Шинг-Тунг Яу - Shing-Tung Yau

Шинг-Тунг Яу
Шинг-Тунг Яу в Гарварде.jpg
Родился ( 1949-04-04 )4 апреля 1949 г. (72 года)
Национальность США (с 1990 г.)
Альма-матер Китайский университет Гонконга (бакалавриат, 1969 г.)
Калифорнийский университет, Беркли (доктор философии, 1971 г.)
Известен Гипотеза
Калаби Многообразие Калаби – Яу
Теорема о положительной энергии
Гипотеза SYZ Гипотеза
Яу Гипотеза
Яу о первом собственном
значении Неравенство Богомолова – Мияока
– Яу Теорема Дональдсона – Уленбека – Яу
Гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона Гипотеза
Шоена – Яу
Супруг (а) Ю-Юнь Куо
Дети 2
Награды Премия Джона Дж. Карти (1981)
Премия Веблена (1981)
Медаль Филдса (1982)
Премия Крафорда (1994)
Национальная медаль науки (1997)
Премия Вольфа (2010)
Научная карьера
Поля Математика
Учреждения Гарвардский университет
Стэнфордский университет Институт перспективных исследований Университета
Стоуни-Брук Калифорнийский университет, Сан-Диего

Докторант Шиинг-Шен Черн
Докторанты Ричард Шон (Стэнфорд, 1977)
Роберт Бартник (Принстон, 1983)
Марк Стерн (Принстон, 1984)
Хуай-Донг Цао (Принстон, 1986)
Ганг Тиан (Гарвард, 1988)
Джун Ли (Стэнфорд, 1989)
Личжэнь Цзи (Северо-Восток, 1991) )
Кефенг Лю (Гарвард, 1993)
Му-Тао Ван (Гарвард, 1998)
Чиу-Чу Мелисса Лю (Гарвард, 2002)

Шинг-Тунг Яу ( / j / ; китайский :丘成桐; пиньинь : Qiū Chéngtóng ; родился 4 апреля 1949 г.) - американский математик и профессор математики Гарвардского университета Уильям Каспар Граустейн .

Яу родился в Шаньтоу , Китай, в молодом возрасте переехал в Гонконг, а в 1969 году - в Соединенные Штаты. В 1982 году он был награжден медалью Филдса в знак признания его вклада в уравнения в частных производных , гипотезу Калаби и положительные результаты. энергетическая теорема и уравнение Монжа – Ампера . Яу считается одним из основных участников развития современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Влияние работы Яу можно увидеть в математических и физических областях дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных , выпуклой геометрии , алгебраической геометрии , перечислительной геометрии , зеркальной симметрии , общей теории относительности и теории струн , в то время как его работа также затрагивает прикладную математику. , инженерный и численный анализ .

биография

Яу родился в Шаньтоу , Гуандун , Китай, в семье хакка из округа Цзяолин . У него семь братьев и сестер, в том числе Стивен Шинг-Тунг Яу , также математик. Когда ему было всего несколько месяцев, его семья переехала в Гонконг .

Отец Яу, Яу Ченин, был патриотическим профессором китайской философии, который работал против вторжения японцев. Под влиянием своего отца Яу приобрел обширные познания в классической китайской литературе и истории, в результате чего было написано эссе по математике и китайской литературе (數學 和 中國 文學 的 比較) со ссылкой на « Сон в Красной палате» и Ван Гоуэй , объясняющее структурная взаимосвязь между математикой и китайской литературой, опубликованная в 2006 году. Его мать была из округа Мэй .

После окончания средней школы Пуи Чинг с 1966 по 1969 год он изучал математику в Китайском университете Гонконга. Осенью 1969 года Яу уехал в Калифорнийский университет в Беркли , где получил степень доктора философии. в математике два года спустя под руководством Шиинг-Шен Черн . Он проработал год в Институте перспективных исследований в Принстоне, а затем в 1972 году присоединился к Университету Стоуни-Брук в качестве доцента. В 1974 году он стал адъюнкт-профессором Стэнфордского университета .

В 1978 году Яу стал «апатридом» после того, как британское консульство отменило его вид на жительство в Гонконге из-за его статуса постоянного резидента США . Что касается своего статуса при получении медали Филдса в 1982 году, Яу заявил: «Я с гордостью могу сказать, что когда я был награжден медалью Филдса по математике, у меня не было паспорта какой-либо страны, и я, безусловно, должен считаться китайцем». Яу оставался «апатридом» до 1990 года, когда он получил гражданство США.

С 1984 по 1987 год работал в Калифорнийском университете в Сан-Диего . С 1987 года он работает в Гарвардском университете .

Технический вклад в математику

Яу внес свой вклад в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Как сказал Уильям Терстон в 1981 году:

У нас редко была возможность стать свидетелями зрелища работы одного математика, повлиявшего за короткий промежуток времени на направление целых областей исследований. В области геометрии один из самых замечательных примеров такого явления за последнее десятилетие - это вклад Шинг-Тунг Яу.

Гипотеза Калаби

В 1978 году, изучая комплексное уравнение Монжа – Ампера , Яу разрешил гипотезу Калаби , выдвинутую Эудженио Калаби в 1954 году. Это показало, что метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на любом замкнутом кэлеровом многообразии , первый класс Черна которого неположителен. Метод Яу основывался на нахождении соответствующих адаптаций более ранних работ Калаби, Юргена Мозера и Алексея Погорелова , разработанных для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных и действительного уравнения Монжа – Ампера , к постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера.

В дифференциальной геометрии теорема Яу играет важную роль в доказательстве общего существования замкнутых многообразий специальной голономии ; любое односвязное замкнутое кэлерово многообразие, являющееся плоским Риччи, должно иметь свою группу голономии, содержащуюся в специальной унитарной группе , согласно теореме Амброуза-Зингера . Примеры компактных римановых многообразий с другими специальными группами голономии были найдены Домиником Джойсом и Питером Кронхеймером , хотя никаких предложений об общих результатах существования, аналогичных гипотезе Калаби, не было успешно идентифицировано в случае других групп.

В алгебраической геометрии существование канонических метрик, предложенных Калаби, позволяет давать одинаково канонические представители характеристических классов с помощью дифференциальных форм . Благодаря первоначальным усилиям Яу по опровержению гипотезы Калаби, показав, что она приведет к противоречиям в таких контекстах, он смог сделать поразительные следствия своей основной теоремы. В частности, из гипотезы Калаби следует неравенство Мияока – Яу о числах Черна поверхностей, а также гомотопические характеристики комплексных структур комплексной проективной плоскости и частных двумерного комплексного единичного шара .

В теории струн в 1985 году Филипом Канделасом , Гэри Горовицем , Эндрю Строминджером и Эдвардом Виттеном было обнаружено, что многообразия Калаби-Яу из-за их особой голономии являются подходящими конфигурационными пространствами для суперструн. По этой причине теорема Яу о существовании многообразий Калаби-Яу считается фундаментальной в современной теории струн.

Скалярная кривизна и теорема о положительной энергии

Теорема положительной энергии, полученная Яу в сотрудничестве с его бывшим докторантом Ричардом Шоном , часто описывается в физических терминах:

В общей теории относительности Эйнштейна гравитационная энергия изолированной физической системы неотрицательна.

Однако это точная теорема дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Подход Шона и Яу основан на их исследовании римановых многообразий положительной скалярной кривизны, что само по себе представляет интерес.

Шен и Яу определили простой, но новый способ включения уравнений Гаусса-Кодацци во вторую формулу вариации для площади устойчивой минимальной гиперповерхности трехмерного риманова многообразия, которая по теореме Гаусса-Бонне сильно ограничивает возможную топологию такая поверхность, когда трехмерное многообразие имеет положительную скалярную кривизну.

Шен и Яу использовали это наблюдение, найдя новые конструкции стабильных минимальных гиперповерхностей с различными контролируемыми свойствами. Некоторые из результатов их существования были разработаны одновременно с известными результатами Джонатана Сакса и Карен Уленбек . Их самый известный результат заключается в установке некоторых асимптотически плоских наборов начальных данных в общей теории относительности , где они показали, что отрицательность массы позволяет использовать проблему Плато для построения устойчивых минимальных поверхностей, топология которых противоречит расширению свое первоначальное наблюдение по теореме Гаусса-Бонне. Это противоречие доказало риманову формулировку теоремы о положительной массе в общей теории относительности.

Шен и Яу распространили это на стандартную лоренцеву формулировку теоремы о положительной массе, изучив уравнение в частных производных, предложенное Понг-Су Янгом. Они доказали, что решения уравнения Джанга существуют вдали от видимых горизонтов черных дыр, на которых решения могут расходиться до бесконечности. Связывая геометрию лоренцевского набора начальных данных с геометрией графика решения уравнения Янга, интерпретируемого как набор римановых начальных данных, Шен и Яу свели общую лоренцеву формулировку теоремы о положительной массе к их ранее доказанным Риманова формулировка.

Из-за использования теоремы Гаусса-Бонне эти результаты были первоначально ограничены случаем трехмерных римановых многообразий и четырехмерных лоренцевых многообразий. Шен и Яу установили индукцию по размерности, построив римановы метрики положительной скалярной кривизны на минимальных гиперповерхностях римановых многообразий, имеющих положительную скалярную кривизну. Такие минимальные гиперповерхности, которые были построены с помощью геометрической теории меры по Фредерик Альмгреном и Герберт Федерер , как правило , не сглаживать в больших размерах, так что эти методы только непосредственно применять для римановых многообразий размерности меньше восьми. В 2017 году Шен и Яу опубликовали препринт, в котором утверждают, что разрешают эти трудности, тем самым доказывая индукцию без ограничения размерности и проверяя риманову теорему о положительной массе в произвольной размерности.

Принцип максимума Омори-Яу

В 1975 году Яу частично расширил результат Хидеки Омори, который позволяет применять принцип максимума к некомпактным пространствам, где существование максимумов не гарантируется.

Пусть ( М , г ) быть полным и гладким риманова многообразие, кривизна Риччи ограничена снизу, и пусть U быть С 2 функция на M , которая ограничена сверху. Тогда существует последовательность p k в M такая, что

Формулировка Омори требовала более ограничительного предположения, что секционные кривизны g ограничены снизу константой, хотя допускала более сильный вывод, в котором лапласиан u может быть заменен его гессианом.

Прямое применение принципа Омори-Яу, опубликованное в 1978 году, дает Яу обобщение классической леммы Шварца о комплексном анализе.

