Уравнение Шредера - Schröder's equation

Не путать с уравнением Шредингера .
Эрнст Шредер (1841–1902) в 1870 году сформулировал одноименное уравнение.

Уравнение Шредера , названное в честь Эрнста Шредера , является функциональным уравнением с одной независимой переменной : для данной функции h найдите функцию Ψ такую, что

Уравнение Шредера - это уравнение на собственные значения для оператора композиции C h, который отправляет функцию f в f ( h (.)) .

Если является фиксированной точкой в час , что означает , ч ( ) = , то либо Ψ ( ) = 0 (или ∞ ) или с = 1 . Таким образом, при условии, что Ψ ( a ) конечно и Ψ ′ ( a ) не обращается в нуль и не расходится, собственное значение s определяется выражением s = h ′ ( a ) .

Функциональное значение

При a = 0 , если h аналитична в единичном круге, фиксирует 0 и 0 <| h ′ (0) | <1 , а затем Габриэль Конигс показал в 1884 году , что существует аналитический (нетривиальный) Ψ , удовлетворяющие уравнению Шредера. Это один из первых шагов в длинной цепочке теорем, плодотворных для понимания операторов композиции в аналитических функциональных пространствах, ср. Функция Кенигса .

Уравнения, подобные уравнению Шредера, подходят для кодирования самоподобия и поэтому широко используются в исследованиях нелинейной динамики (часто называемой в просторечии теорией хаоса ). Он также используется в исследованиях турбулентности , а также ренормализационной группы .

Эквивалентная транспонированная форма уравнения Шредера для обратной Φ = Ψ −1 функции сопряженности Шредера - это h (Φ ( y )) = Φ ( sy ) . Замена переменных α ( x ) = log (Ψ ( x )) / log ( s ) ( функция Абеля ) далее преобразует уравнение Шредера в более старое уравнение Абеля , α ( h ( x )) = α ( x ) + 1 . Аналогично, замена переменных Ψ ( x ) = log (φ ( x )) преобразует уравнение Шредера в уравнение Бёттхера , φ ( h ( x )) = (φ ( x )) s .

Кроме того, для скорости, β ( х ) = Ψ / Ψ ' ,   Julia «уравнение с ,   & beta ; ( е ( х )) = F ' ( х ) β ( х ) , имеет место.

П -й мощности решения уравнения Шредера обеспечивает решение уравнения Шредера с собственным значением сек п , вместо этого. Точно так же для обратимого решения Ψ ( x ) уравнения Шредера (необратимая) функция Ψ ( x ) k (log Ψ ( x )) также является решением для любой периодической функции k ( x ) с период журнала ( ов ) . Таким образом связаны все решения уравнения Шредера.

Решения

Уравнение Шредера было решено аналитически, если a - притягивающая (но не суперпритягивающая) неподвижная точка, то есть 0 <| h ′ ( a ) | <1 по Габриэль Кёнигсу (1884 г.).

В случае суперпритягивающей неподвижной точки | h ′ ( a ) | = 0 , уравнение Шредера громоздко, и его лучше всего преобразовать в уравнение Бёттхера .

Существует множество частных решений, восходящих к оригинальной статье Шредера 1870 года.

Разложение в ряд вокруг фиксированной точки и соответствующие свойства сходимости решения для результирующей орбиты и его свойства аналитичности убедительно резюмированы Секерешем . Некоторые решения представлены в виде асимптотических рядов , ср. Матрица Карлемана .

Приложения

Первые пять полупериодов фазового пространства орбиты  хаотического логистического отображения s = 4 h ( x ) , голографически интерполированного с помощью уравнения Шредера. Скорость v  = d h t / d t в зависимости от h t . Хаос очевиден на орбите, постоянно охватывая все x .
См. Также: Рациональное разностное уравнение

Он используется для анализа дискретных динамических систем путем поиска новой системы координат, в которой система (орбита), порожденная h ( x ), выглядит проще, как простое расширение.

Более конкретно, система, для которой дискретный единичный шаг по времени составляет x → h ( x ) , может иметь гладкую орбиту (или поток ), восстановленную из решения вышеупомянутого уравнения Шредера, его уравнения сопряженности .

