Форма - Shape

Детская игрушка для разучивания фигур.

Форма или фигура является формой объекта или его внешней границы, контура, или внешней поверхности , в отличии от других свойств , таких как цвет , текстура , или материала типа. Форму плоской , двумерной формы или 2D формы ( плоской фигуры , двумерная фигура или 2D фигура ) ограничена лежать на плоскости , в отличие от твердого тела фигуры с.

Классификация простых форм

Разнообразие многоугольных форм.

Некоторые простые формы можно разделить на широкие категории. Например, многоугольники классифицируются по количеству ребер как треугольники , четырехугольники , пятиугольники и т. Д. Каждый из них делится на более мелкие категории; треугольники могут быть равносторонними , равнобедренными , тупыми , острыми , разносторонними и т. д., а четырехугольники могут быть прямоугольниками , ромбами , трапециями , квадратами и т. д.

Другие распространенные формы - это точки , линии , плоскости и конические сечения, такие как эллипсы , круги и параболы .

К наиболее распространенным трехмерным формам относятся многогранники с плоскими гранями; эллипсоиды , которые представляют собой объекты в форме яйца или шара; цилиндры ; и шишки .

Если объект точно или даже приблизительно попадает в одну из этих категорий, мы можем использовать его для описания формы объекта. Таким образом, мы говорим, что крышка люка имеет форму диска , потому что это примерно тот же геометрический объект, что и реальный геометрический диск.

В геометрии

Геометрические формы в двух измерениях: параллелограмм , треугольник и круг

Геометрические формы в 3-х измерениях: пирамида , шар и куб

Геометрическая форма является геометрической информацией , которая остается , когда местоположение , масштаб , ориентация и отражения будут удалены из описания геометрического объекта . То есть результат перемещения фигуры, увеличения ее, поворота или отражения в зеркале имеет ту же форму, что и оригинал, а не отдельную форму.

Многие двумерные геометрические фигуры могут быть определены набором точек или вершин и линий, соединяющих точки в замкнутой цепочке, а также результирующих внутренних точек. Такие формы называются многоугольниками и включают треугольники , квадраты и пятиугольники . Другие формы могут быть ограничены кривыми, такими как круг или эллипс .

Многие трехмерные геометрические формы могут быть определены набором вершин, линиями, соединяющими вершины, и двумерными гранями, заключенными этими линиями, а также результирующими внутренними точками. Такие формы называются многогранниками и включают кубы, а также пирамиды, такие как тетраэдры . Другие трехмерные формы могут быть ограничены изогнутыми поверхностями, такими как эллипсоид и сфера .

Фигура называется выпуклой, если все точки на отрезке между любыми двумя ее точками также являются частью фигуры.

Характеристики

Фигуры, показанные одним цветом, имеют одинаковую форму и называются похожими.

Есть несколько способов сравнить формы двух объектов:

Конгруэнтность : два объекта являются конгруэнтными, если один может быть преобразован в другой посредством последовательности вращений, перемещений и / или отражений.
Сходство : два объекта похожи, если один может быть преобразован в другой с помощью равномерного масштабирования вместе с последовательностью поворотов, перемещений и / или отражений.
Изотопия : два объекта являются изотопными, если один может быть преобразован в другой с помощью последовательности деформаций, которые не разрывают объект и не оставляют в нем дыр.

Иногда два одинаковых или конгруэнтных объекта могут рассматриваться как имеющие разную форму, если требуется отражение для преобразования одного в другой. Например, буквы « b » и « d » являются отражением друг друга, и, следовательно, они совпадают и похожи, но в некоторых контекстах они не считаются имеющими одинаковую форму. Иногда для определения его формы учитывается только контур или внешняя граница объекта. Например, можно считать, что полая сфера имеет ту же форму, что и сплошная сфера. Анализ Прокруста используется во многих науках для определения того, имеют ли два объекта одинаковую форму, или для измерения разницы между двумя формами. В высшей математике квазиизометрия может использоваться в качестве критерия для утверждения, что две формы примерно одинаковы.