Ченг и Яу показали, что предположение о кривизне Риччи в принципе максимума Омори-Яу может быть заменено предположением о существовании гладких срезающих функций определенной управляемой геометрии. Используя это как основной инструмент для расширения некоторых работ Яу по доказательству гипотезы Калаби, они смогли построить комплексно-геометрические аналоги модели шара Пуанкаре гиперболического пространства . В частности, они показали, что полные метрики Кэлера-Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны существуют на любом ограниченном, гладком и строго псевдовыпуклом подмножестве конечномерного комплексного векторного пространства.

Дифференциальные неравенства Гарнака.

В статье Яу о принципе максимума Омори-Яу его основным приложением было установление оценок градиента для ряда эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка . Для полного и гладкого риманова многообразия ( M , g ) и функции f на M, удовлетворяющей условию, связывающему Δ f с f и df , Яу применил принцип максимума к таким выражениям, как

чтобы показать, что u должно быть ограничено снизу положительной константой. Такой вывод составляет верхнюю границу размера градиента log ( f + c 1 ) .

Эти новые оценки стали называть «дифференциальными неравенствами Гарнака», поскольку их можно проинтегрировать по произвольным путям в M для восстановления неравенств, которые имеют форму классических неравенств Гарнака , напрямую сравнивая значения решения дифференциального уравнения при двух разные точки ввода.

Используя исследование Калаби функции расстояния на римановом многообразии, Яу и Шиу-Юэн Ченг дали мощную локализацию оценок градиента Яу, используя те же методы, чтобы упростить доказательство принципа максимума Омори-Яу. Такие оценки широко цитируются в частном случае гармонических функций на римановом многообразии, хотя оригинальные результаты Яу и Ченг-Яу охватывают более общие сценарии.

В 1986 году Яу и Питер Ли использовали те же методы для изучения параболических уравнений в частных производных на римановых многообразиях. Ричард Гамильтон обобщил их результаты в определенных геометрических условиях на матричные неравенства. Аналоги неравенств Ли-Яу и Гамильтона-Ли-Яу имеют большое значение в теории потоков Риччи , где Гамильтон доказал матричное дифференциальное неравенство Гарнака для оператора кривизны некоторых потоков Риччи, а Григорий Перельман - дифференциальное неравенство Гарнака для решения обратного уравнения теплопроводности в сочетании с потоком Риччи.

Интересно, что Ченг и Яу смогли использовать свои дифференциальные оценки Гарнака, чтобы показать, что при определенных геометрических условиях замкнутые подмногообразия полных римановых или псевдоримановых пространств сами полны. Например, они показали, что если M - пространственноподобная гиперповерхность пространства Минковского, которая топологически замкнута и имеет постоянную среднюю кривизну, то индуцированная риманова метрика на M является полной. Аналогичным образом они показали, что если M - аффинная гиперсфера аффинного пространства, топологически замкнутая, то индуцированная аффинная метрика на M является полной. Такие результаты достигаются путем вывода дифференциального неравенства Гарнака для функции (возведенного в квадрат) расстояния до данной точки и интегрирования по внутренне определенным путям.

Теорема Дональдсона-Уленбека-Яу

В 1985 году Саймон Дональдсон показал, что если M - неособое проективное многообразие комплексной размерности два, то голоморфное векторное расслоение над M допускает эрмитову связность Янга-Миллса тогда и только тогда, когда расслоение устойчиво. Результат Яу и Карен Уленбек обобщил результат Дональдсона, чтобы позволить M быть компактным кэлеровым многообразием любой размерности. Метод Уленбека-Яу основывался на эллиптических уравнениях в частных производных, в то время как в методе Дональдсона использовались параболические уравнения в частных производных, примерно параллельно с эпохальной работой Иллса и Сэмпсона по гармоническим картам .

С тех пор результаты Дональдсона и Уленбека-Яу были расширены другими авторами. Статья Уленбека и Яу важна тем, что дает ясное объяснение того, что устойчивость голоморфного векторного расслоения может быть связана с аналитическими методами, используемыми при построении эрмитовой связности Янга-Миллса. Существенный механизм состоит в том, что если аппроксимирующая последовательность эрмитовых связей не может сходиться к требуемой связности Янга-Миллса, то их можно масштабировать, чтобы сходиться к подпучку, который можно проверить как дестабилизирующий с помощью теории Черна-Вейля .

Теорема Дональдсона-Уленбека-Яу, связывающая существование решений геометрического уравнения в частных производных с алгебро-геометрической устойчивостью, может рассматриваться как предшественник более поздней гипотезы Яу-Тиан-Дональдсона, обсуждаемой ниже.

Геометрические вариационные задачи

В 1982 году Ли и Яу доказали следующее утверждение:

Пусть f  : MS 3 - гладкое погружение, не являющееся вложением. Если S 3 задана его стандартная риманова метрика и M - замкнутая гладкая двумерная поверхность, то

где Н является средней кривизной по е и дЙ является индуцированным риманова формой объема на М .

Это дополняется результатом 2012 года Фернандо Маркеса и Андре Невеса , в котором говорится, что в альтернативном случае, когда f является гладким вложением S 1 × S 1 , то заключение верно с заменой 8π на 2π 2 . Вместе эти результаты составляют гипотезу Уиллмора , первоначально сформулированную Томасом Уиллмором в 1965 году.

