Стержневое исчисление - Rod calculus

Стержневое исчисление или вычисление стержней было механическим методом алгоритмических вычислений со счетными стержнями в Китае от Воюющих царств до династии Мин до того, как счетные стержни были заменены более удобными и быстрыми счетами . Исчисление Рода сыграло ключевую роль в развитии китайской математики до ее расцвета во времена династии Сун и Юань , кульминацией чего стало изобретение полиномиальных уравнений, содержащих до четырех неизвестных, в работах Чжу Шицзе .

Аппаратное обеспечение

Основным оборудованием для проведения стержневого исчисления является связка счетных стержней и счетная доска. Счетные стержни обычно делаются из бамбуковых палочек длиной около 12-15 см, диаметром от 2 до 4 мм, иногда из костей животных или слоновой кости и нефрита (для состоятельных торговцев). Счетной доской может быть столешница, деревянная доска с сеткой или без нее, на полу или на песке.

В 1971 году китайские археологи обнаружили связку хорошо сохранившихся прутьев для подсчета костей животных, хранившуюся в шелковом мешочке из гробницы в уезде Цянь Ян в провинции Шаньси, датируемой первой половиной династии Хань (206 г. до н.э. - 8 г. н.э.). В 1975 году была обнаружена связка бамбуковых счетных стержней.

Использование счетных стержней для расчета стержней процветало в Воюющих государствах , хотя археологические артефакты не были обнаружены ранее, чем во времена династии Западная Хань (первая половина династии Хань ; тем не менее, археологи обнаружили программные артефакты стержневого исчисления, относящиеся к Воюющим государствам ); поскольку программное обеспечение стержневого исчисления должно было идти вместе с аппаратными средствами стержневого исчисления, нет сомнений в том, что стержневое исчисление уже процветало во времена Сражающихся царств более 2200 лет назад.

Программное обеспечение

Ключевым программным обеспечением, необходимым для стержневого исчисления, была простая позиционная десятичная таблица умножения из 45 фраз, используемая в Китае с древних времен, называемая таблицей девять-девять , которую заучивали наизусть ученики, торговцы, правительственные чиновники и математики.

Стержневые цифры

Отображение чисел

Стержневые цифры - единственная система счисления, в которой используются разные комбинации размещения одного символа для передачи любого числа или дроби в десятичной системе. Для чисел в месте единиц каждый вертикальный стержень представляет 1. Два вертикальных стержня обозначают 2 и так далее, пока 5 вертикальных стержней не представляют 5. Для чисел от 6 до 9 используется бинарная система, в которой горизонтальная черта над вертикальными полосами обозначают 5. Первая строка - это числа от 1 до 9 в виде стержней, а вторая строка - те же числа в горизонтальной форме.

Для чисел больше 9 используется десятичная система . Жезлы, помещенные на одну позицию слева от места юнитов, представляют собой 10-кратное число. Для разряда сотен слева помещается еще один набор стержней, который в 100 раз больше этого числа, и так далее. Как показано на соседнем изображении, число 231 представлено цифрами в виде стержней в верхнем ряду, причем один стержень в разряде единиц представляет 1, три стержня в разряде десятков, представляющих 30, и два стержня в разряде сотен, представляющих 200, при этом сумма 231.

При расчете обычно сетки на поверхности не было. Если номера стержней два, три и один расположены последовательно в вертикальной форме, есть вероятность, что они будут ошибочно приняты за 51 или 24, как показано во второй и третьей строке соседнего изображения. Чтобы избежать путаницы, числа в последовательных местах размещаются попеременно по вертикали и горизонтали, а единицы размещаются в вертикальной форме, как показано в нижнем ряду справа.

Отображение нулей

В числах стержня нули представлены пробелом, который служит как числом, так и значением заполнителя. В отличие от индо-арабских цифр , здесь нет специального символа для обозначения нуля. На соседнем изображении число ноль просто представлено пробелом.

Отрицательные и положительные числа

Математики песни использовали красный цвет для обозначения положительных чисел и черный для обозначения отрицательных чисел . Однако другой способ - добавить косую черту к последнему месту, чтобы показать, что число отрицательное.

Десятичная дробь

Математический трактат Сунзи использовал метрологию десятичной дроби. Единица длины была 1 чи ,

1 чи = 10 цунь , 1 цунь = 10 фен , 1 фен = 10 ли , 1 ли = 10 хао , 10 хао = 1 ши, 1 ши = 10 ху .

