Полиномы Романовского - Romanovski polynomials

В математике , то многочлены Романовских являются одним из трех конечных подмножеств вещественных ортогональных многочленов обнаружены Всеволод Романовский (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных многочленов Рауса, введенного Эдвардом Джоном Раусом в 1884 году. Термин многочлены Романовского был предложен Рапозо со ссылкой на так называемые «псевдо-полиномы Якоби» в классификационной схеме Лески. . Кажется более последовательным называть их полиномами Романовского – Рауса по аналогии с терминами Романовского – Бесселя и Романовского – Якоби, использованными Лески для двух других наборов ортогональных многочленов.

В некотором отличие от стандартных классических ортогональных многочленов рассматриваемые многочлены отличаются тем, что для произвольных параметров только конечное число из них ортогонально , как более подробно обсуждается ниже.

Дифференциальное уравнение для полиномов Романовского

Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрического дифференциального уравнения

{\ Displaystyle {\ begin {align} & s (x) {R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} ( x) {R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '(x) + \ lambda _ {n} R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 0, \ \ [4pt] & \ qquad x \ in (- \ infty, + \ infty), \ quad s (x) = \ left (1 + x ^ {2} \ right), \ quad t_ {1} ^ {( \ alpha, \ beta)} (x) = 2 \ beta x + \ alpha, \ quad \ lambda _ {n} = - n (2 \ beta + n-1). \ end {выравнивается}}}

( 1 )

Любопытно, что они были исключены из стандартных учебников по специальным функциям в математической физике и математике и относительно редко встречаются в других местах математической литературы.

Эти весовые функции являются

{\ displaystyle w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ beta -1} \ exp \ left (- \ alpha \ operatorname {arccot } x \ right);}

( 2 )

они решают дифференциальное уравнение Пирсона

{\ Displaystyle [s (x) вес (x)] '= t (x) вес (x), \ quad s (x) = 1 + x ^ {2},}

( 3 )

что обеспечивает самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрического обыкновенного дифференциального уравнения .

При $α = 0$ и $β <0$ весовая функция многочленов Романовского принимает форму распределения Коши , поэтому соответствующие многочлены также обозначаются как многочлены Коши в их приложениях в теории случайных матриц.

Формула Родригеса задает многочлен $R (α, β) n (x)$ как

{\ Displaystyle R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = N_ {n} {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ гидроразрыв {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n} \ right), \ quad 0 \ leq n,}

( 4 )

где $N n$ - нормировочная постоянная. Эта константа связана с коэффициентом $c n$ при члене степени $n$ в полиноме $R (α, β) n (x)$ выражением

{\ displaystyle N_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n! \, c_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ lambda _ {n} ^ {(k)}}}, \ quad \ lambda _ {n} = - n \ left ({t_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '+ {\ tfrac {1} {2} } (n-1) s '' (x) \ right),}

( 5 )

которое выполняется при $n \geq 1$ .

Связь многочленов Романовского и Якоби

Как показал Аски, эта конечная последовательность действительных ортогональных многочленов может быть выражена в терминах многочленов Якоби мнимого аргумента и поэтому часто упоминается как комплексифицированные многочлены Якоби. А именно, уравнение Романовского ( 1 ) может быть формально получено из уравнения Якоби:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (1-x ^ {2} \ right) {P_ {n} ^ {(\ gamma, \ delta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) {P_ {n} ^ {(\ gamma, \ delta)}} '(x) + \ lambda _ {n} P_ {n} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) = 0, \\ [4pt] & \ qquad t_ {1} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) = \ delta - \ gamma - (\ gamma + \ delta +2) x, \ quad \ lambda _ {n} = n (n + \ gamma + \ delta +1), \ quad x \ in \ left [-1,1 \ right], \ end {align}}}

( 6 )

через замены для действительного $x$ ,

{\ displaystyle x \ to ix, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ to -i {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm { d}} x}}, \ quad \ gamma = \ delta ^ {\ ast} = \ beta -1 + {\ frac {\ alpha i} {2}},}

( 7 )

в этом случае можно найти

{\ displaystyle R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = i ^ {n} P_ {n} ^ {\ left (\ beta -1 + {\ frac {i} {2}} \ alpha, \ beta -1 - {\ frac {i} {2}} \ alpha \ right)} (ix),}

( 8 )