Хотя их предположения и выводы схожи, методы Ли-Яу и Маркеса-Невеса различны. Marques и Невиш сделали новое применение Almgren-Pitts мин-макс теории в геометрической теории меры . Ли и Яу ввели новый «конформный инвариант»: для риманова многообразия ( M , g ) и натурального числа n они определяют

Основная работа их статьи состоит в том, чтобы связать их конформный инвариант с другими геометрическими величинами. Интересно, что, несмотря на логическую независимость доказательств Ли-Яу и Маркеса-Невеса, они оба основываются на концептуально схожих минимаксных схемах.

Микс и Яу получили некоторые фундаментальные результаты о минимальных поверхностях в трехмерных многообразиях, пересмотрев точки, оставшиеся открытыми в более ранних работах Джесси Дугласа и Чарльза Морри . Следуя этим основам, Микс, Саймон и Яу дали ряд фундаментальных результатов о поверхностях в трехмерных римановых многообразиях, которые минимизируют площадь в их классе гомологии. Они смогли подать ряд ярких заявлений. Например:

Если M -ориентируемого 3-многообразие, что каждый гладкий встроенное 2-сфера является границей области диффеоморфна открытым шар в 3 , то же самое можно сказать и о любой покрывающей пространстве M .

Интересно, что статья Микс-Саймон-Яу и основополагающая статья Гамильтона о потоке Риччи , опубликованные в том же году, имеют общий результат: любое односвязное компактное трехмерное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи диффеоморфно 3-сфере.

Геометрические теоремы жесткости

Ниже приводится хорошо известный результат, известный как проблема Бернштейна :

Пусть u - вещественная функция на n . Предположим , что график функции и имеет среднюю кривизну в нуль как гиперповерхность п +1 . Если n меньше девяти, то это означает, что u имеет вид u ( x ) = ax + b , в то время как это утверждение не выполняется, если n больше или равно девяти.

Ключевым моментом доказательства является отсутствие конических и неплоских устойчивых гиперповерхностей евклидовых пространств малой размерности; это было дано простое доказательство Шеном, Леоном Саймоном и Яу. Учитывая «пороговую» размерность, равную девяти в приведенном выше результате, это несколько удивительный факт, благодаря Ченгу и Яу, что в лоренцевой версии нет размерных ограничений:

Пусть u - вещественная функция на n . Предположим, что график u является пространственноподобной гиперповерхностью пространства Минковского n , 1, имеющей нулевую среднюю кривизну. Тогда u имеет вид u ( x ) = ax + b .

В их доказательстве используется техника принципа максимума, которую они ранее использовали для доказательства дифференциальных оценок Харнака. В статье, опубликованной в 1986 году, они использовали аналогичные методы, чтобы дать новое доказательство классификации полных параболических или эллиптических аффинных гиперсфер.

Адаптировав метод Юргена Мозера для доказательства неравенств Каччопполи, Яу доказал новые результаты о жесткости для функций на полных римановых многообразиях, например, показав, что если u - гладкая и положительная функция на полном римановом многообразии, то u ≥ 0 вместе с L p интегрируемость u означает, что u должно быть постоянным. Аналогично, на полном кэлеровом многообразии каждая голоморфная комплекснозначная функция, L p -интегрируемая, должна быть постоянной.

Путем расширения дифференциального тождества Германа Вейля, использованного при решении проблемы изометрического вложения Вейля, Ченг и Яу получили новые теоремы о жесткости, характеризующие гиперповерхности пространственных форм их внутренней геометрией.

Статья Яу 1974 года, согласно обзору Роберта Оссермана , содержит «поразительное разнообразие» результатов о подмногообразиях пространственных форм, которые имеют параллельный вектор средней кривизны или вектор постоянной длины. Основные результаты относятся к уменьшению коразмерности.

Действительное уравнение Монжа – Ампера

В 1953 году Луи Ниренберг дал решение двумерной задачи Минковского классической дифференциальной геометрии. В 1976 и 1977 годах Ченг и Яу дали решения многомерной задачи Минковского и краевой задачи для уравнения Монжа – Ампера . В их решении уравнения Монжа – Ампера использовалась проблема Минковского с помощью преобразования Лежандра , причем было замечено, что преобразование Лежандра решения уравнения Монжа – Ампера имеет гауссову кривизну графика, заданную простой формулой, зависящей от " правая часть »уравнения Монжа – Ампера. Этот подход больше не часто встречается в литературе по уравнению Монжа – Ампера, которая, как правило, полагается на более прямые, чисто аналитические методы. Тем не менее статьи Ченга и Яу были первыми опубликованными результатами, которые полностью разрешили эти результаты; в схематической форме они следовали более ранним работам Алексея Погорелова , хотя в его опубликованных работах не были затронуты некоторые важные технические детали.

Зеркальная симметрия

«Многообразие Калаби-Яу» относится к компактному кэлерову многообразию, которое является Риччи-плоским; согласно проверке Яу гипотезы Калаби такие многообразия известны. Зеркальная симметрия, предложенная физиками с конца 80-х, постулирует, что многообразия Калаби-Яу комплексной размерности 3 можно сгруппировать в пары, имеющие общие характеристики, такие как числа Эйлера и Ходжа. Основываясь на этой гипотетической картине, физики Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс предложили формулу перечислительной геометрии, которая для любого положительного целого числа d кодирует количество рациональных кривых степени d на общей гиперповерхности пятой степени. четырехмерного комплексного проективного пространства. Бонг Лянь, Кефенг Лю и Яу дали строгое доказательство того, что эта формула верна. Александр Гивенталь ранее дал доказательство зеркальных формул; согласно Ляню, Лю и Яу, детали его доказательства были успешно дополнены только после их собственной публикации.