1 чи 2 цунь 3 фен 4 ли 5 хао 6 ши 7 ху выкладывается на счетной доске как

где - единица измерения хи .

Математик из династии Южная Сун Цинь Цзюшао расширил использование десятичной дроби за пределы метрологии. В своей книге « Математический трактат в девяти разделах» он формально выразил 1,1446154 дня как

日

Он пометил единицу словом «日» (день) под ней.

Добавление

Стержневое исчисление работает по принципу сложения. В отличие от арабских цифр , цифры, представленные счетными стержнями, обладают аддитивными свойствами. Процесс сложения включает в себя механическое перемещение стержней без необходимости запоминания таблицы сложения . Это самая большая разница с арабскими цифрами, так как нельзя механически сложить 1 и 2 вместе, чтобы получить 3, или 2 и 3 вместе, чтобы образовать 5.

На соседнем изображении представлены шаги по добавлению 3748 к 289:

1. Поместите augend 3748 в первый ряд, а добавление 289 во второй.
2. Рассчитайте от ЛЕВОГО к ВПРАВО, сначала от 2 из 289.
3. Уберите два стержня снизу и прибавьте к 7 сверху, чтобы получилось 9.
4. Переместите 2 стержня сверху вниз на 8, перенесите одну вперед на 9, которая станет нулем и переместится на 3, чтобы получилось 4, удалите 8 из нижнего ряда.
5. Переместите один стержень из 8 в верхнем ряду к 9 внизу, чтобы сформировать перенос на следующий уровень, и добавьте один стержень к 2 стержням в верхнем ряду, чтобы получилось 3 стержня, верхний ряд слева 7.
6. Результат 3748 + 289 = 4037

Стержни в дополнении меняются на протяжении всего сложения, в то время как стержни в дополнении внизу «исчезают».

Вычитание

Без займов

В ситуации, когда заимствование не требуется, достаточно взять количество стержней в вычитаемом из уменьшаемого . Результат расчета - разница. На соседнем изображении показаны шаги вычитания 23 из 54.

Заимствование

В ситуациях, когда требуется заимствование, например, 4231–789, необходимо использовать более сложную процедуру. Шаги для этого примера показаны слева.

1. Поместите minuend 4231 вверху, вычитаемое 789 внизу. Считайте слева направо.
2. Заимствуя 1 из разряда тысяч вместо десяти в разряде сотен, минус 7 из нижнего ряда, разница 3 прибавляется к 2 вверху, чтобы получить 5. 7 внизу вычитается, как показано пробелом.
3. Заимствуя 1 из разряда сотен, остается 4. 10 в разряде десятков минус 8 ниже дает 2, которые добавляются к 3 выше, чтобы сформировать 5. Верхняя строка теперь 3451, нижняя 9.
4. Заимствуя 1 из 5 в разряде десятков сверху, остается 4. 1, заимствованная из десятков, составляет 10 в разряде единиц, вычитая 9, что дает 1, которые прибавляются к вершине, чтобы сформировать 2. Со всеми стержнями в нижняя строка вычтена, тогда 3442 в верхней строке, результат вычисления

Умножение

Сунзи Суаньцзин подробно описал алгоритм умножения. Слева шаги для расчета 38 × 76:

1. Поместите множимое вверху, множитель внизу. Совместите единицы множителя с наибольшим числом множимого. Оставьте место посередине для записи.
2. Начните вычисление с наивысшего разряда множимого (в примере вычислите 30 × 76, а затем 8 × 76). Используя таблицу умножения 3 умножения на 7, получится 21. Поместите 21 в стержни посередине, при этом 1 выровняйте с разрядами десятков множителя (сверху 7). Затем 3 умножить на 6 равно 18, поместите 18, как показано на картинке. После полного умножения 3 в умножаемом снимите стержни.
3. Переместите множитель на одну позицию вправо. Измените 7 на горизонтальную форму, 6 на вертикальную.
4. 8 × 7 = 56, поместите 56 во вторую строку посередине, выровняв расположение единиц с цифрами, умноженными на множитель. Вычтите 7 из множителя, так как он был умножен.
5. 8 × 6 = 48, 4, добавленные к 6 на последнем шаге, дают 10, переносится на 1. Вычтите 8 единиц в месте множимого и вычтите 6 единиц в месте множителя.
6. Суммируйте 2380 и 508 в середине, в результате получится 2888: произведение.

Разделение

.

Анимация слева показывает этапы расчета 309/7 = 441/7.

