Тело Сирса – Хаака - Sears–Haack body

Тело Сирса – Хаака

Тело Сирс-Хаак является форма с наименьшей теоретической волнового сопротивления в сверхзвуковом потоке, для заданной длины тела и заданного объема. Математический вывод предполагает сверхзвуковой поток с малыми возмущениями (линеаризованный), который описывается уравнением Прандтля – Глауэрта . Происхождение и форма были независимо опубликованы двумя отдельными исследователями: Вольфгангом Хааком в 1941 году, а затем Уильямом Сирсом в 1947 году.

Теория показывает, что волновое сопротивление масштабируется как квадрат второй производной распределения площадей (см. Полное выражение ниже), поэтому для низкого волнового сопротивления необходимо, чтобы оно было плавным . Таким образом, тело Сирса – Хаака заострено на каждом конце и плавно растет до максимума, а затем плавно уменьшается ко второй точке. ${\ Displaystyle D _ {\ текст {волна}} \ sim [S '' (x)] ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S (х)}$

Полезные формулы

Площадь поперечного сечения тела Сирса – Хаака равна

{\ displaystyle S (x) = {\ frac {16V} {3L \ pi}} [4x (1-x)] ^ {3/2} = \ pi R _ {\ text {max}} ^ {2} [ 4x (1-x)] ^ {3/2},}

его объем

{\ displaystyle V = {\ frac {3 \ pi ^ {2}} {16}} R _ {\ text {max}} ^ {2} L,}

его радиус

{\ displaystyle r (x) = R _ {\ text {max}} [4x (1-x)] ^ {3/4},}

производная (наклон) равна

{\ displaystyle r '(x) = 3R _ {\ text {max}} [4x (1-x)] ^ {- 1/4} (1-2x),}

вторая производная

{\ displaystyle r '' (x) = - 3R _ {\ text {max}} \ {[4x (1-x)] ^ {- 5/4} (1-2x) ^ {2} +2 [4x ( 1-x)] ^ {- 1/4} \},}

где:

x - это отношение расстояния от носа к длине всего тела (всегда между 0 и 1),
r - локальный радиус,
${\ displaystyle R _ {\ text {max}}}$ - максимальный радиус (находится в центре формы),
V - объем,
L - длина.

Из теории стройного тела следует, что:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ rho U ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ ell} \ int _ {0} ^ {\ ell} S '' (x_ {1}) S '' (x_ {2}) \ ln | x_ {1} -x_ {2} | \ mathrm {d} x_ {1} \ mathrm {d} x_ {2},}

альтернативно:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ rho U ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ ell} S '' (x) \ mathrm {d} x \ int _ {0} ^ {x} S '' (x_ {1}) \ ln (x-x_ {1}) \ mathrm {d} x_ {1}.}

Эти формулы можно объединить, чтобы получить следующее:

{\ displaystyle D _ {\ text {wave}} = {\ frac {64V ^ {2}} {\ pi L ^ {4}}} \ rho U ^ {2} = {\ frac {9 \ pi ^ {3 } R_ {макс} ^ {4}} {4L ^ {2}}} \ rho U ^ {2},}

{\ displaystyle C_ {D _ {\ text {wave}}} = {\ frac {24V} {L ^ {3}}} = {\ frac {9 \ pi ^ {2} R_ {max} ^ {2}} {2L ^ {2}}},}

где:

${\ displaystyle D _ {\ text {волна}}}$ это волновое сопротивление ,
${\ displaystyle \ rho}$ плотность жидкости,
U - скорость.

Обобщение Р.Т. Джонса

Вывод формы тела Сирса – Хаака верен только в пределе стройного тела. Теория была обобщена на тонкие, но неосесимметричные формы Робертом Т. Джонсом в отчете NACA 1284. В этом расширении область определяется на конусе Маха , вершина которого находится в определенном месте , а не на плоскости, как предполагали Sears и Хаак. Следовательно, теория Джонса применима к более сложным формам, таким как сверхзвуковой самолет в целом. ${\ Displaystyle S (х)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle х = {\ текст {константа}}}$

Правило области

Внешне связанная концепция - это правило площади Уиткомба , которое гласит, что волновое сопротивление из-за объема в трансзвуковом потоке зависит в первую очередь от распределения общей площади поперечного сечения, а для низкого волнового сопротивления это распределение должно быть плавным. Распространенное заблуждение состоит в том, что тело Сирса – Хаака имеет идеальное распределение площадей в соответствии с правилом площадей, но это неверно. Уравнение Прандтля – Глауэрта , которое является отправной точкой при выводе формы тела Сирса – Хаака, не действует в трансзвуковом потоке, где применяется правило площади .

Смотрите также

Внешние ссылки

[1] Palaniappan, Картик (2004). Тела с минимальным сопротивлением давлению в сверхзвуковом потоке - исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Проверено 16 сентября 2010 .

[2] NACA Report 1284, Теория Drag-Wing Body на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 года

Languages

In other projects