Подходы Гивенталя и Лян-Лю-Яу формально не зависят от гипотетической картины того, можно ли на самом деле группировать трехмерные многообразия Калаби-Яу, как утверждают физики. Вместе с Эндрю Строминджером и Эриком Заслоу Яу предложил геометрическую картину того, как эту группировку можно систематически понимать. Основная идея состоит в том, что многообразие Калаби-Яу комплексной размерности три должно быть расслоено на «специальные лагранжевы» торы, которые представляют собой определенные типы трехмерных минимальных подмногообразий шестимерного риманова многообразия, лежащего в основе структуры Калаби-Яу. Для одного трехмерного многообразия Калаби-Яу строят его «зеркало», глядя на его слоение на тор, дуализируя каждый тор и восстанавливая трехмерное многообразие Калаби-Яу, которое теперь будет иметь новую структуру.

Предложение Строминджера-Яу-Заслоу (SYZ), хотя и не очень точно сформулировано, в настоящее время считается излишне оптимистичным. Надо допускать различные вырождения и особенности; даже в этом случае до сих пор нет единой точной формы гипотезы SYZ. Тем не менее, его концептуальная картина оказала огромное влияние на изучение зеркальной симметрии, и в настоящее время активно ведутся исследования ее различных аспектов. Это можно противопоставить альтернативному (и не менее влиятельному) предложению Максима Концевича, известному как гомологическая зеркальная симметрия , которое имеет дело с чисто алгебраическими структурами.

Спектральная геометрия

Для гладкого компактного риманова многообразия с краем или без него спектральная геометрия изучает собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами , который в случае, когда многообразие имеет границу, связан с выбором граничных условий, обычно условий Дирихле или Неймана. Пол Янг и Яу показали, что в случае двумерного многообразия без края первое собственное значение ограничено сверху явной формулой, зависящей только от рода и объема многообразия.

Герман Вейль в 1910-х годах показал, что в случае граничных условий Дирихле на гладком и ограниченном открытом подмножестве плоскости собственные значения имеют асимптотическое поведение, которое полностью определяется площадью, содержащейся в области. В 1960 году Джордж Полиа предположил, что поведение Вейля дает контроль над каждым отдельным собственным значением, а не только над их асимптотическим распределением. Ли и Яу в 1983 году доказали ослабленную версию, контролирующую среднее значение первых k собственных значений для произвольного k . На сегодняшний день не усредненная гипотеза Пойи остается открытой.

В статье Ли и Яу 1980 года был дан ряд неравенств для собственных значений (для обоих стандартных типов граничных условий в дополнение к безграничному случаю), все они основаны на принципе максимума и поточечных дифференциальных оценках Гарнака, впервые примененных пятью годами ранее Яу и Ченгом. -Яу.

Формулировка домыслов

Яу собрал влиятельные наборы открытых проблем в дифференциальной геометрии , включая как хорошо известные старые гипотезы, так и новые предложения и проблемы. Два наиболее цитируемых списка проблем Яу 1980-х годов были дополнены заметками о последних достижениях по состоянию на 2014 год.

Доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи

В 1982 году Уильям Терстон опубликовал свою знаменитую гипотезу геометризации , утверждая, что в произвольном замкнутом 3-многообразии можно найти вложенные двумерные сферы и торы, которые разделяют 3-многообразие на части, допускающие однородные «геометрические» структуры. В том же году Ричард Гамильтон опубликовал свою эпохальную работу о потоке Риччи , используя теорему сходимости для параболического уравнения в частных производных, чтобы доказать, что некоторые неоднородные геометрические структуры на 3-многообразиях могут быть деформированы в однородные геометрические структуры.

Хотя это часто приписывают Гамильтону, он заметил, что Яу ответственен за понимание того, что точное понимание несходимости дифференциального уравнения Гамильтона может быть достаточным для доказательства существования соответствующих сфер и торов в гипотезе Терстона. Это понимание стимулировало дальнейшие исследования Гамильтона в 1990-х годах по сингулярностям потока Риччи и завершилось подготовительными работами Григория Перельмана по этой проблеме в 2002 и 2003 годах. В настоящее время широко признано, что гипотеза геометризации была решена благодаря работам Гамильтона и Перельмана. .

Существование минимальных гиперповерхностей

В 1981 году теория мин-макс Альмгрена – Питтса в геометрической теории меры была использована для доказательства существования по крайней мере одной минимальной гиперповерхности любого замкнутого гладкого трехмерного риманова многообразия. Яу в 1982 году предположил, что всегда должно существовать бесконечно много таких погруженных гиперповерхностей. Кей Ири, Фернандо Кода Маркес и Андре Невес решили эту проблему для многообразий размерностей от трех до семи в общем случае. Позднее Антуан Сонг выпустил препринт (еще не опубликованный), в котором утверждалось, что гипотеза Яу верна без предположения об универсальности в том же диапазоне измерений.

Метрики Кэлера – Эйнштейна и устойчивость комплексных многообразий.