1. Поместите делимое 309 в средний ряд и делитель 7 в нижний ряд. Оставьте место для верхнего ряда.
2. Переместите делитель 7 на одно место влево, изменив его на горизонтальный вид.
3. Используя китайскую таблицу умножения и деления, 30 ÷ 7 равняются 4 остатку 2. Поместите частное 4 в верхнюю строку, а остаток 2 в среднюю строку.
4. Переместите делитель на одно место вправо, придав ему вертикальный вид. 29 ÷ 7 равняется 4 остатку 1. Поместите частное 4 сверху, оставив делитель на месте. Поместите остаток в средний ряд вместо делимого на этом шаге. В результате получается частное 44 с остатком 1.

Алгоритм Сунзи для деления был полностью передан аль-Хорезми в исламскую страну из индийских источников в 825 году нашей эры. Книга Аль Хорезми была переведена на латынь в 13 веке. Алгоритм деления на сунзи позже превратился в деление на галеры в Европе. Алгоритм деления в книге Абул-Хасана аль-Уклидиси 925AD « Китаб аль-Фусул фи аль-Хисаб аль-Хинди» и в « Принципах индусского исчисления » Кушьяра ибн Лаббана в XI веке был идентичен алгоритму деления Сунзу.

Фракции

Если есть остаток при делении десятичного стержневого исчисления с разрядами, то и остаток, и делитель должны быть оставлены на месте, один поверх другого. В примечаниях Лю Хуэя к Цзючжан суаньшу (2 век до н.э.) число вверху называется «ши» (实), а число внизу - «фа» (法). В Sunzi Suanjing число вверху называется «zi» (子) или «fenzi» (букв., Сын дроби), а число внизу называется «mu» (母) или «fenmu» (букв. , мать фракции). Фензи и Фенму также являются современными китайскими названиями числителя и знаменателя соответственно. Как показано справа, 1 - это остаток от числителя, 7 - это делитель знаменателя, образованный дробью.1/7. Частное от деления309/7 44+ 1/7. Лю Хуэй использовал много вычислений с дробью в Хайдао Суаньцзин .

Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты между ними была передана в арабскую страну в книге 825 г. н.э. аль-Хорезми через Индию и использовалась Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси 10-го века и 15- м веком. в. Произведение Джамшида аль-Каши «Аритематический ключ».

Добавление

1/3 + 2/5

• Поместите два числителя 1 и 2 с левой стороны счетной доски, поместите два знаменателя 3 и 5 с правой стороны.
• Перемножьте 1 на 5, 2 на 3, чтобы получить 5 и 6, замените числители соответствующими перекрестными произведениями.
• Умножьте два знаменателя 3 × 5 = 15, положите внизу справа.
• Сложите два числителя 5 и 6 = 11, поставленные справа вверху счетной доски.
• Результат: 1/3 + 2/5 знак равно 11/15

Вычитание

8/9 - 1/5

• Положите число в виде стержня для числителей 1 и 8 слева на счетной доске.
• Положите стержни для знаменателей 5 и 9 с правой стороны счетной доски.
• Перемножаем крестиком 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40, заменяем соответствующие числители
• Умножьте знаменатели 5 × 9 = 45, положите 45 в правом нижнем углу счетной доски, замените знаменатель 5
• Вычтем 40 - 9 = 31, положим вверху справа.
• Результат: 8/9 - 1/5 знак равно 31 год/45

Умножение

31/3 × 52/5

• Расставьте счетные стержни на 31/3 и 52/5 на счетной доске в формате таблицы шанг, ши, фа.
• шан, умноженный на фа, прибавить к ши: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• ши умноженное на ши: 10 × 27 = 270
• fa умножается на fa: 3 × 5 = 15
• ши делится на фа: 31/3 × 52/5 = 18

Наивысший общий коэффициент и сокращение фракции

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел и сокращения дроби изложен в Jiuzhang suanshu . Наибольший общий множитель находится путем последовательного деления остатков до тех пор, пока два последних остатка не станут идентичными. Анимация справа иллюстрирует алгоритм поиска наивысшего общего множителя32 450 625/59 056 400 и уменьшение дроби.

В данном случае значение hcf равно 25.

Разделите числитель и знаменатель на 25. Приведенная дробь равна1,298,025/2,362,256.

