-07-1.