Простые формы часто можно разделить на основные геометрические объекты, такие как точка , линия , кривая , плоскость , плоская фигура (например, квадрат или круг ) или сплошная фигура (например, куб или сфера ). Однако большинство форм, встречающихся в физическом мире, сложны. Некоторые из них, например, структуры растений и береговые линии, могут быть настолько сложными, что не поддаются традиционному математическому описанию - в этом случае они могут быть проанализированы с помощью дифференциальной геометрии или как фракталы .

Эквивалентность форм

В геометрии два подмножества евклидова пространства имеют одинаковую форму, если одно может быть преобразовано в другое с помощью комбинации перемещений , вращений (вместе также называемых жесткими преобразованиями ) и равномерного масштабирования . Другими словами, форма набора точек - это вся геометрическая информация, инвариантная к сдвигам, поворотам и изменениям размера. Наличие одинаковой формы является отношением эквивалентности , и, соответственно, точное математическое определение понятия формы может быть дано как класс эквивалентности подмножеств евклидова пространства, имеющих одинаковую форму.

Математик и статистик Дэвид Джордж Кендалл пишет:

В этой статье «форма» используется в вульгарном смысле и означает то, что обычно можно ожидать от нее. [...] Мы здесь неформально определяем «форму» как «всю геометрическую информацию, которая остается, когда из объекта отфильтровываются эффекты местоположения, масштаба и вращения».

Формы физических объектов равны, если подмножества пространства, которое эти объекты занимают, удовлетворяют приведенному выше определению. В частности, форма не зависит от размера и размещения в пространстве объекта. Например, буквы « d » и « p » имеют одинаковую форму, так как они могут быть идеально наложены, если « d » сдвинуть вправо на заданное расстояние, повернуть вверх ногами и увеличить в заданном множителе (см. Procrustes наложение для деталей). Однако зеркальное отображение можно было бы назвать другой формой. Например, буквы « b » и « p » имеют разную форму, по крайней мере, когда они вынуждены перемещаться в двухмерном пространстве, таком как страница, на которой они написаны. Несмотря на то, что они имеют одинаковый размер, невозможно идеально наложить их, перемещая и вращая их вдоль страницы. Точно так же в трехмерном пространстве правая и левая рука имеют разную форму, даже если они являются зеркальным отображением друг друга. Формы могут измениться, если объект масштабируется неравномерно. Например, сфера становится эллипсоидом при различном масштабировании в вертикальном и горизонтальном направлениях. Другими словами, сохранение осей симметрии (если они есть) важно для сохранения формы. Кроме того, форма определяется только внешней границей объекта.

Соответствие и сходство

Объекты, которые можно преобразовать друг в друга с помощью жестких преобразований и зеркального отображения (но не масштабирования), являются конгруэнтными . Следовательно, объект соответствует своему зеркальному отображению (даже если он не симметричен), но не его масштабированной версии. Два конгруэнтных объекта всегда имеют одинаковую форму или форму зеркального отображения и одинаковый размер.

Объекты, имеющие одинаковую форму или формы зеркального отображения, называются геометрически подобными , независимо от того, имеют ли они одинаковый размер или нет. Таким образом, объекты, которые можно преобразовывать друг в друга с помощью жестких преобразований, зеркального отображения и равномерного масштабирования, похожи. Сходство сохраняется, когда один из объектов масштабируется равномерно, а конгруэнтность - нет. Таким образом, конгруэнтные объекты всегда геометрически подобны, но похожие объекты могут не совпадать, так как они могут иметь разный размер.

Гомеоморфизм

Более гибкое определение формы учитывает тот факт, что реалистичные формы часто деформируемы, например, человек в разных позах, дерево, сгибающееся на ветру, или рука с разными положениями пальцев.

Один из способов моделирования нежестких движений - гомеоморфизмы . Грубо говоря, гомеоморфизм - это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и бублик - нет. Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить свою кофейную чашку от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик можно было бы придать форму кофейной чашки, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в чашке. ручка.

