Резерфордское рассеяние - Rutherford scattering

Резерфордовский рассеяние является упругим рассеянием на заряженные частицы с помощью кулоновского взаимодействия . Это физическое явление объясняется Эрнест Резерфорд в 1911 году , что привело к развитию планетарной модели Резерфорда от атома и в конечном счете к модели Бора . Резерфордовское рассеяние сначала было названо кулоновским рассеянием, потому что оно полагается только на статический электрический ( кулоновский ) потенциал, а минимальное расстояние между частицами полностью задается этим потенциалом. Классический процесс резерфордского рассеяния альфа-частиц на ядрах золота является примером « упругого рассеяния », поскольку ни альфа-частицы, ни ядра золота не возбуждаются изнутри. Формула Резерфорда (см. Ниже) далее не учитывает кинетическую энергию отдачи массивного ядра-мишени.

Первоначальное открытие было сделано Гансом Гейгером и Эрнестом Марсденом в 1909 году, когда они провели эксперимент с золотой фольгой в сотрудничестве с Резерфордом, в котором они выпустили пучок альфа-частиц ( ядер гелия ) по фольге из золотого листа толщиной всего в несколько атомов. Во время эксперимента считалось, что атом аналогичен сливовому пудингу (как было предложено Дж. Дж. Томсоном ), с отрицательно заряженными электронами (сливы), усеянными по всей положительной сферической матрице (пудинг). Если бы модель сливового пудинга была правильной, положительный «пудинг», будучи более рассредоточенным, чем в правильной модели концентрированного ядра , не смог бы проявить такие большие кулоновские силы, и альфа-частицы должны отклоняться только небольшими углы, когда они проходят.

Рис. 1. В камере Вильсона трек альфа-частицы с энергией 5,3 МэВ от штыревого источника свинца-210 вблизи точки 1 претерпевает резерфордское рассеяние вблизи точки 2, отклоняясь на угол около 30 °. Он снова разлетается около точки 3 и, наконец, останавливается в газе. Ядром-мишенью в газе камеры могло быть ядро азота , кислорода , углерода или водорода . Он получил достаточно кинетической энергии при упругом столкновении, чтобы вызвать короткий видимый след отдачи около точки 2. (Масштаб в сантиметрах).

Однако интригующие результаты показали, что примерно 1 из 2000 альфа-частиц отклоняется на очень большие углы (более 90 °), в то время как остальные проходят с небольшим отклонением. Из этого Резерфорд пришел к выводу, что большая часть массы сосредоточена в крошечной положительно заряженной области (ядре), окруженной электронами. Когда (положительная) альфа-частица приближалась достаточно близко к ядру, она отталкивалась достаточно сильно, чтобы отскочить под большими углами. Небольшой размер ядра объясняет небольшое количество отталкиваемых таким образом альфа-частиц. Резерфорд показал, используя метод, описанный ниже, что размер ядра был меньше примерно10 ^-14  м (насколько меньше этого размера, Резерфорд не мог сказать по одному только этому эксперименту; подробнее об этой проблеме минимально возможного размера см. Ниже). В качестве наглядного примера на рисунке 1 показано отклонение альфа-частицы ядром в газе камеры Вильсона .

Резерфордское рассеяние теперь используется сообществом материаловедов в аналитическом методе, называемом резерфордским обратным рассеянием .

Вывод

Дифференциальное сечение может быть получено из уравнений движения для частицы , взаимодействующей с центральным потенциалом . В общем, уравнения движения, описывающие две частицы, взаимодействующие под действием центральной силы, можно разделить на центр масс и движение частиц относительно друг друга. В случае рассеяния легких альфа-частиц на тяжелых ядрах, как в эксперименте Резерфорда, приведенная масса - это, по сути, масса альфа-частицы, а ядро, от которого она рассеивается, по существу неподвижно в лабораторной системе.

Подстановка в уравнение Бине с началом системы координат на цели (рассеивателе) дает уравнение траектории в виде ${\ Displaystyle (г, \ тета)}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0} ^ {2} b ^ {2}}} = - \ kappa,}$

где u = 1/р, v ₀ - скорость на бесконечности, b - прицельный параметр .

Общее решение вышеупомянутого дифференциального уравнения есть

${\ displaystyle u = u_ {0} \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) - \ kappa,}$

и граничное условие

${\ displaystyle u \ to 0 \ quad {\ text {and}} \ quad r \ sin \ theta \ to b \ quad {\ text {as}} \ quad \ theta \ to \ pi.}$

Решение уравнений u → 0 с использованием этих граничных условий:

${\ displaystyle {\ frac {sin \ pi} {b}} = u_ {0} cos (\ pi - \ theta _ {0}) - \ kappa.}$

и его производная ду/dθ → -1/б используя эти граничные условия

${\ displaystyle {\ frac {du} {d \ theta}} = - u_ {0} sin (\ pi - \ theta _ {0}) = {\ frac {cos (\ pi)} {b}}}$

Мы можем получить

${\ displaystyle \ theta _ {0} = {\ frac {\ pi} {2}} + \ arctan b \ kappa.}$

При угле отклонения Θ после столкновения : ${\ displaystyle u \ to 0.}$

${\ displaystyle 0 = u_ {0} cos (\ Theta - \ theta _ {0}) - \ kappa}$

Тогда угол отклонения Θ можно выразить как:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Theta & = 2 \ theta _ {0} - \ pi = 2 \ arctan b \ kappa \\ & = 2 \ arctan {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0} ^ {2} b}}. \ End {align}}}$

b можно решить, чтобы дать

${\ displaystyle b = {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0} ^ {2}}} \ cot {\ frac {\ Тета} {2}}.}$

Чтобы найти сечение рассеяния из этого результата, рассмотрим его определение

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} (\ Omega) d \ Omega = {\ frac {{\ hbox {количество частиц, разбросанных в телесный угол}} d \ Omega {\ hbox {per единица времени}}} {\ hbox {интенсивность инцидента}}}}$

Учитывая кулоновский потенциал и начальную кинетическую энергию налетающих частиц, угол рассеяния Θ однозначно определяется прицельным параметром b . Таким образом, число частиц , рассеянных в угол между & thetas ; и & thetas ; + dΘ должно быть таким же , как число частиц с соответствующими параметрами воздействия между б и б + дб . Для падающей интенсивности I это означает следующее равенство

${\ displaystyle 2 \ pi Ib \ left | db \ right | = I {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} d \ Omega}$

Для радиально-симметричного потенциала рассеяния, как и в случае кулоновского потенциала , dΩ = 2π sin Θ dΘ , что дает выражение для сечения рассеяния

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = {\ frac {b} {\ sin {\ Theta}}} \ left | {\ frac {db} {d \ Theta}} \ right |}$

Подставляя полученное ранее выражение для прицельного параметра b ( Θ ), находим дифференциальное сечение резерфордовского рассеяния

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = \ left ({\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^ {2}} {8 \ pi \ epsilon _ {0} mv_) {0} ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ csc ^ {4} {\ frac {\ Theta} {2}}.}$

Этот же результат можно выразить альтернативно как

${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = \ left ({\ frac {Z_ {1} Z_ {2} \ alpha (\ hbar c)} {4E _ {\ mathrm {K}}) \ sin ^ {2} {\ frac {\ Theta} {2}}}} \ right) ^ {2},}$

где α ≈1/137- безразмерная постоянная тонкой структуры , E _K - нерелятивистская кинетическая энергия частицы в МэВ , а ħc ≈ 197 МэВ · фм .

Детали расчета максимального размера ядра

При лобовых столкновениях между альфа-частицами и ядром (с нулевым параметром прицела) вся кинетическая энергия альфа-частицы превращается в потенциальную, и частица находится в состоянии покоя. Расстояние от центра альфа-частицы до центра ядра ( r _min ) в этой точке является верхним пределом радиуса ядра, если из эксперимента очевидно, что процесс рассеяния подчиняется приведенной выше формуле сечения.

Применяя закон обратных квадратов между зарядами альфа-частицы и ядра, можно записать: Допущения: 1. На систему не действуют внешние силы. Таким образом, полная энергия (KE + PE) системы постоянна. 2. Изначально альфа-частицы находятся на очень большом расстоянии от ядра.

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ cdot {\ frac {q_ {1} q_ {2 }} {r _ {\ text {min}}}}}$

Перестановка:

${\ displaystyle r _ {\ text {min}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ cdot {\ frac {2q_ {1} q_ {2}} {mv ^ {2 }}}}$

Для альфа-частицы:

• m (масса) =6,644 24 × 10 ⁻²⁷  кг =3,7273 × 10 ⁹  эВ / c ²
• q ₁ (для гелия) = 2 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  С =3,2 × 10 ⁻¹⁹  С
• q ₂ (для золота) = 79 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  С =1,27 × 10 ⁻¹⁷  С
• v (начальная скорость) =2 × 10 ⁷  м / с (для этого примера)

Подстановка их в дает значение около 2,7 × 10 ^-14  м , или 27  фм . (Истинный радиус составляет около 7,3 фм.) Истинный радиус ядра не восстанавливается в этих экспериментах, потому что альфа-частицы не имеют достаточной энергии для проникновения на расстояние более 27 фм от ядерного центра, как отмечалось, когда фактический радиус золото составляет 7,3 фм. Резерфорд понял это, а также осознал, что реальное воздействие альфы на золото вызывает любое отклонение силы от силы1/ркулоновский потенциал изменил бы форму его кривой рассеяния при больших углах рассеяния (наименьшие прицельные параметры ) с гиперболы на что-то другое. Этого не было видно, что указывает на то, что поверхность ядра золота не была «затронута», так что Резерфорд также знал, что ядро ​​золота (или сумма радиусов золота и альфа) было меньше 27 фм.

Распространение на ситуации с релятивистскими частицами и отдачей цели

Распространение низкоэнергетического рассеяния типа Резерфорда на релятивистские энергии и частицы, имеющие собственный спин, выходит за рамки данной статьи. Например, рассеяние электронов на протоне описывается как рассеяние Мотта с поперечным сечением, которое сводится к формуле Резерфорда для нерелятивистских электронов. Если не происходит возбуждения внутренней энергии пучка или частицы-мишени, процесс называется « упругим рассеянием», поскольку энергия и импульс должны сохраняться в любом случае. Если столкновение вызывает возбуждение одной или другой составляющей или если при взаимодействии создаются новые частицы, то этот процесс называется « неупругим рассеянием».

Смотрите также

• Спектрометрия резерфордского обратного рассеяния

использованная литература

Учебники

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2002). Классическая механика (третье изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9.

внешние ссылки

• Э. Резерфорд, Рассеяние α- и β-частиц веществом и структура атома , Philosophical Magazine. Серия 6, т. 21 . Май 1911 г.
• Гейгер, H .; Марсден, Э. (1909). «О диффузном отражении α-частиц» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 82 (557): 495–500. Bibcode : 1909RSPSA..82..495G . DOI : 10,1098 / rspa.1909.0054 . Архивировано из оригинала 2 января 2008 года.