(с подходящим образом подобранными нормировочными константами для полиномов Якоби). Комплексные полиномы Якоби справа определены через (1.1) в Kuijlaars et al. (2003), который гарантирует, что ( 8 ) являются действительными многочленами от x. Поскольку упомянутые авторы обсуждают условия неэрмитовой (комплексной) ортогональности только для реальных индексов Якоби, совпадение их анализа с определением ( 8 ) полиномов Романовского существует только при α = 0. Однако рассмотрение этого особого случая требует более тщательного изучения, помимо пределы этой статьи. Обратите внимание на обратимость ( 8 ) согласно

{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = (- i) ^ {n} R_ {n} ^ {\ left (i (\ alpha - \ beta), {\ frac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) +1) \ right)} (- ix),}

( 9 )

где теперь $P (α, β) n (x)$ - действительный многочлен Якоби и

{\ Displaystyle R_ {п} ^ {\ влево (я (\ альфа - \ бета), {\ гидроразрыва {1} {2}} (\ альфа + \ бета) +1) \ вправо)} (- ix)}

будет комплексным многочленом Романовского.

Свойства многочленов Романовского

Явная конструкция

Для вещественных $α, β$ и $n = 0, 1, 2, ...$ функция $R (α, β) n (x)$ можно определить по формуле Родригеса в уравнении ( 4 ) как

{\ Displaystyle R_ {п} ^ {(\ альфа, \ бета)} (х) \ эквив {\ гидроразрыва {1} {ш ^ {(\ альфа, \ бета)} (х)}} {\ гидроразрыва {{ \ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n }\верно),}

( 10 )

где $w (α, β)$ - та же весовая функция, что и в ( 2 ), а $s (x) = 1 + x 2$ - коэффициент при второй производной гипергеометрического дифференциального уравнения, как в ( 1 ).

Обратите внимание, что мы выбрали константы нормировки $N n = 1$ , что эквивалентно выбору коэффициента наивысшей степени в полиноме, как задано уравнением ( 5 ). Это принимает форму

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ bigl (} 2 \ beta (nk) + n (n-1 ) -k (k-1) {\ bigr)}, \ quad n \ geq 1.}

( 11 )

Также отметим , что коэффициент $с п$ не зависит от параметра $& alpha$ ; , но только на $р$ , а для конкретных значений $& beta$ ; , $с п$ исчезает (т.е. для всех значений

{\ Displaystyle \ бета = {\ гидроразрыва {к (к-1) -n (п-1)} {2 (нк)}}}

где $k = 0, ..., n - 1$ ). Это наблюдение создает проблему, о которой говорится ниже.

Для дальнейшего использования мы явно выписываем многочлены степени 0, 1 и 2:

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {0} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) & = 1, \\ [6pt] R_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} ( x) & = {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} \ left (w '^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) + s '(x) w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) \\ [6pt] & = t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 2 \ beta x + \ alpha , \\ [6pt] R_ {2} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) & = {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ гидроразрыв {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ left (s ^ {2} (x) w '^ {(\ alpha, \ beta)} (x) + 2s (x) s '(x) w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) \\ & = {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} { \ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ left (s (x) w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ left (t ^ {(\ alpha , \ beta)} (x) + s '(x) \ right) \ right) \\ [6pt] & = \ left (2x + t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) + \ left (2 + t '^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) s (x) \\ [6pt] & = (2 \ beta +1) (2 \ beta +2) x ^ {2} +2 (2 \ beta +1) \ alpha x + \ left (2 \ beta + \ alpha ^ {2} +2 \ right), \ end {выровнено}}}

которые выводятся из формулы Родригеса ( 10 ) в сочетании с ОДУ Пирсона ( 3 ).

Ортогональность

Два полинома $R (α, β) м (x)$ и $R (α, β) n (x)$ с $m \neq n$ ортогональны,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) R_ {m} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) R_ { n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 0}

( 12 )

если и только если,

{\ displaystyle m + n <1-2 \ beta.}

( 13 )

Другими словами, для произвольных параметров только конечное число полиномов Романовского ортогонально. Это свойство называется конечной ортогональностью . Однако для некоторых частных случаев, в которых параметры определенным образом зависят от полиномиальной степени, может быть достигнута бесконечная ортогональность.