Интерполяция

Календарщик и математик Хэ Чэнтянь (何承天) использовал метод интерполяции дробей , называемый «гармонизацией делителя дня» (调 日 法), чтобы получить лучшее приближенное значение, чем прежнее, путем итеративного добавления числителей и знаменателей «более слабой» дроби. с «более сильной фракцией». Легендарный π = Zu Chongzhi355/113 можно было получить с помощью метода Хэ Чэнтянь

Система линейных уравнений

Глава восьмая Прямоугольные Массивам Jiuzhang suanshu представил алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения :

Задача 8-1: Предположим, у нас есть 3 пачки злаков высшего качества, 2 пачки злаков среднего качества и пачка злаков низкого качества с совокупным весом 39 до. У нас также есть 2, 3 и 1 пачки злаков на сумму 34 dou; у нас также есть 1,2 и 3 пачки злаков, всего 26 до.

Найдите количество злаков высшего, среднего и плохого качества. В алгебре эту задачу можно выразить тремя системными уравнениями с тремя неизвестными.

${\ displaystyle {\ begin {cases} 3x + 2y + z = 39 \\ 2x + 3y + z = 34 \ x + 2y + 3z = 26 \ end {cases}}}$

Эта проблема была решена в Jiuzhang suanshu с помощью счетных стержней, выложенных на счетной доске в табличном формате, похожем на матрицу 3x4:

качество	левый столбец	центральная колонна	правый столбец
вершина
Средняя
низкий
ши

Алгоритм:

• Умножьте центральный столбец на число высшего качества в правом столбце.
• Несколько раз вычтите правый столбец из центрального столбца, пока верхний номер центрального столбца не будет равен 0.
• умножьте левый столбец на значение верхней строки правого столбца
• Несколько раз вычтите правый столбец из левого столбца, пока верхний номер левого столбца не будет равен 0
• После применения вышеуказанного алгоритма исключения к уменьшенному центральному столбцу и левому столбцу матрица была уменьшена до треугольной формы:

качество	левый столбец	центральная колонна	правый столбец
вершина
Средняя
низкий
ши

Количество злаков на пачке =${\ displaystyle {\ frac {99} {36}} = 2 {\ frac {3} {4}}}$

Из которых легко найти количество одной пачки круп высшего и среднего качества:

Одна пачка хлопьев высшего качества = 9 до ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$

Одна пачка средних злаков = 4 дня > ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$

Извлечение квадратного корня

Алгоритм извлечения квадратного корня был описан в Jiuzhang suanshu и с небольшими различиями в терминологии в Sunzi Suanjing .

На анимации показан алгоритм извлечения с помощью стержневого исчисления приближения квадратного корня из алгоритма из задачи 19 главы 2 книги Сунзи Суаньцзин: ${\ displaystyle {\ sqrt {234567}} \ приблизительно 484 {\ tfrac {311} {968}}}$

Теперь есть квадрат площадью 234567, найдите одну сторону квадрата .

Алгоритм следующий:

• Установите 234567 на счетной доске, во втором ряду сверху, названном ши.
• Установите маркер 1 на позицию 10000 в 4-м ряду с именем xia fa.
• Оцените первую цифру квадратного корня, чтобы получить цифру 4 счетного стержня, поместите в верхнем ряду ( шанге ) позицию сотен,
• Умножьте shang 4 на xiafa 1, поместите произведение 4 в 3-й ряд с именем fang fa.
• Умножив шанг на фанг фа, вычтем из ши произведение 4х4 = 16 : 23-16 = 7, оставим цифру 7.
• удвоить вверх по клыка фа 4 , чтобы стать 8, сдвиг вправо на одну позицию, и изменения вертикального в горизонтальное 8 8 после перенесенного вправо.
• Переместите xia fa на две позиции вправо.
• Оцените вторую цифру шанга как 8: поместите цифру 8 в десятую позицию в верхнем ряду.
• Умножьте ся фа на новую цифру шанга , прибавив к фан фа

.

• 8 называет 8 = 64, вычтите 64 из цифры "74" в верхнем ряду, оставив один стержень в самой старшей цифре.
• удвоить последнюю цифру fang fa 8, прибавить к 80 = 96
• Переместите fang fa 96 на одну позицию вправо, измените соглашение; переместите xia fa "1" на две позиции вправо.
• Оцените 3-ю цифру шанга равной 4.
• Умножьте новую цифру shang 4 на xia fa 1 в сочетании с fang fa, чтобы получить 964.
• вычтите последовательно 4 * 9 = 36,4 * 6 = 24,4 * 4 = 16 из ши , оставив 311
• удвойте последнюю цифру 4 в fang fa до 8 и объедините с fang fa
• результат ${\ displaystyle {\ sqrt {234567}} \ приблизительно 484 {\ tfrac {311} {968}}}$

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь разработал аддитивный мультипликативный алгоритм для извлечения квадратного корня , в котором он заменил традиционное «удвоение» «фанг фа» добавлением цифры шан к цифре фанг фа с тем же эффектом.

Извлечение кубического корня

Jiuzhang suanshu vol iv "shaoguang" предоставил алгоритм извлечения кубического корня.

〔一九〕 今 有 積 一百 八十 問 為 立方 幾何？ 答曰 ： 二十 三尺。

проблема 19: У нас 1860867 кубических ци, какова длина стороны? Ответ: 123 чи.

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь изобрел метод, похожий на упрощенную форму схемы Хорнера для извлечения кубического корня. На анимации справа показан алгоритм Цзя Сяня для решения задачи 19 в Jiuzhang suanshu vol 4.

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {(}} 1860867) = 123}$

Полиномиальное уравнение

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь изобрел схему Хорнера для решения простого уравнения 4-го порядка вида

${\ Displaystyle х ^ {4} = а}$

Математик династии Южная Сун Цинь Цзюшао усовершенствовал метод Хорнера Цзя Сяня, чтобы решить полиномиальное уравнение до 10-го порядка. Ниже приводится алгоритм решения

${\ displaystyle -x ^ {4} + 15245x ^ {2} -6262506.25 = 0}$в его « Математическом трактате в девяти разделах», том 6, проблема 2.

Это уравнение расположено снизу вверх со счетными стержнями на счетной доске в табличной форме.

0	шанг	корень
626250625	ши	постоянный
0	клык	коэффициент x
15245	Шан Лянь	положительный коэффициент x ^ 2
0	фулянь	отрицательный коэффициент x ^ 2
0	Ся Лянь	коэффициент x ^ 3
1	Йи Ю	отрицательный коэффициент X ^ 4

Алгоритм:

1. Расположите коэффициенты в табличной форме, константу в ши, коэффициент при x в шанглиане, коэффициент при X ^ 4 в yi yu; выровняйте числа по единичному рангу.
2. Продвинуть Шан Лянь на два ряда
3. Продвиньтесь йи ю на три ступени
4. Оценить шанг = 20
5. пусть xia lian = shang * yi yu
6. пусть фулянь = шан * йи ю
7. объединить фулянь с шан лиань
8. пусть клык = шан * шан лянь
9. вычтите шан * клык из ши
10. добавить shang * yi yu к xia lian
11. убрать Ся Лянь 3 разряда, убрать Йи Юй 4 разряда
12. Вторая цифра шанга - 0
13. слить шан лянь с клыком
14. объединить йи юй в ся лиань
15. Добавьте yi yu к fu lian, вычтите результат из fang, пусть результат будет знаменателем
16. найти наибольший общий делитель = 25 и упростить дробь ${\ displaystyle {\ frac {32450625} {59056400}}}$
17. решение ${\ displaystyle x = 20 {\ frac {1298205} {2362256}}}$

Тянь Юань шу

Математик династии Юань Ли Чжи разработал стержневое исчисление в Тянь юань шу.

Пример Li Zhi Ceyuan haijing vol II, задача 14 уравнение одной неизвестной:

${\ displaystyle -x ^ {2} -680x + 96000 = 0}$

元

Полиномиальные уравнения четырех неизвестных

Математик Чжу Шицзе развил стержневое исчисление, включив в него полиномиальные уравнения от 2 до четырех неизвестных.

Например, многочлены от трех неизвестных:

Уравнение 1:${\ displaystyle -yzy ^ {2} * x-x + xyz = 0}$

太

Уравнение 2:${\ displaystyle -y-z + xx ^ {2} + xz = 0}$

Уравнение 3:${\ displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} + x ^ {2} = 0;}$

太

После последовательного исключения двух неизвестных полиномиальные уравнения трех неизвестных были сведены к полиномиальному уравнению одной неизвестной:

${\ displaystyle x ^ {4} -6x ^ {3} + 4x ^ {2} + 6x-5 = 0}$

Решено x = 5;

Смотрите также

• Китайская математика
• Счетные стержни

Рекомендации

• Лам Лэй Ён (蓝 丽蓉) Анг Тиан Се (洪 天赐), Мимолетные шаги, World Scientific ISBN  981-02-3696-4
• Жан Клод Марцлофф, ISBN  истории китайской математики 978-3-540-33782-9