Решение Яу гипотезы Калаби дало по существу полный ответ на вопрос о том, как кэлеровы метрики на комплексных многообразиях неположительного первого класса Черна деформируются в метрики Кэлера-Эйнштейна. Акито Футаки показал, что существование голоморфных векторных полей может служить препятствием для распространения этих результатов на случай, когда комплексное многообразие имеет положительный первый класс Черна. Предложение Калаби, появившееся в «Проблемном разделе» Яу, заключалось в том, что метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на любых компактных кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, которые не допускают голоморфных векторных полей. В течение 1980-х Яу пришел к выводу, что этого критерия недостаточно, и что существование метрик Кэлера-Эйнштейна в этой ситуации должно быть связано со стабильностью комплексного многообразия в смысле геометрической теории инвариантов . Понимание Яу этого вопроса было обновлено в публикации 1990-х годов «Открытые задачи геометрии». Последующие исследования Ганг Тиана и Саймона Дональдсона уточнили эту гипотезу, которая стала известна как «гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона». Проблема была решена в 2015 году благодаря Сюксюн Чену , Дональдсону и Сон Сану , которые были удостоены премии Освальда Веблена за свою работу.

Узловые множества собственных функций

В 1980 году Яу предположил, что на гладком замкнутом римановом многообразии размер нулевого набора собственных функций лапласиана будет расти со скоростью цены в соответствии с размером собственного значения. После ряда частичных результатов гипотеза была решена в 2018 году Александром Логуновым и Евгенией Малинниковой , которые были награждены премией Clay Research отчасти за свою работу.

Другой

Другим важным вкладом Яу является разрешение гипотезы Франкеля с помощью Юм-Тонг Сиу (более общее решение, полученное благодаря Шигефуми Мори и расширение благодаря Нгаимингу Моку ), работа с Уильямом Миксом над вложенностью и эквивалентностью решений проблемы Плато. (которая стала ключевой частью решения гипотезы Смита в геометрической топологии ), частичное расширение гипотезы Калаби на некомпактные параметры с Ганг Тианом и исследование существования больших сфер постоянной средней кривизны в асимптотически плоских римановых многообразиях с Герхард Хёйскен .

Некоторые из недавних заметных вкладов Яу включают работу с Цзи-Сян Фу и Цзюнь Ли над системой Строминджера , работу с Юн Линем по кривизне графов Риччи, работу с Кефенг Лю и Сяофэн Сунь над геометрией пространства модулей римановых поверхностей. , работать с Дарио Мартелли и Джеймсом Спарксом над метриками Сасаки – Эйнштейна и работать с Му-Тао Вангом над сохраняющимися величинами в общей теории относительности .

Инициативы в материковом Китае и на Тайване

После того, как Китай вступил в эру реформ и открытости , Яу повторно посетил Китай в 1979 году по приглашению Хуа Луогэна .

Чтобы помочь развитию китайской математики, Яу начал обучать студентов из Китая. Затем он начал создавать математические исследовательские институты и центры, организовывать конференции на всех уровнях, инициировать программы широкого охвата и собирать частные средства для этих целей. Джон Коутс прокомментировал успех Яу в сборе средств. Первой из инициатив Яу является Институт математических наук Китайского университета Гонконга в 1993 году. Цель состоит в том, чтобы «организовать деятельность, связанную с широким спектром областей, включая как чистую, так и прикладную математику, научные вычисления , обработку изображений , математическую физику. и статистика . Акцент делается на взаимодействии и связях с физическими науками , инженерией , промышленностью и торговлей ".

Вторая крупная инициатива Яу - это Центр математики Морнингсайд в Пекине, основанный в 1996 году. Часть денег на строительство и регулярную работу Яу собрала из фонда Морнингсайд в Гонконге. Яу также предложил организовать Международный конгресс китайских математиков, который теперь проводится каждые три года. Первый конгресс прошел в Морнингсайд Центре с 12 по 18 декабря 1998 года.

Его третья инициатива - Центр математических наук при Чжэцзянском университете , основанный в 2002 году. Яу является директором всех трех математических институтов и регулярно их посещает.

Яу поехал на Тайвань для участия в конференции в 1985 году. В 1990 году Лю Чао-шиуань , тогдашний президент Национального университета Цинхуа , пригласил его посетить университет на год. Несколько лет спустя он убедил Лю, тогдашнего председателя Национального научного совета , создать Национальный центр теоретических наук (NCTS), который был основан в Синьчжу в 1998 году. До 2005 года он был председателем Консультативного совета NCTS. .

Профессиональная деятельность и информационно-пропагандистская деятельность

В Гонконге при поддержке Ронни Чана Яу учредил премию Hang Lung для старшеклассников. Он также организовывал и принимал участие во встречах для старшеклассников и студентов колледжей, таких как групповые дискуссии Почему математика? Спросите Мастеров! в Ханчжоу , июль 2004 г., и «Чудо математики» в Гонконге, декабрь 2004 г. Яу также стал соучредителем серии книг по популярной математике «Математика и математические люди».

Яу организует ежегодную конференцию «Журнал дифференциальной геометрии», а также ежегодную конференцию «Современные достижения математики». Он является директором-основателем Центра математических наук и приложений Гарвардского университета , многопрофильного исследовательского центра. Он является главным редактором журнала «Дифференциальная геометрия» , « Азиатский журнал математики» и « Достижения теоретической и математической физики» .

Он рекомендовал более семидесяти кандидатов наук. студенты.