Это случай версии уравнения ( 1 ), которая была вновь независимо встречена в контексте точной разрешимости квантово-механической проблемы тригонометрического потенциала Розена – Морса и описана в Compean & Kirchbach (2006). Здесь параметры полинома $α$ и $β$ больше не являются произвольными, а выражаются через потенциальные параметры $a$ и $b$ и степень $n$ полинома в соответствии с соотношениями,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ to \ alpha _ {n} = {\ frac {2b} {n + 1 + a}}, \ quad \ beta \ to \ beta _ {n} = - ( a + n + 1) +1, \ quad n = 0,1,2, \ ldots, \ infty. \ end {align}}}

( 14 )

Соответственно, $λ п$ возникает как $Х п = - п (2 а + п - 1)$ , в то время как функция веса принимает форму

{\ displaystyle \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- (a + n + 1)} \ exp \ left (- {\ frac {2b} {n + a + 1}} \ operatorname { arccot} x \ right).}

Наконец, одномерная переменная $x$ в Compean & Kirchbach (2006) была взята как

{\ displaystyle x = \ cot \ left ({\ frac {r} {d}} \ right),}

где $r$ - радиальное расстояние, а - соответствующий параметр длины. В Compean & Kirchbach было показано, что семейство многочленов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров, ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, \ beta _ {1} \ right), \ left (\ alpha _ {2} \ beta _ {2} \ right), \ ldots, \ left (\ alpha _ {n} \ beta _ {n} \ right), \ ldots, \ quad n \ longrightarrow \ infty,}

( 15 )

ортогонален.

Производящая функция

В Вебере (2007) многочлены $Q (α n, β n + n) ν (x)$ , где $β n + n = - a$ , и дополнительная к $R (α n, β n) n (x)$ были изучены, сформированы следующим образом:

{\ displaystyle Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) = {\ frac {1} {w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d}} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {n}. }

( 16 )

Учитывая соотношение,

{\ displaystyle w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ delta} = w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + \ delta \ right)} (x),}

( 17 )

Уравнение ( 16 ) становится эквивалентным

{\ displaystyle {\ begin {align} Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) & = {\ frac {1} { w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d}} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ nu} \\ [4pt] & = R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right) } (х), \ конец {выровнено}}}

( 18 )

и таким образом связывает дополнительные с главными многочленами Романовского.

Основная привлекательность дополнительных многочленов заключается в том, что их производящая функция может быть вычислена в замкнутой форме. Такая производящая функция , записанная для полиномов Романовского на основе уравнения ( 18 ) с параметрами в ( 14 ) и, следовательно, относящаяся к бесконечной ортогональности, была введена как

{\ displaystyle G ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x, y) = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} R _ {\ nu } ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) {\ frac {y ^ {\ nu}} {\ nu!}}.}.}

( 19 )

Обозначения различия между Weber и используемыми здесь резюмируются следующим образом:

$G (α n, β n) (x, y)$ здесь по сравнению с $Q (x, y; α, - a)$ там, $α$ там вместо $α n$ здесь,
$a = - β n - n$ , и
$Q (α, - а) ν (x)$ в уравнении (15) Вебера, соответствующем $R (α n, β n + n - ν) ν (x)$ здесь.

Обсуждаемая производящая функция, полученная в Вебере, теперь имеет следующий вид:

{\ displaystyle G ^ {(\ alpha _ {n}, \ beta _ {n})} (x, y) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- \ beta _ {n} -n + 1} \ exp \ left (\ alpha _ {n} \ operatorname {arccot} x \ right) \ left (1+ \ left (x + y \ left (1 + x ^ {2} \ right) \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ left (- \ beta _ {n} -n + 1 \ right)} \ exp \ left (- \ alpha _ {n} \ operatorname {arccot} \ left ( x + y \ left (1 + x ^ {2} \ right) \ right) \ right.}

( 20 )

Повторяющиеся отношения

Рекуррентные соотношения между бесконечным ортогональным рядом многочленов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях ( 14 ) следуют из производящей функции :

{\ displaystyle \ nu {\ bigl (} \ nu + 1-2 (\ beta _ {n} + n) {\ bigr)} R _ {\ nu -1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)} (x) + {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) = 0,}

( 21 )

а также

{\ displaystyle R _ {\ nu +1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu -1 \ right)} (x) = {\ bigl (} \ alpha _ {n} -2x (- \ beta _ {n} -n + \ nu +1) {\ bigr)} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} - ​​\ nu \ left (1 + x ^ {2} \ right) {\ bigl (} 2 (- \ beta _ {n} -n) + \ nu +1 {\ bigr) } R _ {\ nu -1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)},}

( 22 )

как уравнения (10) и (23) Вебера (2007) соответственно.

Languages

In other projects