Серпинский ковер - Sierpiński carpet
Ковер Серпинского является плоской фрактальной впервые описал Серпинский в 1916 году Ковер является обобщением множества Кантора в двух измерениях; другой - канторовская пыль .
Техника разделения фигуры на меньшие копии самой себя , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения может быть распространена на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к треугольнику Серпинского . В трех измерениях похожая конструкция, основанная на кубах, известна как губка Менгера .
Строительство
Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура применяется рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам до бесконечности . Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которого, записанные в базе три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малых чисел .
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного подразделения .
Характеристики
Площадь ковра равна нулю (в стандартной мере Лебега ).
- Доказательство. Обозначим a i область итерации i . Тогда a i + 1 = 8/9а я . Итак, a i = (8/9) i , который стремится к 0 при стремлении i к бесконечности.
Интерьер ковра пуст.
- Доказательство. Предположим от противного, что внутри ковра есть точка P. Тогда есть квадрат с центром в точке P, который полностью заключен в ковер. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны1/3 кдля некоторых k . Но этот квадрат должен быть продырявлен на итерации k , поэтому он не может содержаться в ковре - противоречие.
Хаусдорфова ковражурнал 8/журнал 3≈ 1,8928 .
Серпинский показал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. То есть ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с размерностью 1 покрытия Лебега , и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных разрезов», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь местный разрез точка является точкой р , для которых некоторая связная окрестность U от р обладает свойством , что U - { р } не подключен. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.
В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним, что континуум - это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X - континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:
- диаметр C i стремится к нулю при i → ∞ ;
- граница C i и граница C j не пересекаются, если i ≠ j ;
- граница C i - простая замкнутая кривая для каждого i ;
- объединение границ множеств C я плотно в X .
Тогда X гомеоморфен ковру Серпинского.
Броуновское движение на ковре Серпинского
Тема броуновского движения на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы. Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание в самолете. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √ n после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β √ n для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших уклонений (так называемым «субгауссовским неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, но не параболическому. Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.
Сито Уоллиса
Вариант ковра Серпинского, называемый решето Уоллиса , начинается таким же образом, когда единичный квадрат делится на девять меньших квадратов и удаляется середина из них. На следующем уровне подразделения он подразделяет каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и продолжается на i- м шаге, разделяя каждый квадрат на (2 i + 1) 2 ( нечетных квадрата ) меньших квадратов. и убрав средний.
По произведению Уоллиса площадь результирующего множества равнаπ/4, в отличие от стандартного ковра Серпинского, у которого нет предельной площади.
Однако по результатам Уайберна, упомянутым выше, мы видим, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.
Приложения
Фрактальные антенны для мобильных телефонов и WiFi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Они также просты в изготовлении и меньше по размеру, чем обычные антенны с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.