Противоречие гипотезы Пуанкаре

В августе 2006 года в статье New Yorker « Manifold Destiny» утверждалось, что Яу преуменьшает значение работы Григория Перельмана по гипотезе Пуанкаре . Яу заявил, что эта статья является клеветнической , и пригрозил подать в суд. Житель Нью-Йорка поддержал эту историю, и иск не был подан. В сентябре 2006 года Яу создал веб-сайт по связям с общественностью, на котором обсуждались вопросы. Семнадцать математиков, включая двоих, процитированных в статье New Yorker , отправили письма с решительной поддержкой.

17 октября 2006 года в The New York Times появился более отзывчивый профиль Яу . Дело Перельмана было посвящено примерно половину своего текста. В статье говорилось, что Яу оттолкнул некоторых коллег, но представляла позицию Яу, так как доказательство Перельмана не было общепринятым, и он «был обязан докопаться до истинности доказательства».

Почести и награды

Яу получил звание почетного профессора многих китайских университетов, включая Хунаньский педагогический университет , Пекинский университет , Нанкайский университет и университет Цинхуа . Он имеет почетные степени многих международных университетов, в том числе Гарвардского университета , Китайского университета Гонконга и Университета Ватерлоо . Он является иностранным членом Национальных академий наук Китая, Индии и России.

Среди его наград:

Основные публикации

Научные статьи Яу - автор более пятисот статей. Следующий список из двадцати девяти является наиболее часто цитируемым, как указано выше:

Y74. Яу, Шинг Тунг. Подмногообразия постоянной средней кривизны. I, II. Амер. J. Math. 96 (1974), 346–366; там же. 97 (1975), 76–100.
Y75. Яу, Шинг Тунг. Гармонические функции на полных римановых многообразиях. Comm. Pure Appl. Математика. 28 (1975), 201–228.
CY75. Cheng, SY; Яу С.Т. Дифференциальные уравнения на римановых многообразиях и их геометрические приложения. Comm. Pure Appl. Математика. 28 (1975), нет. 3, 333–354.
SSY75. Schoen, R .; Саймон, L .; Яу, С.Т. Оценки кривизны минимальных гиперповерхностей. Acta Math. 134 (1975), нет. 3-4, 275–288.
CY76a. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. Максимальные пространственноподобные гиперповерхности в пространствах Лоренца – Минковского. Аня. математики. (2) 104 (1976), нет. 3, 407–419.
CY76b. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О регулярности решения n-мерной проблемы Минковского. Comm. Pure Appl. Математика. 29 (1976), нет. 5, 495–516.
SY76. Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг. Гармонические отображения и топология устойчивых гиперповерхностей и многообразий неотрицательной кривизны Риччи. Комментарий. Математика. Helv. 51 (1976), нет. 3, 333–341.
Y76. Яу, Шинг Тунг. Некоторые теоретико-функциональные свойства полного риманова многообразия и их приложения к геометрии. Индиана Univ. Математика. J. 25 (1976), нет. 7, 659–670.
Яу, Шинг Тунг. Опечатка: «Некоторые теоретико-функциональные свойства полного риманова многообразия и их приложения к геометрии». Индиана Univ. Математика. J. 31 (1982), нет. 4, 607.
CY77a. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О регулярности уравнения Монжа-Ампера det (∂ 2 u / ∂x i ∂x j ) = F (x, u) . Comm. Pure Appl. Математика. 30 (1977), нет. 1, 41–68.
CY77b. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. Гиперповерхности с постоянной скалярной кривизной. Математика. Аня. 225 (1977), нет. 3, 195–204.
Y77. Яу, Шинг Тунг. Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии. Proc. Nat. Акад. Sci. США 74 (1977), нет. 5, 1798–1799.
Y78a. Яу, Шинг Тунг. О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I. Comm. Pure Appl. Математика. 31 (1978), нет. 3, 339–411.
Y78b. Яу, Шинг Тунг. Общая лемма Шварца для кэлеровых многообразий. Амер. J. Math. 100 (1978), нет. 1, 197–203.
SY79a. Schoen, R .; Яу С.Т. О строении многообразий положительной скалярной кривизны. Manuscripta Math. 28 (1979), нет. 1-3, 159–183.
SY79b. Schoen, R .; Яу, Шинг Тунг. Существование несжимаемых минимальных поверхностей и топология трехмерных многообразий неотрицательной скалярной кривизны. Аня. математики. (2) 110 (1979), нет. 1, 127–142.
SY79c. Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг. О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности. Comm. Математика. Phys. 65 (1979), нет. 1, 45–76.
CY80. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О существовании полной кэлеровой метрики на некомпактных комплексных многообразиях и регулярности уравнения Феффермана. Comm. Pure Appl. Математика. 33 (1980), нет. 4, 507–544.
LY80. Ли, Питер; Яу, Шинг Тунг. Оценки собственных значений компактного риманова многообразия. Геометрия оператора Лапласа (Proc. Sympos. Pure Math., Гавайский университет, Гонолулу, Гавайи, 1979), стр. 205–239, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXVI, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1980.
ГГ80. Ян, Пол С .; Яу, Шинг Тунг. Собственные значения лапласиана компактных римановых поверхностей и минимальных подмногообразий. Аня. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. (4) 7 (1980), вып. 1, 55–63.
SY81. Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг. Доказательство теоремы о положительной массе. II. Comm. Математика. Phys. 79 (1981), нет. 2, 231–260.
LY82. Ли, Питер; Яу, Шинг Тунг. Новый конформный инвариант и его приложения к гипотезе Уиллмора и первому собственному значению компактных поверхностей. Изобретать. Математика. 69 (1982), нет. 2, 269–291.
MSY82. Микс, Уильям, III; Саймон, Леон; Яу, Шинг Тунг. Вложенные минимальные поверхности, экзотические сферы и многообразия с положительной кривизной Риччи. Аня. математики. (2) 116 (1982), нет. 3, 621–659.
LY83. Ли, Питер; Яу, Шинг Тунг. Об уравнении Шредингера и проблеме собственных значений. Comm. Математика. Phys. 88 (1983), нет. 3, 309–318.
CY86. Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг-Тунг. Полные аффинные гиперповерхности. I. Полнота аффинных метрик. Comm. Pure Appl. Математика. 39 (1986), нет. 6, 839–866.
LY86. Ли, Питер; Яу, Шинг-Тунг. О параболическом ядре оператора Шредингера. Acta Math. 156 (1986), нет. 3-4, 153–201.
UY86. Уленбек, К .; Яу, С.-Т. О существовании связностей Эрмитова – Янга – Миллса в стабильных векторных расслоениях. Comm. Pure Appl. Математика. 39 (1986), нет. S, доп., S257 – S293.
Уленбек, К .; Яу, С.-Т. Замечание к нашей предыдущей статье: «О существовании связностей Эрмитова-Янга-Миллса в стабильных векторных расслоениях». Comm. Pure Appl. Математика. 42 (1989), нет. 5, 703–707.
SY88. Schoen, R .; Яу, С.-Т. Конформно плоские многообразия, клейновы группы и скалярная кривизна. Изобретать. Математика. 92 (1988), нет. 1, 47–71.
SYZ96. Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик. Зеркальная симметрия - это Т-двойственность. Nuclear Phys. В 479 (1996), нет. 1-2, 243–259.
LLY97. Lian, Bong H .; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг. Зеркальный принцип. I. Asian J. Math. 1 (1997), нет. 4, 729–763.

Обзорные статьи

  • Яу, Шинг Тунг. Проблемный раздел. Семинар по дифференциальной геометрии, стр. 669–706, Ann. математики. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Принстон, Нью-Джерси, 1982.
  • Яу, Шинг Тунг. Обзор по дифференциальным уравнениям в частных производных в дифференциальной геометрии. Семинар по дифференциальной геометрии, стр. 3–71, Ann. математики. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Принстон, Нью-Джерси, 1982.
  • Яу, Шинг-Тунг. Нелинейный анализ в геометрии. Enseign. Математика. (2) 33 (1987), нет. 1–2, 109–158. Также опубликовано как: Monographies de L'Enseignement Mathématique, 33. Série des Conférences de l'Union Mathématique Internationale, 8. L'Enseignement Mathématique, Женева, 1986. 54 с.
  • Яу, Шинг-Тунг. Открытые задачи по геометрии. Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990), 1–28, Proc. Симпози. Чистая математика., 54, ч. 1, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1993.
  • Яу, С.-Т. Обзор геометрии и анализа. Asian J. Math. 4 (2000), нет. 1, 235–278.
  • Яу, Шинг-Тунг. Перспективы геометрического анализа. Обзоры по дифференциальной геометрии. Vol. X, 275–379, Surv. Отличаются. Геом., 10, Междунар. Press, Сомервилль, Массачусетс, 2006.
  • Избранные толковые произведения Шинг-Тунг Яу с комментариями. Vol. I-II. Под редакцией Личжэнь Цзи, Питер Ли, Кефенг Лю и Ричард Шон. Дополнительные лекции по математике (ALM), 28–29. International Press, Сомервилль, Массачусетс; Пресса о высшем образовании, Пекин, 2014. xxxii + 703 с .; xxxii + 650 с. ISBN  978-1-57146-293-0 , 978-1-57146-294-7

Учебники и технические монографии

  • Schoen, R .; Яу, С.-Т. Лекции по дифференциальной геометрии. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Гун Чинг Чанг [Гун Цин Чжан], Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. С предисловием, переведенным с китайского Кайсинг Цо. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN  1-57146-012-8
  • Schoen, R .; Яу С.Т. Лекции по гармоническим отображениям. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, II. International Press, Кембридж, Массачусетс, 1997. vi + 394 стр. ISBN  1-57146-002-0
  • Салаф, Стивен; Яу, Шинг-Тунг. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Второе издание. International Press, Кембридж, Массачусетс, 1998. vi + 72 стр. ISBN  1-57146-065-9
  • Гу, Сяньфэн Давид; Яу, Шинг-Тунг. Вычислительная конформная геометрия. С 1 CD-ROM (Windows, Macintosh и Linux). Дополнительные лекции по математике (ALM), 3. International Press, Somerville, MA; Пресса о высшем образовании, Пекин, 2008. vi + 295 стр. ISBN  978-1-57146-171-1

Популярные книги

  • Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив. Форма внутреннего пространства. Теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Basic Books, Нью-Йорк, 2010. xx + 377 стр. ISBN  978-0-465-02023-2
  • Надис, Стив; Яу, Шинг-Тунг. История вкратце. 150 лет математике в Гарварде (1825–1975). Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 2013. xx + 249 стр. ISBN  978-0-674-72500-3
  • Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив. Форма жизни. Один математик ищет скрытую геометрию Вселенной. Издательство Йельского университета, Нью-Хейвен, Коннектикут, 2019. xvi + 293 стр. ISBN  978-0-300-23590-6

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки