Серпинский ковер - Sierpiński carpet

6 ступеней ковра Серпинского.

Ковер Серпинского является плоской фрактальной впервые описал Серпинский в 1916 году Ковер является обобщением множества Кантора в двух измерениях; другой - канторовская пыль .

Техника разделения фигуры на меньшие копии самой себя , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения может быть распространена на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к треугольнику Серпинского . В трех измерениях похожая конструкция, основанная на кубах, известна как губка Менгера .

Строительство

Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура применяется рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам до бесконечности . Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которого, записанные в базе три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малых чисел .

Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного подразделения .

Ковер Серпинского 1.svg Ковер Серпинского 2.svg Ковер Серпинского 3.svg Ковер Серпинского 4.svg Ковер Серпинского 5.svg Ковер Серпинского 6.svg

Характеристики

Вариант кривой Пеано со стертой средней линией создает ковер Серпинского.

Площадь ковра равна нулю (в стандартной мере Лебега ).

Доказательство. Обозначим a i область итерации i . Тогда a i + 1 = 8/9а я . Итак, a i = (8/9) i , который стремится к 0 при стремлении i к бесконечности.

Интерьер ковра пуст.

Доказательство. Предположим от противного, что внутри ковра есть точка P. Тогда есть квадрат с центром в точке P, который полностью заключен в ковер. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны1/3 кдля некоторых k . Но этот квадрат должен быть продырявлен на итерации k , поэтому он не может содержаться в ковре - противоречие.

Хаусдорфова ковражурнал 8/журнал 3≈ 1,8928 .

Серпинский показал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. То есть ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с размерностью 1 покрытия Лебега , и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.

Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных разрезов», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь местный разрез точка является точкой р , для которых некоторая связная окрестность U от р обладает свойством , что U - { р } не подключен. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.

В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним, что континуум - это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X - континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:

  • диаметр C i стремится к нулю при i → ∞ ;
  • граница C i и граница C j не пересекаются, если ij ;
  • граница C i - простая замкнутая кривая для каждого i ;
  • объединение границ множеств C я плотно в X .

Тогда X гомеоморфен ковру Серпинского.

Броуновское движение на ковре Серпинского

Тема броуновского движения на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы. Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание в самолете. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального n после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального βn для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших уклонений (так называемым «субгауссовским неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, но не параболическому. Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.

Сито Уоллиса

Третья итерация сита Уоллиса

Вариант ковра Серпинского, называемый решето Уоллиса , начинается таким же образом, когда единичный квадрат делится на девять меньших квадратов и удаляется середина из них. На следующем уровне подразделения он подразделяет каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и продолжается на i- м шаге, разделяя каждый квадрат на (2 i + 1) 2 ( нечетных квадрата ) меньших квадратов. и убрав средний.

По произведению Уоллиса площадь результирующего множества равнаπ/4, в отличие от стандартного ковра Серпинского, у которого нет предельной площади.

Однако по результатам Уайберна, упомянутым выше, мы видим, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.

Приложения

Фрактальные антенны для мобильных телефонов и WiFi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Они также просты в изготовлении и меньше по размеру, чем обычные антенны с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки