Масштаб (карта) -Scale (map)

Графическая или линейчатая шкала. Масштаб карты также обычно указывается в числовом виде («1: 50 000», например, означает, что один сантиметр на карте представляет 50 000 см реального пространства, что составляет 500 метров).

Шкала с номинальной шкалой, выраженная как «1 см = 6 км» и «1: 600 000» (эквивалентно, поскольку 6 км = 600 000 см)

Масштаб карты — это отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности . Эта простая концепция усложняется из-за кривизны земной поверхности, из-за которой масштаб карты может меняться. Из-за этой вариации понятие масштаба приобретает смысл двумя разными способами.

Первый способ – это отношение размера порождающего шара к размеру Земли. Генерирующий глобус представляет собой концептуальную модель, к которой сжимается Земля и из которой проецируется карта . Отношение размера Земли к размеру образующего земного шара называется номинальным масштабом (= главный масштаб = репрезентативная доля ). На многих картах указывается номинальный масштаб и может даже отображаться линейная шкала (иногда называемая просто «масштабом») для его представления.

Второе отдельное понятие масштаба относится к изменению масштаба карты. Это отношение масштаба отображаемой точки к номинальному масштабу. В этом случае «масштаб» означает коэффициент масштабирования (= точечный масштаб = конкретный масштаб ).

Если область карты достаточно мала, чтобы игнорировать кривизну Земли, например, в плане города, то в качестве масштаба можно использовать одно значение, не вызывая ошибок измерения. На картах, покрывающих большие территории или всю Землю, масштаб карты может быть менее полезным или даже бесполезным при измерении расстояний. Картографическая проекция становится критически важной для понимания того, как масштаб меняется по всей карте. Когда масштаб заметно меняется, это можно учитывать как масштабный фактор. Индикатриса Тиссо часто используется для иллюстрации изменения шкалы точек на карте.

История

Основы количественного масштабирования карты восходят к древнему Китаю с текстовыми свидетельствами того, что идея масштабирования карты была понята во втором веке до нашей эры. Древние китайские геодезисты и картографы располагали достаточными техническими средствами для создания карт, такими как счетные стержни , столярные угольники , отвесы , компасы для рисования кругов и визирные трубы для измерения наклона. Системы отсчета, постулирующие зарождающуюся систему координат для определения местоположений, были подсказаны древними китайскими астрономами, которые разделили небо на различные секторы или лунные ложи.

Китайский картограф и географ Пей Сю периода Троецарствия создал набор карт большой площади, которые были нарисованы в масштабе. Он разработал набор принципов, в которых подчеркивалась важность последовательного масштабирования, измерений направлений и корректировки наземных измерений на наносимой на карту местности.

Терминология

Представление масштаба

Масштабы карты могут быть выражены словами (лексический масштаб), в виде отношения или дроби. Примеры:

«от одного сантиметра до ста метров» или 1: 10 000 или 1/10 000

«от одного дюйма до одной мили» или 1: 63 360 или 1/63 360

«от одного сантиметра до тысячи километров» или 1:100 000 000 или 1/100 000 000. (Соотношение обычно сокращается до 1:100M)

Барная шкала против лексической шкалы

В дополнение к вышеперечисленному многие карты имеют одну или несколько (графических) линейчатых шкал . Например, на некоторых современных британских картах есть три шкалы, по одной для километров, миль и морских миль.

Лексический масштаб на языке, известном пользователю, может быть легче визуализировать, чем отношение: если масштаб составляет от дюйма до двух миль , и пользователь карты может видеть на карте две деревни, которые находятся на расстоянии примерно двух дюймов друг от друга, то это легко. чтобы выяснить, что деревни находятся примерно в четырех милях друг от друга на земле.

Лексическая шкала может вызвать проблемы, если она выражена на языке, который пользователь не понимает, или в устаревших или плохо определенных единицах измерения. Например, масштаб от одного дюйма до фарлонга (1:7920) будет понятен многим пожилым людям в странах, где имперские единицы преподаются в школах. Но масштаб одного пуса к одной лиге может быть примерно 1: 144 000, в зависимости от выбора картографом множества возможных определений лиги, и только меньшинство современных пользователей будет знакомо с используемыми единицами измерения.

Большой масштаб, средний масштаб, малый масштаб

В отличие от пространственного масштаба .

Карта классифицируется как мелкомасштабная , крупномасштабная, а иногда и среднемасштабная . Мелкий масштаб относится к картам мира или картам больших регионов, таких как континенты или большие страны. Другими словами, они показывают большие участки земли на небольшом пространстве. Они называются мелкомасштабными, потому что репрезентативная фракция относительно мала.

Крупномасштабные карты показывают более мелкие области более подробно, например, карты округов или планы городов. Такие карты называются крупномасштабными, потому что репрезентативная часть относительно велика. Например, план города, являющийся крупномасштабной картой, может иметь масштаб 1:10 000, тогда как карта мира, представляющая собой карту малого масштаба, может иметь масштаб 1:100 000 000.

В следующей таблице описаны типичные диапазоны для этих шкал, но ее не следует считать авторитетной, поскольку не существует стандарта:

Термины иногда используются в абсолютном смысле таблицы, но иногда в относительном смысле. Например, читатель карт, работа которого связана исключительно с крупномасштабными картами (как указано в таблице выше), может назвать карту масштаба 1: 500 000 мелкомасштабной.

В английском языке слово крупномасштабный часто используется для обозначения «обширный». Однако, как объяснялось выше, картографы используют термин «большой масштаб» для обозначения менее обширных карт, на которых показана меньшая площадь. Карты, на которых показана обширная территория, являются картами «мелкого масштаба». Это может быть причиной путаницы.

Изменение масштаба

Картографирование больших площадей вызывает заметные искажения, поскольку значительно сглаживает криволинейную поверхность земли. Как распределяется искажение, зависит от картографической проекции . Масштаб варьируется по карте , и указанный масштаб карты является приблизительным. Это подробно обсуждается ниже.

Крупномасштабные карты с пренебрежением кривизной

Область, в которой Землю можно считать плоской, зависит от точности геодезических измерений. Если измерять только с точностью до метра, то кривизну Земли невозможно обнаружить на меридиональном расстоянии около 100 километров (62 мили) и на линии восток-запад около 80 км (на широте 45 градусов). При обследовании с точностью до 1 миллиметра (0,039 дюйма) кривизна не обнаруживается на меридиональном расстоянии около 10 км и на линии восток-запад около 8 км. Таким образом, план Нью-Йорка с точностью до одного метра или план строительной площадки с точностью до одного миллиметра удовлетворяли бы вышеуказанным условиям пренебрежения кривизной. Их можно лечить с помощью плоскостной съемки и нанести на карту чертежи в масштабе, на которых любые две точки, находящиеся на одном и том же расстоянии на чертеже, находятся на одном и том же расстоянии на земле. Истинные наземные расстояния рассчитываются путем измерения расстояния на карте и последующего умножения на обратную долю масштаба или, что то же самое, простого использования делителей для перевода расстояния между точками на карте в линейный масштаб на карте.

Шкала баллов (или конкретная шкала)

Как доказано теоремой Гаусса об Эгрегиуме , сфера (или эллипсоид) не может быть спроецирована на плоскость без искажения. Это обычно иллюстрируется невозможностью разгладить апельсиновую корку на плоской поверхности, не порвав и не деформировав ее. Единственным верным представлением сферы в постоянном масштабе является другая сфера, такая как земной шар .

Учитывая ограниченный практический размер глобусов, мы должны использовать карты для детального картографирования. Карты требуют проекций. Проекция подразумевает искажение: постоянное разделение на карте не соответствует постоянному разделению на земле. Хотя карта может отображать графическую линейчатую шкалу, масштаб следует использовать с пониманием того, что он будет точным только на некоторых линиях карты. (Это обсуждается далее в примерах в следующих разделах.)

Пусть P будет точкой на широте и долготе на сфере (или эллипсоиде ). Пусть Q будет соседней точкой и пусть будет углом между элементом PQ и меридианом в точке P: этот угол является азимутальным углом элемента PQ. Пусть P' и Q' — соответствующие точки на проекции. Угол между направлением P'Q' и проекцией меридиана является азимутом . В целом . Комментарий: это точное различие между азимутом (на поверхности Земли) и азимутом (на карте) не всегда соблюдается, многие авторы используют эти термины почти как синонимы. ${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle \ альфа}$ ${\ Displaystyle \ бета}$${\ Displaystyle \ альфа \ neq \ бета}$

Определение: шкала точек в P представляет собой отношение двух расстояний P'Q' и PQ в пределе, когда Q приближается к P. Запишем это как

${\ displaystyle \ mu (\ lambda, \, \ varphi, \, \ alpha) = \ lim _ {Q \ to P} {\ frac {P'Q'} {PQ}},}$

где обозначение указывает, что шкала точек является функцией положения P, а также направления элемента PQ.

Определение: если P и Q лежат на одном и том же меридиане , то шкала меридиана обозначается через . ${\ Displaystyle (\ альфа = 0)}$${\ Displaystyle ч (\ лямбда, \, \ varphi)}$

Определение: если P и Q лежат на одной параллели , параллельный масштаб обозначается через . ${\ Displaystyle (\ альфа = \ пи / 2)}$${\ Displaystyle к (\ лямбда, \, \ varphi)}$

Определение: если шкала точек зависит только от положения, а не от направления, говорят, что она изотропна , и условно обозначают ее значение в любом направлении параллельным масштабным коэффициентом . ${\ Displaystyle к (\ лямбда, \ varphi)}$

Определение: Картографическая проекция называется конформной , если угол между парой прямых, пересекающихся в точке P, равен углу между спроецированными линиями в спроецированной точке P' для всех пар прямых, пересекающихся в точке P. Конформная карта имеет изотропный масштабный коэффициент. И наоборот, изотропные масштабные коэффициенты по карте подразумевают конформную проекцию.

Изотропия масштаба означает, что мелкие элементы растягиваются одинаково во всех направлениях, то есть сохраняется форма мелкого элемента. Это свойство ортоморфизма (от греческого «правильная форма»). Квалификация «небольшой» означает, что при некоторой заданной точности измерения не может быть обнаружено никаких изменений масштабного коэффициента по элементу. Поскольку конформные проекции имеют изотропный масштабный коэффициент, их также называют ортоморфными проекциями . Например, проекция Меркатора является конформной, поскольку она построена для сохранения углов, а ее масштабный коэффициент изотропен и зависит только от широты: Меркатор сохраняет форму в небольших областях.

Определение: на конформной проекции с изотропным масштабом точки, имеющие одинаковое значение масштаба, могут быть соединены, чтобы сформировать линии изомасштаба . Они не наносятся на карты для конечных пользователей, но фигурируют во многих стандартных текстах. (См. Снайдер, стр. 203–206.)

Репрезентативная фракция (RF) или основная шкала

Есть два соглашения, используемые при составлении уравнений любой данной проекции. Например, равнопрямоугольная цилиндрическая проекция может быть записана как

картографы:        ${\ Displaystyle х = а \ лямбда}$      ${\ Displaystyle у = а \ varphi}$

математики:       ${\ Displaystyle х = \ лямбда}$      ${\ Displaystyle у = \ varphi}$

Здесь мы примем первое из этих соглашений (после использования в обзорах Снайдера). Ясно, что приведенные выше проекционные уравнения определяют положения на огромном цилиндре, обернутом вокруг Земли, а затем развернутом. Мы говорим, что эти координаты определяют проекционную карту , которую необходимо логически отличать от реальных напечатанных (или просматриваемых) карт. Если определение шкалы точек в предыдущем разделе дано в терминах карты проекции, то мы можем ожидать, что масштабные коэффициенты будут близки к единице. Для нормальных касательных цилиндрических проекций масштаб вдоль экватора равен k=1, и обычно масштаб изменяется по мере удаления от экватора. Анализ масштаба на карте проекции представляет собой исследование отклонения k от его истинного значения, равного единице.

Фактические печатные карты создаются из проекционной карты с постоянным масштабированием, обозначаемым соотношением, например, 1: 100M (для карт всего мира) или 1: 10000 (например, для планов городов). Чтобы избежать путаницы при использовании слова «масштаб», эта постоянная доля масштаба называется репрезентативной долей (RF) печатной карты, и ее следует отождествлять с коэффициентом, напечатанным на карте. Фактические координаты напечатанной карты для равнопрямоугольной цилиндрической проекции равны

распечатанная карта:        ${\ Displaystyle х = (РФ) а \ лямбда}$      ${\ Displaystyle у = (РФ) а \ varphi}$

Это соглашение позволяет четко различать внутреннее масштабирование проекции и масштабирование сокращения.

С этого момента мы игнорируем RF и работаем с картой проекции.

Визуализация балльной шкалы: индикатриса Tissot

Тройная проекция Винкеля с индикатрисой деформации Тиссо

Рассмотрим небольшой круг на поверхности Земли с центром в точке P на широте и долготе . Поскольку масштаб точек зависит от положения и направления, проекция круга на проекцию будет искажена. Тиссо доказал, что пока искажение не слишком велико, круг на проекции станет эллипсом. Как правило, размер, форма и ориентация эллипса будут меняться в зависимости от проекции. Наложение этих эллипсов искажения на проекцию карты передает способ изменения масштаба точек на карте. Эллипс искажения известен как индикатриса Тиссо . Показанный здесь пример представляет собой проекцию трипеля Винкеля , стандартную проекцию для карт мира, составленную Национальным географическим обществом . Минимальное искажение наблюдается на центральном меридиане на широте 30 градусов (северная и южная). (Другие примеры). ${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ лямбда}$

Шкала баллов для нормальных цилиндрических проекций сферы

Ключом к количественному пониманию масштаба является рассмотрение бесконечно малого элемента на сфере. На рисунке показана точка P на широте и долготе на сфере. Точка Q находится на широте и долготе . Линии PK и MQ представляют собой дуги меридианов , длина которых равна радиусу сферы и измеряется в радианах. Прямые PM и KQ представляют собой дуги параллельных окружностей длиной в радианах. При выводе точечного свойства проекции в P достаточно взять бесконечно малый элемент поверхности PMQK: в пределе Q, приближающемся к P, такой элемент стремится к бесконечно малому плоскому прямоугольнику. ${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle \ varphi + \ дельта \ varphi}$${\ Displaystyle \ лямбда + \ дельта \ лямбда}$${\ Displaystyle а \, \ дельта \ varphi}$${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle (а \ соз \ varphi) \ дельта \ лямбда}$${\ Displaystyle \ лямбда}$

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Нормальные цилиндрические проекции сферы имеют и равны функции только широты. Следовательно, бесконечно малый элемент PMQK на сфере проецируется в бесконечно малый элемент P'M'Q'K', который представляет собой точный прямоугольник с основанием и высотой  . Сравнивая элементы на сфере и проекции, мы можем сразу вывести выражения для коэффициентов масштабирования на параллелях и меридианах. (Обработка масштаба в общем направлении может быть найдена ниже .) ${\ Displaystyle х = а \ лямбда}$${\ Displaystyle у}$${\ Displaystyle \ дельта х = а \, \ дельта \ лямбда}$${\ Displaystyle \ дельта у}$

параллельный масштабный коэффициент   ${\ displaystyle \ quad k \; = \; {\ dfrac {\ delta x} {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}} = \, \ sec \ varphi \ qquad \ qquad {}}$

меридиональный масштабный коэффициент  ${\ displaystyle \ quad h \; = \; {\ dfrac {\ delta y} {a \, \ delta \ varphi \,}} = {\ dfrac {y '(\ varphi)} {a}}}$

Обратите внимание, что параллельный масштабный коэффициент не зависит от определения, поэтому он одинаков для всех нормальных цилиндрических проекций. Полезно отметить, что ${\ Displaystyle к = \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle у (\ varphi)}$

на широте 30 градусов параллельная шкала${\ displaystyle k = \ sec 30 ^ {\ circ} = 2 / {\ sqrt {3}} = 1,15}$

на широте 45 градусов параллельная шкала${\ displaystyle k = \ sec 45 ^ {\ circ} = {\ sqrt {2}} = 1,414}$

на широте 60 градусов параллельная шкала${\ displaystyle k = \ sec 60 ^ {\ circ} = 2}$

на широте 80 градусов параллельная шкала${\ displaystyle k = \ sec 80 ^ {\ circ} = 5,76}$

на широте 85 градусов параллельная шкала${\ displaystyle k = \ sec 85 ^ {\ circ} = 11,5}$

Следующие примеры иллюстрируют три нормальные цилиндрические проекции, и в каждом случае изменение масштаба в зависимости от положения и направления проиллюстрировано с помощью индикатрисы Тиссо .

Три примера нормальной цилиндрической проекции

Равноугольная проекция

Равнопромежуточная проекция с индикатрисой деформации Тиссо

Равнопрямоугольная проекция , также известная как Plate Carrée (по-французски «плоский квадрат») или (несколько вводящая в заблуждение) равнопромежуточная проекция, определяется как

${\ Displaystyle х = а \ лямбда,}$   ${\ Displaystyle у = а \ varphi,}$

где — радиус сферы, — долгота от центрального меридиана проекции (здесь взят гринвичский меридиан в точке ) и — широта. Обратите внимание, что и выражены в радианах (получены путем умножения градусной меры на коэффициент /180). Долгота находится в диапазоне , а широта находится в диапазоне . ${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle \ лямбда = 0}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ пи}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle [- \ пи, \ пи]}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle [- \ пи / 2, \ пи / 2]}$

Поскольку предыдущий раздел дает ${\ Displaystyle у '(\ varphi) = 1}$

параллельная шкала,  ${\ displaystyle \ quad k \; = \; {\ dfrac {\ delta x} {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}} = \, \ sec \ varphi \ qquad \ qquad {}}$

меридиональная шкала ${\ displaystyle \ quad h \; = \; {\ dfrac {\ delta y} {а \, \ delta \ varphi \,}} = \, 1}$

Для расчета шкалы баллов в произвольном направлении см . приложение .

На рисунке показана индикатриса Tissot для этой проекции. На экваторе h=k=1 и круговые элементы не искажаются на проекции. В более высоких широтах круги искажаются в эллипс, полученный растяжением только в параллельном направлении: в меридиональном направлении искажения нет. Отношение большой оси к малой оси равно . Ясно, что площадь эллипса увеличивается во столько же раз. ${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$

Поучительно рассмотреть возможность использования линейных шкал, которые могут появиться в печатной версии этой проекции. Масштаб истинный (k = 1) на экваторе, поэтому умножение его длины на печатной карте на обратную RF (или основной масштаб) дает фактическую окружность Земли. Шкала на карте также нарисована в истинном масштабе, так что перенос расстояния между двумя точками на экваторе в линейчатую шкалу даст правильное расстояние между этими точками. То же самое верно и для меридианов. На параллели, отличной от экватора, масштаб таков, что когда мы переносим расстояние от параллели на линейную шкалу, мы должны разделить расстояние на линейной шкале на этот коэффициент, чтобы получить расстояние между точками при измерении вдоль параллели (что не является истинное расстояние по большому кругу ). На линии с азимутом, скажем, 45 градусов ( ) масштаб постоянно меняется в зависимости от широты, и перенос расстояния вдоль линии на линейную шкалу не дает расстояния, связанного с истинным расстоянием каким-либо простым способом. (Но см. дополнение ). Даже если бы можно было определить расстояние вдоль этой линии постоянного плоского угла, его актуальность сомнительна, поскольку такая линия на проекции соответствует сложной кривой на сфере. По этим причинам линейчатые масштабы на мелкомасштабных картах следует использовать с особой осторожностью. ${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ бета = 45 ^ {\ circ}}$

Проекция Меркатора

Проекция Меркатора с индикатрисой деформации Тиссо. (Искажение увеличивается без ограничений на более высоких широтах)

Проекция Меркатора отображает сферу в прямоугольник (бесконечной протяженности в -направлении) с помощью уравнений ${\ Displaystyle у}$

${\ Displaystyle х = а \ лямбда \,}$

${\ displaystyle y = a \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right]}$

где а и такие же, как в предыдущем примере. Поскольку коэффициенты масштабирования: ${\ Displaystyle \ лямбда \,}$${\ Displaystyle \ варфи \,}$${\ Displaystyle у '(\ varphi) = а \ сек \ varphi}$

параллельная шкала     ${\ displaystyle k \; = \; {\ dfrac {\ delta x} {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}} = \, \ sec \ varphi.}$

меридиональная шкала   ${\ displaystyle h \; = \; {\ dfrac {\ delta y} {а \, \ delta \ varphi \,}} = \, \ sec \ varphi.}$

В математическом дополнении показано, что масштаб точки в произвольном направлении также равен , поэтому масштаб изотропен (одинаков во всех направлениях), его величина увеличивается с широтой как . На диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент сохраняет свою форму, но увеличивается все больше и больше по мере увеличения широты. ${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$

Равновеликая проекция Ламберта

Нормальная цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта с индикатрисой деформации Тиссо

Равновеликая проекция Ламберта отображает сферу в конечный прямоугольник с помощью уравнений

${\ Displaystyle х = а \ лямбда \ qquad \ qquad у = а \ грех \ varphi}$

где а и такие же, как в предыдущем примере. Поскольку масштабные коэффициенты ${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle у '(\ varphi) = \ соз \ varphi}$

параллельная шкала      ${\ displaystyle \ quad k \; = \; {\ dfrac {\ delta x} {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}} = \, \ sec \ varphi \ qquad \ qquad {}}$

меридиональная шкала    ${\ displaystyle \ quad h \; = \; {\ dfrac {\ delta y} {а \, \ delta \ varphi \,}} = \, \ cos \ varphi}$

Расчет шкалы баллов в произвольном направлении приведен ниже .

Вертикальный и горизонтальный масштаб теперь компенсируют друг друга (hk=1), и на диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент искажается в эллипс той же площади, что и неискаженные круги на экваторе.

Графики масштабных коэффициентов

На графике показано изменение коэффициентов масштабирования для трех приведенных выше примеров. На верхнем графике показана функция изотропной шкалы Меркатора: шкала на параллели такая же, как шкала на меридиане. На других графиках показан масштабный коэффициент меридиана для равнопромежуточной проекции (h=1) и для равновеликой проекции Ламберта. Эти последние две проекции имеют параллельный масштаб, идентичный шкале Меркатора. Для Ламберта обратите внимание, что параллельный масштаб (как Меркатор A) увеличивается с широтой, а меридиональный масштаб (C) уменьшается с широтой таким образом, что hk = 1, что гарантирует сохранение площади.

Изменение масштаба проекции Меркатора

Шкала точек Меркатора равна единице на экваторе, потому что она такова, что вспомогательный цилиндр, использованный в ее конструкции, касается Земли на экваторе. По этой причине обычную проекцию следует называть касательной проекцией. Масштаб меняется в зависимости от широты как . Поскольку стремится к бесконечности по мере приближения к полюсам, карта Меркатора сильно искажается в высоких широтах, и по этой причине проекция совершенно не подходит для карт мира (если только мы не обсуждаем навигацию и локсодромии ). Однако на широте около 25 градусов значение равно примерно 1,1, поэтому Меркатор точен с точностью до 10% в полосе шириной 50 градусов с центром на экваторе. Более узкие полосы лучше: полоса шириной 16 градусов (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 части из 100. ${\ Displaystyle к = \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$

Стандартным критерием хороших крупномасштабных карт является то, что точность должна быть в пределах 4 частей из 10 000, или 0,04%, что соответствует . Так как достигает этого значения в градусах (см. рисунок ниже, красная линия). Таким образом, касательная проекция Меркатора очень точна в пределах полосы шириной 3,24 градуса с центром на экваторе. Это соответствует расстоянию с севера на юг около 360 км (220 миль). Внутри этой полосы Меркатор очень хорош, очень точен и сохраняет форму, потому что он конформен (сохраняет угол). Эти наблюдения подтолкнули к разработке поперечных проекций Меркатора, в которых меридиан рассматривается «как экватор» проекции, так что мы получаем точную карту в пределах небольшого расстояния от этого меридиана. Такие карты хороши для стран, выровненных почти с севера на юг (например, Великобритания ), и набор из 60 таких карт используется для универсальной поперечной Меркатора (UTM) . Обратите внимание, что в обеих этих проекциях (которые основаны на различных эллипсоидах) уравнения преобразования для x и y и выражение для масштабного коэффициента являются сложными функциями как широты, так и долготы. ${\ Displaystyle к = 1,0004}$${\ Displaystyle \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi = 1,62}$

Изменение масштаба вблизи экватора для касательной (красный) и секущей (зеленый) проекций Меркатора.

Секущие или модифицированные проекции

Основная идея секущей проекции заключается в том, что сфера проецируется на цилиндр, который пересекает сферу по двум параллелям, скажем, северной и южной. Ясно, что масштаб теперь верен на этих широтах, тогда как параллели ниже этих широт сжаты проекцией, и их (параллельный) масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. В результате отклонение шкалы от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт. ${\ Displaystyle \ varphi _ {1}}$

Например, одна возможная секущая проекция Меркатора определяется как

${\ displaystyle x = 0,9996a \ lambda \ qquad \ qquad y = 0,9996a \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \верно-верно).}$

Числовые множители не изменяют форму проекции, но это означает, что коэффициенты масштабирования изменяются:

секущая шкала Меркатора,   ${\ displaystyle \ quad k \; = 0,9996 \ sec \ varphi.}$

Таким образом

• масштаб на экваторе 0,9996,
• масштаб k  = 1 на широте, заданной где , так что градусы,${\ Displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ Displaystyle \ сек \ varphi _ {1} = 1 / 0,9996 = 1,00004}$${\ Displaystyle \ varphi _ {1} = 1,62}$
• k = 1,0004 на широте , заданной для каких градусов. Следовательно, проекция имеет , то есть точность 0,04%, по более широкой полосе 4,58 градуса (по сравнению с 3,24 градуса для касательной формы).${\ Displaystyle \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle \ sec \ varphi _ {2} = 1,0004 / 0,9996 = 1,0008}$${\ Displaystyle \ varphi _ {2} = 2,29}$${\ Displaystyle 1 <к <1,0004}$

Это показано нижней (зеленой) кривой на рисунке в предыдущем разделе.

Такие узкие зоны высокой точности используются в UTM и британской проекции OSGB, обе из которых являются секущими, поперечными меркаторскими на эллипсоиде с постоянной шкалой центрального меридиана в . Изомасштабные линии со слегка изогнутыми линиями примерно в 180 км к востоку и западу от центрального меридиана. Максимальное значение коэффициента масштабирования составляет 1,001 для UTM и 1,0007 для OSGB. ${\ displaystyle k_ {0} = 0,9996}$${\ Displaystyle к = 1}$

Линии единичного масштаба на широте (север и юг), где поверхность цилиндрической проекции пересекает сферу, являются стандартными параллелями секущей проекции. ${\ Displaystyle \ varphi _ {1}}$

В то время как узкая полоса важна для высокоточного картографирования в большом масштабе, для карт мира используются гораздо более широко расставленные стандартные параллели, чтобы контролировать изменение масштаба. Примеры ${\ Displaystyle | к-1 | <0,0004}$

• Behrmann со стандартными параллелями на 30N, 30S.
• Галл равновеликий со стандартными параллелями на 45N, 45S.

Изменение масштаба для равновеликих проекций Ламберта (зеленый) и Галла (красный).

Графики масштаба для последнего показаны ниже в сравнении с масштабными коэффициентами равной площади Ламберта. В последнем случае экватор представляет собой одну стандартную параллель, а масштаб параллели увеличивается с k=1, чтобы компенсировать уменьшение масштаба меридиана. Для Галла параллельный масштаб уменьшен на экваторе (до k = 0,707), а меридиональный масштаб увеличен (до k = 1,414). Это приводит к грубому искажению формы в проекции Галла-Питерса. (На земном шаре длина Африки примерно равна ее ширине). Обратите внимание, что меридианный и параллельный масштабы равны единице на стандартных параллелях.

Математическое дополнение

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Для нормальных цилиндрических проекций геометрия бесконечно малых элементов дает

${\ displaystyle {\ text {(a)}} \ quad \ tan \ alpha = {\ frac {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda} {a \, \ delta \ varphi}},}$

${\ displaystyle {\ text {(b)}} \ quad \ tan \ beta = {\ frac {\ delta x} {\ delta y}} = {\ frac {a \, \ delta \ lambda} {\ delta y }}.}$

Соотношение между углами и${\ Displaystyle \ бета}$${\ Displaystyle \ альфа}$

${\ displaystyle {\ text {(c)}} \ quad \ tan \ beta = {\ frac {a \ sec \ varphi} {y '(\ varphi)}} \ tan \ alpha. \,}$

Для проекции Меркатора : углы сохраняются. (Едва ли удивительно, поскольку это соотношение используется для вывода Меркатора). Для эквидистантной проекции и проекции Ламберта мы имеем и , соответственно, отношение между и зависит от широты  . Обозначим шкалу точек в P, когда бесконечно малый элемент PQ образует угол с меридианом, через Он определяется отношением расстояний: ${\ Displaystyle у '(\ varphi) = а \ сек \ varphi}$${\ Displaystyle \ альфа = \ бета}$${\ Displaystyle у '(\ varphi) = а}$${\ Displaystyle у '(\ varphi) = а \ соз \ varphi}$${\ Displaystyle \ альфа}$${\ Displaystyle \ бета}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ альфа \,}$${\ Displaystyle \ му _ {\ альфа}.}$

${\ displaystyle \ mu _ {\ alpha} = \ lim _ {Q \ to P} {\ frac {P'Q'} {PQ}} = \ lim _ {Q \ to P} {\ frac {\ sqrt { \delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\дельта\лямбда ^{2}}}}.}$

Установка и замена и из уравнений (a) и (b) соответственно дает ${\ Displaystyle \ дельта х = а \, \ дельта \ лямбда}$${\ Displaystyle \ дельта \ varphi}$${\ Displaystyle \ дельта у}$

${\ displaystyle \ mu _ {\ alpha} (\ varphi) = \ sec \ varphi \ left [{\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta}} \ right].}$

Для проекций, отличных от Меркатора, мы должны сначала вычислить по уравнению ( с ) и использовать его, прежде чем мы сможем найти . Например, равнопрямоугольная проекция имеет так, что ${\ Displaystyle \ бета}$${\ Displaystyle \ альфа}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ му _ {\ альфа}}$${\ Displaystyle у '= а}$

${\ Displaystyle \ загар \ бета = \ сек \ varphi \ загар \ альфа. \,}$

Если мы рассматриваем линию постоянного наклона на проекции, то и соответствующее значение, и масштабный коэффициент вдоль линии являются сложными функциями от . Не существует простого способа перевести общее конечное разделение в линейную шкалу и получить содержательные результаты. ${\ Displaystyle \ бета}$${\ Displaystyle \ альфа}$${\ Displaystyle \ варфи}$

Символ соотношения

В то время как двоеточие часто используется для выражения соотношений, Unicode может выражать символ, специфичный для соотношений, будучи слегка приподнятым: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ ).

Смотрите также

• Географическое расстояние
• Шкала (аналитический инструмент)
• Масштаб (соотношение)
• Масштабирование (геометрия)
• Пространственный масштаб

Рекомендации