Описанная форма имеет внешние линии, которые вы можете видеть и составлять форму. Если бы вы вводили координаты и координатный график, вы могли бы рисовать линии, чтобы показать, где вы можете видеть форму, однако не каждый раз, когда вы помещаете координаты на график как таковой, вы можете создать форму. У этой формы есть контур и граница, поэтому вы можете ее видеть, а не просто точки на обычной бумаге.

Анализ формы

Вышеупомянутые математические определения жесткой и нежесткой формы возникли в области статистического анализа формы . В частности, анализ Прокруста - это метод, используемый для сравнения форм похожих объектов (например, костей разных животных) или измерения деформации деформируемого объекта. Другие методы предназначены для работы с нежесткими (сгибаемыми) объектами, например, для восстановления формы независимо от положения тела (см., Например, Спектральный анализ формы ).

Классы подобия

Все похожие треугольники имеют одинаковую форму. Эти формы могут быть классифицированы с использованием комплексных чисел u, v, w для вершин в методе, предложенном Дж. А. Лестером и Рафаэлем Арци . Например, равносторонний треугольник можно выразить комплексными числами 0, 1, (1 + i √3) / 2, представляющими его вершины. Лестер и Арци называют соотношение

{\ displaystyle S (u, v, w) = {\ frac {uw} {uv}}}

форму треугольника ( U, V, W ). Тогда форма равностороннего треугольника будет

(0– (1+ √3) / 2) / (0–1) = (1 + i √3) / 2 = cos (60 °) + i sin (60 °) = exp (i π / 3).

Для любого аффинного преобразования в комплексной плоскости , треугольник трансформируется , но не меняет свою форму. Следовательно , форма является инвариантной из аффинной геометрии . Форма p = S ( u, v, w ) зависит от порядка аргументов функции S, но перестановки приводят к связанным значениям. Например, ${\ displaystyle z \ mapsto az + b, \ quad a \ neq 0,}$

{\ Displaystyle 1-p = 1- (uw) / (uv) = (wv) / (uv) = (vw) / (vu) = S (v, u, w).}

Также

{\ displaystyle p ^ {- 1} = S (u, w, v).}

Объединение этих перестановок дает, кроме того, ${\ Displaystyle S (v, w, u) = (1-p) ^ {- 1}.}$

{\ Displaystyle p (1-p) ^ {- 1} = S (u, v, w) S (v, w, u) = (uw) / (vw) = S (w, v, u).}

Эти отношения являются «правилами преобразования» формы треугольника.

Форме четырехугольника соответствуют два комплексных числа p, q . Если четырехугольник имеет вершины u, v, w, x , то p = S ( u, v, w ) и q = S ( v, w, x ). Арци доказывает следующие утверждения о четырехугольниках:

Если тогда четырехугольник - параллелограмм . ${\ displaystyle p = (1-q) ^ {- 1},}$
Если у параллелограмма | arg p | = | arg q |, то это ромб .
Когда p = 1 + i и q = (1 + i) / 2, то четырехугольник квадратный .
Если и sign r = sign (Im p ), то четырехугольник является трапецией . ${\ Displaystyle р = г (1-q ^ {- 1})}$

Многоугольник имеет форму , определенную п - 2 комплексных числа многоугольника ограничивает выпуклое множество , когда все эти компоненты формы имеют мнимые компоненты одного и тот же знак. ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, ... z_ {n})}$ ${\ Displaystyle S (z_ {j}, z_ {j + 1}, z_ {j + 2}), \ j = 1, ..., n-2.}$

Человеческое восприятие форм

Психологи предположили, что люди мысленно разбивают изображения на простые геометрические фигуры, называемые геонами . Примеры геонов включают конусы и сферы. Также был исследован широкий спектр других представлений формы. Характеристики формы, кажется, сводятся к трем основным параметрам: сегментируемость , компактность и остроконечность .

Есть также явные доказательства того, что формы направляют внимание человека .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Словарное определение формы в Викисловаре

Languages

In other projects