То есть h ( x ) = Ψ −1 ( s Ψ ( x )) ≡ h 1 ( x ) .

В общем, все его функциональные итерации (его регулярная группа итераций , см. Итерационную функцию ) обеспечиваются орбитой

для t real - не обязательно положительное или целое. (Таким образом, полная непрерывная группа .) Множество h n ( x ) , т. Е. Всех положительных целочисленных итераций h ( x ) ( полугруппы ), называется отщеплением (или последовательностью Пикара) h ( x ) .

Однако все итерации (дробные, бесконечно малые или отрицательные) h ( x ) аналогичным образом задаются посредством преобразования координат Ψ ( x ), определенного для решения уравнения Шредера: голографическая непрерывная интерполяция исходной дискретной рекурсии x → h ( x ) имеет был построен; по сути, вся орбита .

Например, функциональный квадратный корень равен h 1/2 ( x ) = −1 ( s 1/2 Ψ ( x )) , так что h 1/2 ( h 1/2 ( x )) = h ( x ) , и так далее.

Например, частные случаи логистической карты, такие как хаотический случай h ( x ) = 4 x (1 -  x ), уже были разработаны Шредером в его оригинальной статье (стр. 306),

Ψ ( x ) = (arcsin √ x ) 2 , s = 4 , и, следовательно, h t ( x ) = sin 2 (2 t arcsin √ x ) .

Фактически, это решение является результатом движения, продиктованного последовательностью потенциалов обратного переключения, V ( x ) ∝ x ( x  - 1) ( nπ  + arcsin  √ x ) 2 , общей чертой непрерывных итераций, производимых уравнением Шредера.

Нехаотический случай, который он также проиллюстрировал своим методом, h ( x ) = 2 x (1 -  x ) , дает

Ψ ( х ) = - 1/2ln (1-2 x ) , следовательно, h t ( x ) = -1/2((1-2 х ) 2 т  - 1) .

Аналогично, для модели Бевертона – Холта , h ( x ) = x / (2 -  x ) , легко найти Ψ ( x ) = x / (1 -  x ) , так что

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ a b c Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 .
  2. ^ Карлесон, Леннарт ; Гамелен, Теодор В. (1993). Сложная динамика . Серия учебников: Университекст: Учебники по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
  3. ^ Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Monografie Matematyczne. Варшава: PWN - Польское научное издательство. ASIN: B0006BTAC2
  4. ^ Гелл-Манн, М .; Низкий, FE (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF) . Физический обзор . 95 (5): 1300–1312. Bibcode : 1954PhRv ... 95.1300G . DOI : 10.1103 / PhysRev.95.1300 .
  5. ^ a b Curtright, TL ; Захос, СК (март 2011 г.). "Функциональные уравнения ренормгруппы". Physical Review D . 83 (6): 065019. arXiv : 1010.5174 . Bibcode : 2011PhRvD..83f5019C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.83.065019 .
  6. ^ Koenigs, G. (1884). "Recherches sur les intégrales de specifices équations fonctionelles" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 1 (3, приложение): 3–41. DOI : 10,24033 / asens.247 .
  7. ^ Эрдеш, П .; Жаботинский, Э. (1960). «Об аналитической итерации». Журнал d'Analyse Mathématique . 8 (1): 361–376. DOI : 10.1007 / BF02786856 .
  8. ^ Беттхер, LE (1904). «Основные законы сходимости итераций и их применение к анализу». Изв. Казань. Физ.-мат. Общ. (Русский) . 14 : 155–234.
  9. ^ Шекереса, G. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций» . Acta Mathematica . 100 (3–4): 361–376. DOI : 10.1007 / BF02559539 . [1]
  10. ^ a b Curtright, TL ; Захос, СК (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал Physics A . 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode : 2009JPhA ... 42V5208C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/48/485208 .
  11. ^ Кертрайт, Т. Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера .
  12. ^ Кертрайт, TL ; Захос, СК (2010). «Хаотические карты, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал Physics A . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA ... 43R5101C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 43/44/445101 .
  13. ^ Скеллам, Дж. Г. (1951). «Случайное рассредоточение теоретических популяций», Биометрика 38 196-218, ур. 41, 42.